2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試8.4 直線、平面平行的判定及性質(zhì)

專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)（真題測(cè)試）

一、單選題

1.（山東?高考真題（文））在空間，下列命題正確的是（）

A.平行直線的平行投影重合

B.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行

C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行

D.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.（2021?山東?高考真題）己知a,夕表示平面，加，”表示直線，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）

A.假設(shè)加_La,mLn,那么〃〃tz

B.假設(shè)機(jī)uc,〃u4，a///?,那么加〃〃

C.假設(shè)a//￡,，〃ua,那么〃?//夕

D.假設(shè)mua,”ua,ml1/3,n///3,那么a〃尸

3.（2019?全國(guó)高考真題（理））設(shè)a,￡為兩個(gè)平面，則戊〃￡的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與B平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與B平行

C.a，￡平行于同一條直線

D.a，￡垂直于同一平面

4.（2015?北京高考真題（理））設(shè)。，，是兩個(gè)不同的平面，〃，是直線且〃zua.“m〃月”是

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2022?山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）已知機(jī)，”為兩條不同的直線，a,4為兩個(gè)不同的平面，下

列四個(gè)命題中，正確的為（）

A.若a〃/，inca,na]3,則加〃〃

B.若mua,〃ua,且加〃/，n//p,則a〃/

C.若mcia,則初_1■夕

D.若mV13,meta,則加〃a

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、。為所

在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB不平行于平面MN。的是（）

c.

7.（2022.江蘇.高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)正方體中，A、B、C為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面A8C〃平面DEF

的是()

A.

C.

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中，尸為棱3片的中點(diǎn)，。為正

方形BBCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若RQ//平面APD,則線段"Q長(zhǎng)度的取值范圍是（）

二、多選題

9.（2022?湖南省臨澧縣第一中學(xué)二模）如圖，在正方體ABC。-ABCR中，E為AB的中點(diǎn)，則下列條件

中，能使直線EP//平面4cq的有（）

尸為A4的中點(diǎn)B.尸為B片的中點(diǎn)C.尸為CC,的中點(diǎn)

D.尸為44的中點(diǎn)

10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中正確的關(guān)系有（）

B.OE〃平面A8FG

C.平面2DE〃平面AFHD.8E〃平面OGC

11.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)a,夕為兩個(gè)平面，下列選項(xiàng)中是“a/力”的充分條件的是（）

A.異面直線“，〃滿足“〃a,b//P

B.a內(nèi)有兩條相交直線與平面夕均無(wú)交點(diǎn)

C.a,4與直線/都垂直

D.a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到夕的距離相等12.（2022?遼寧錦州一模）如圖,在直四棱柱488-486。中，BC1CD,

AB//CD,BC=6AA]=AB=AD=2,^P,Q,R分別在棱8與，CC,,DD、上,若A,P,Q,R四

點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.任意點(diǎn)P,都有AP〃然

B.存在點(diǎn)P,使得四邊形APQR為平行四邊形

C.存在點(diǎn)P,使得BC〃平面4PQR

D.存在點(diǎn)P,使得ZkAPR為等腰直角三角形

三、填空題

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在三棱錐A-BCO中，AB=CD=2,過BC中點(diǎn)E的截面與A3,C。都平

行，則截面的周長(zhǎng)為.

14.（2021?河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））已知機(jī)，〃是兩條直線，a、口、/是三個(gè)不同的平面，

給出下列命題：

①若13Ly,則a〃4；

②若〃J_a,尸，則a〃月；

③若〃ua,rnaa,且機(jī)〃尸，n//P,則a〃4；

④若機(jī)，”為異面直線，且"ua,mu。,m//a,〃〃/，則a〃夕.

其中正確命題的序號(hào)是.

15.（2022.山西長(zhǎng)治.模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐尸-ABC中，平面E/MV平行于對(duì)棱

AC,PB,AC=PB=2,AC1PB,截面EFMN面積的最大值是

B

16.（2022?陜西?西安中學(xué)三模（文））在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-A4Ca中，點(diǎn)E、尸分別是棱8C,CC,

的中點(diǎn)，P是側(cè)面四邊形BCCg內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，若4戶〃平面AE/，則線段47長(zhǎng)度的取值范圍是

四、解答題

17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱ABC-44G中，點(diǎn)E,尸分別為44,8C的中點(diǎn)，點(diǎn)G

是線段AF上的動(dòng)點(diǎn).確定點(diǎn)G的位置，使得平面AGE//平面gCG,并給予證明

Bi

4

18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體AB8-A8CQ中，￡

B

A

（1）求證：BQ〃平面AEC；

（2）求證：平面AEC〃平面8FR.

19.（2020.全國(guó)?高考真題（文））如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-A4GR中，點(diǎn)E，尸分別在棱。R，網(wǎng)上，且

2DE=ED\,BF=2FB、.證明:

(I)當(dāng)A8=BC時(shí)，EFA.AC；

（2）點(diǎn)G在平面AEF內(nèi).

20.（2016?全國(guó)?高考真題（文））如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點(diǎn)P在平面

ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（1）證明：G是AB的中點(diǎn);

（II）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

21.（2016?全國(guó)?高考真題（文））如圖，四棱錐P-43C中，弘_L平面A8C3,AD//BC,AB=AD=AC^3,

PA=BC=4,"為線段4。上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

（I）證明腦V〃平面BW；

（II）求四面體N-BCM的體積.

22.（2022?全國(guó)?高考真題（文））小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：

底面A8C￡＞是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面ABCD垂直.

⑴證明：EF/mABCD-,

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)（真題測(cè)試）

一、單選題

1.（山東?高考真題（文））在空間，下列命題正確的是（）

A.平行直線的平行投影重合

B.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行

C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行

D.垂直于同一平面的兩條直線平行

【答案】D

【解析】

【詳解】

試題分析：A選項(xiàng)直線可能平行；B選項(xiàng)平面可能相交；C選項(xiàng)兩個(gè)平面可能相交；D選項(xiàng)正確.

2.（2021?山東?高考真題）己知a,4表示平面，加，,表示直線，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）

A.假設(shè)加_La,mln,那么〃〃tz

B.假設(shè)機(jī)ua,〃u尸，a///?,那么血/〃

C.假設(shè)a〃6，"a,那么〃”/夕

D.假設(shè)mua,〃ua,mlip,n//p,那么a〃"

【答案】C

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可判斷B、C；根據(jù)面面平行的判定定理,

可判定D

【詳解】

選項(xiàng)A：假設(shè)加_La,〃z_L〃，那么〃〃a或"在a內(nèi)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：假設(shè)mua,nu/3,allp,那么向/〃或加與〃異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：假設(shè)〃zua,”ua,mll/3,n//p,且m、〃相交才能判定a〃尸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：依照兩平面平行的性質(zhì)可知C正確.

故選：C

3.（2019?全國(guó)高考真題（理））設(shè)a,萬(wàn)為兩個(gè)平面，則a〃￡的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與B平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a>?平行于同一條直線D.a>6垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與月平行是a〃尸的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，

若。//尸，則a內(nèi)任意一條直線都與￡平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與￡平行是a//￡的必要條件，故

選B.

4.（2015?北京高考真題（理））設(shè)a,夕是兩個(gè)不同的平面，加是直線且機(jī)ua.“m〃尸”是“W/尸”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

mca,m〃△得不到8/尸，因?yàn)閍,尸可能相交，只要用和a2的交線平行即可得到m〃尸；a//J3.

mua,二M和力沒有公共點(diǎn)，即M2能得到m〃（；,“m〃尸”是“8/戶”的必要不充

分條件.故選B.

5.（2022?山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）已知機(jī)，”為兩條不同的直線，a,夕為兩個(gè)不同的平面，下

列四個(gè)命題中，正確的為（）

A.若a〃/,"?ua,"u￡,則加〃〃

B.若，"ua,“ua,且加〃/，n//p,則a〃6

C.若〃?ua,則

D.若a_!_/?,,tnaa,則加〃a

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直與面面垂直的性質(zhì)利判斷定理逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A：若a〃尸，mua,〃uQ,加與〃可能平行，也可能異面故，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B：若mua,〃ua,且加〃力，"〃〃，當(dāng)小〃”時(shí)，平面a與夕可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)

誤.

對(duì)于C：若〃，ua,百線機(jī)與平面夕可能平行，可能相交，也可能故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：若aJ■尸，mkp,m（za,則％〃a,故D正確.

故選：D.

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、3為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、。為所

在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB不平行于平面MN。的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

利用線面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，連接CD,如下圖所示:

因?yàn)锳C//BD且AC=8。，所以，四邊形A3OC為平行四邊形，所以，CD//AB,

QN、。分別為CE、DE的中點(diǎn)，則N0〃CO,所以，NQ//AB,

因?yàn)槠矫鍹NQ,NQu平面MNQ,所以，〃平面MNQ；對(duì)于B選項(xiàng)，連接CO,如下圖所示:

\B

因?yàn)锳C//BD且AC=80,所以，四邊形ABDC為平行四邊形，所以，AB//CD，

?.?M、。分別為CE、DE的中點(diǎn)，所以，MQ//CD,;.MQ//AB,

因?yàn)楹佣矫娴?。，MQi平面MNQ,所以，M〃平面MNQ；

對(duì)于C選項(xiàng)，連接8,如下圖所不:

因?yàn)锳C〃皿且AC=8O,所以，四邊形ABDC為平行四邊形，所以，AB//CD,

■■M.2分別為CE、OE的中點(diǎn)，所以，MQ//CD,;.MQ//AB,

因?yàn)槠矫鍹NQ,MQI平面MNQ,所以，Afi〃平面MNQ；

則。為BE的中點(diǎn)，設(shè)BEnMN=F,連接尸。,

。分別為AE、BE的中點(diǎn)，則OQ//A3,

若AB//平面MNQ,AB1平面ABE,平面ABE口平面MNQ=尸。，則FQ//AB,

在平面ABE內(nèi)，過該平面內(nèi)的點(diǎn)〈作直線AB的平行線，有且只有一條，與題設(shè)矛盾.假設(shè)不成立，故D選

項(xiàng)中的直線A3與平面MNQ不平行.

故選：D.

7.（2022.江蘇.高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)正方體中，A、8、C為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面A8C〃平面短

的是（）

【解析】

【分析】

利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判

斷C選項(xiàng)：利用面面平行的判定和性質(zhì)定理、結(jié)合反證法可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，若平面ABC//平面。EF,ACu平面ABC,則4C//平面。EF,

由圖可知AC與平面相交，故平面ABC與平面DM不平行，A不滿足條件;

對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接NG,

因?yàn)锳、C分別為PN、PG的中點(diǎn)，則AC〃NG,

在正方體EHDG-MFNP中，F(xiàn)NHEGRFN=EG,

故四邊形EFNG為平行四邊形，所以，NGMEF，：.ACHEF,

?.?4。6平面。￡尸，EFu平面DEF,.1AC〃平面OEF,

同理可證BC〃平面DEF,???ACn8C=C,因此，平面ABC〃平面DEF,B滿足條件;

對(duì)于c選項(xiàng)，如下圖所示:

若平面ABC//平面DEF,且平面DEFY/平面

貝I］平面ABC〃平面MNHP,但這與平面A8C與平面相交矛盾,

因此，平面A8C與平面DE尸不平行，C不滿足條件;

對(duì)于D選項(xiàng)，在正方體PD/7G-FNEM中，連接P”、PM、MH,如下圖所示:

M

N

因?yàn)镈H//FMRDH^FM,則四邊形DHMF為平行四邊形，則DF//MH,

：/

__z_.

DH

?.?。尸（2平面/7力/,MHu平面PHM,所以，DF〃平面PHM,

同理可證Er〃平面尸??,DFAE尸=尸，所以，平面〃平面

若平面ABCH平面DEF,則平面ABC//平面PHM，

這與平面ABC與平面PHM相交矛盾，故平面ABC與平面DE產(chǎn)不平行，D不滿足條件.

故選：B.8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCC-ABCQ中，P為棱8區(qū)的中點(diǎn),

。為正方形BBCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若AQ〃平面A?。，則線段RQ長(zhǎng)度的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

過A作平面QEF與平面平行，則Q在平面REF與平面BBCC的交線“上，即可求出.

【詳解】

如圖，取CG中點(diǎn)E,BC中點(diǎn)尸，連接。冏。尸,￡7"

所以EF//BC，正方體中，易得4C/M,。，所以EF/M,。，

因?yàn)樗?平面AP。，AOu平面4尸。，所以所〃平面4尸。，

因?yàn)镻,E為8瓦,CG中點(diǎn)，所以RE//AP,

因?yàn)?。Ear平面4尸￡>,42匚平面4尸。，所以AE〃平面APD,

因?yàn)镋FcRE=E,所以平面REF〃平面4尸。，

因?yàn)锳Q//平面Af￡>,所以RQu平面REF,

又。為正方形8BCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以。在線段E尸上，

可得。七=、5￡>尸=立，瓦'=42,則當(dāng)Q在EF中點(diǎn)時(shí)，OQ取得最小值為，j或］一（且］=￡

121222J4J4

當(dāng)Q在EF兩端時(shí)，DQ取得最大值為此,

2

所以NQ長(zhǎng)度的取值范圍是舉，交

故選：D.

多選題

9.（2022.湖南省臨澧縣第一中學(xué)二模）如圖，在正方體ABC。-48cA中，E為A8的中點(diǎn)，則下列條件

中，能使直線EF//平面AC。的有（）

F為AA的中點(diǎn)B.尸為8片的中點(diǎn)C.尸為CG的中點(diǎn)

D.尸為AR的中點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】

【分析】

取棱BC,CG，CQ，AA，AA的中點(diǎn)MG,”,/，，說明E與M，G,共面，證明平面EMG/7/J//平面

ACR,即可得.【詳解】

如圖，〃。,，,/,1/分別是棱改'（66〃,￡>0，44的中點(diǎn)，易證E與1/共面，由EM//4C,ACu

平面ACR,EMa平面ACR,則EM//平面ACR,同理EJ〃平面4c。，而￡M,&是平面EMG”〃內(nèi)

相交直線，則得平面EMG”〃//平面AC。，所//平面ACR,則尸w平面觀察各選項(xiàng)，ACD滿

足，

故選：ACD.

10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則

在該正方體中正確的關(guān)系有（）

A.AG//CDB.OE〃平面48尸G

C.平面8DE〃平面4FHD.BE〃平面OGC

【答案】BC

【解析】

【分析】

還原為原正方體如圖，結(jié)合異面直線的定義判斷A；利用線面平行的判定定理判斷B、D；利用面面平行的

判定定理判斷C.

【詳解】還原為原正方體如圖所示，

由圖可知,AG與CO異面，故A錯(cuò)誤;

因?yàn)?。E〃AF,A尸u平面A8FG,

所以DE〃平面A8FG,故B正確;

因?yàn)锳Fu平面AF”，所以DE〃平面AFH,

因?yàn)镈B//FH,FHu平面"H,所以。8〃平面

而DEcDB=D,DE、DBu平面8OE,

所以平面BDE//平面AFH,故C正確；

因?yàn)锽EHAH,AH與平面￡>GC相交，

所以BE與平面OGC相交，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)a,夕為兩個(gè)平面，下列選項(xiàng)中是〃夕’的充分條件的是（）

A.異面直線a,匕滿足?！╝,b//P

B.a內(nèi)有兩條相交直線與平面￡均無(wú)交點(diǎn)

C.a,￡與直線/都垂直

D.a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到夕的距離相等

【答案】BC

【解析】

【分析】

AD選項(xiàng)可舉出反例，BC選項(xiàng)可以通過，面面平行的判定及線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明.

【詳解】

A選項(xiàng)，如圖，直線BC為m直線為b,平面為a,平面CEWG為夕，滿足“〃a,b//P,而

B選項(xiàng)，設(shè)a內(nèi)兩條相交直線為機(jī)，〃均與平面￡無(wú)交點(diǎn)，即"，〃"，n//p,又也〃ua,且〃為相交直線,

故a〃夕，B正確：

C選項(xiàng)，a,與直線/都垂直，不妨設(shè)/與a內(nèi)有兩條相交直線均垂直，則在平面廳內(nèi)存在相交直線見”

與/都垂直，且，"〃①〃〃江因?yàn)閃a,所以"?〃a,同理可知〃〃a,由于科〃為相交直線，故可知a〃夕,

C正確；

D選項(xiàng)，a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到夕的距離相等，這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)可能來(lái)自于同一條直線，此時(shí)不能推導(dǎo)出aD錯(cuò)

誤.

故選：BC

12.（2022?遼寧錦州?一模）如圖，在直四棱柱A8CO-A4CQ中，BCYCD,AB//CD,BC=石,

AA,=AB=AD=2,點(diǎn)P,Q,R分別在棱84，CC,,OR上，若A,P,Q,R四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.任意點(diǎn)P,都有AP〃QRB.存在點(diǎn)P,使得四邊形4PQR為平行四邊形

C.存在點(diǎn)P,使得〃平面4PQR

D.存在點(diǎn)P,使得為等腰直角三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合假設(shè)法逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A：由直四棱柱ABC￡）-4￡CQ,AB"CD,

所以平面ABB,A//平面DCC｝。，

又因?yàn)槠矫鍭PQRc平面ABB|A=AP,平面APQRc平面￡>CC,r>,=QR,

所以AP//QR,故A正確；

對(duì)于B：若四邊形APQR為平行四邊形，貝IJAA//QP.

而AD與BC不平行，即平面AORA與平面BCC內(nèi)不平行,

所以平面APQRc平面8CC|B1=P。，平面APQRc平面ADDM=AR,

直線PQ與直線AR不平行，

與AR//QP矛盾，

所以四邊形APQR不可能是平行四邊形，故B不正確：

對(duì)于C：當(dāng)BP=C。時(shí)，R為。時(shí)，滿足8c〃平面APQR,故C正確.

對(duì)于D：假設(shè)存在點(diǎn)尸，使得為等腰直角三角形，令BP=x,

過點(diǎn)。作DE_LAB,則。E=BC=6，在線段DR上取一點(diǎn)M使得ZW=3P=X,連接則四邊形

BDMP為矩形,所以MP=BD=2,

貝ljPR=yJPM2+MR2=j4+(￡>R-xp,

AP=>JPB2+AB2=04+f,

AR=\JDR2+AD2=,4+"顯然AR豐PR,AP片PR,

若由AP=4?，則BP=W?=x且BP//0R=>四邊形BPDR為平行四邊BPDR,

所以RPZBC'CCP=2=仿叱=J8+23尸=J8+2Y，無(wú)解，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

三、填空題

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在三棱錐A-BCO中，AB=C￡>=2,過8c中點(diǎn)E的截面與AS,CO都平

行，則截面的周長(zhǎng)為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)的中點(diǎn)分別為￡G,4,連接EF,FG,GH,HE,

根據(jù)三角形中位線定理，可得：EF//AB,FG//CD,GH//AB,HE/1CD,

EF=-AB=\,FG=-CD=\,

22

所以有EFHGH,FGHHE,因此四邊形EFGH是平行四邊形，

因?yàn)樗?8,EFu平面EFGH,A3<z平面EFG”，

所以〃平面EFG”，

同理CD//平面EFG”,

因此平行四邊形￡FGH的周長(zhǎng)為2（1+1）=4,

故答案為：4

A

14.（2021.河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））

C

已知“，〃是兩條直線，a、B、y是三個(gè)不同的平面，給出下列命題:

①若a1y,萬(wàn)17，則a〃夕;

②若〃_La,nV13,則a〃/；

③若nua,mua,且相〃尸，〃〃尸，則a〃尸；

④若，w,〃為異面直線，且”ua,,wu夕，m//a,〃〃尸，則a〃力.

其中正確命題的序號(hào)是.

【答案】②④【解析】

【分析】

作出一個(gè)正方體，進(jìn)而根據(jù)各個(gè)面的位置關(guān)系并結(jié)合條件可以判斷①；

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷②；

根據(jù)面面平行的判定定理可以判斷③④.

【詳解】

如圖1,記平面為平面ADAA，平面。CGR,平面ABCD,顯然a，？，2,但a，尸.所以①錯(cuò)

誤；

垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.所以②正確;

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.所以③錯(cuò)誤；

如圖2,因?yàn)檫^加作平面4,使得/ca=〃'，所以m〃因，易知平,所以〃'//尸，又以"

異面，則相交，設(shè)交點(diǎn)為又〃〃尸，=所以a〃尸.所以④正確.

故答案為：②④.

15.（2022?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐P-ABC中，平面EQWN平行于對(duì)棱

【答案】1

【解析】

【分析】

由線面平行的性質(zhì)可得AC〃硒、ACIIMFAPBI/EF、PBHMN,易得ERWN為平行四邊形，結(jié)合

PFFN

ACJLPB有EFMN為矩形，進(jìn)而設(shè)一=—=彳(0<2<1),由已知求EN、EF關(guān)于4的表達(dá)式，即可得

P.AAC

EFMN面積關(guān)于4的函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.

【詳解】

山題設(shè)，AC//面EFMN,又AC,ENu面PAC,面PACQ面EEWN=EN,

所以AC〃硒，同理可證AC7/M/,故ENI/MF,

乂PB〃面EFMN,又PB,EFu面PAB，面PABc面EnWN=E/，

所以PB//EF,同理可證「8//"N,故EFIIMN、

故EFMN為平行四邊形，又ACLP3,即ENLER,則EFMN為矩形，

若歿=空=4(0<%<1),則出=竺=1一丸，又AC=PB=2,

PAACPAPB

所以EN=22,EF=2(1-2),又EFMN面積為S=EM￡F=44(1-2),

所以S=-4(2-乎+1,故當(dāng)丸=；時(shí)Sa=1.

故答案為：1.

16.(2022.陜西?西安中學(xué)三模(文))在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCC-A4G。中，點(diǎn)E、尸分別是棱BC,CC,

的中點(diǎn)，P是側(cè)面四邊形BCCg內(nèi)(不含邊界)一點(diǎn)，若AP//平面AE尸，則線段4/長(zhǎng)度的取值范圍是

【解析】

【分析】

作出過點(diǎn)A平行于平面AE尸的平面與平面BCC,用的交線，確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，再借助三角形計(jì)算作答.

【詳解】

在正方體ABCO-AEGR中，取用G，8B1的中點(diǎn)M,N,連4憶故匕,如圖,

因點(diǎn)E、F分別是棱8C,CG的中點(diǎn)，則MN//BCJ/EF,EFu平面AEF,

A1N<Z平面AEF,則有MN//平面力所,

顯然為矩形，有ME/IBBJ/AA\,ME=BBt=AA］,即有AEMA,為平行四邊形，

則AM//AE,而Mu平面AEF,平面AEF，有A/〃平面AE尸，

=M平面A"N,因此，平面A^N//平面人所，因42〃平面4E凡

則有APU平面AMN,又點(diǎn)P在平面BCC.B,,平面A"NC平面BCC.B,=MN,

從而得點(diǎn)尸在線段MN上（不含端點(diǎn)），在AAMN中，AM=AN=BMN=近,

等腰"MN底邊MN上高h(yuǎn)=/"_（3皿）2=手，于是得苧4"<也,

所以線段4尸長(zhǎng)度的取值范圍是［逑,退）.

2

故答案為：［苧,逐）

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩

個(gè)平行平面相交，

或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的

同一平面上.

四、解答題

17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱A8C-A8G中，點(diǎn)E,尸分別為Ag,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G

是線段A尸上的動(dòng)點(diǎn).確定點(diǎn)G的位置，使得平面AC#//平面qCG,并給予證明

【答案】G為AABC的強(qiáng)心（或G為線段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí),

A*---------

平面A￡E//平面ACG,證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形可可得線線平行，由線線平行可證明線面平行，進(jìn)而可證明面面平行.確定點(diǎn)G的位置.

【詳解】

證明：如圖所示：

取A8中點(diǎn)￡）,連接C￡）交4FTG,即G為AABC的重心（或G為線段

AF靠近尸的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面AGE//平面BCG.

證明：連接。E.因?yàn)樵谌庵鵄BC-A4G中，D,E分別為AB,A4的中點(diǎn)，所以。E//C￡,且。E=CC；,

則四邊形OEGC是平行四邊形，

故ECJIDC.

乂。Cu平面BC。，后60平面線。。

所以E￡〃平面BCD.

因?yàn)樵谌庵鵄BC-中，D,E分別是A8,4月的中點(diǎn),

則B.E//AD且BtE=AD,四邊形BtEAD是平行四邊形,

所以EA//O與.乂。鳥u平面4c。，￡42平面4c。，

所以E4//平面4C，

又E4u平面ACE，EQu平面A￡E,EAcE￡=E,

所以平面AGE"平面BCG.

18.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在正方體A88-A4GR中，E為。。的中點(diǎn)，F(xiàn)為CG的中點(diǎn).

⑴求證:8。1〃平面月后。；

(2)求證：平面AEC〃平面8尸

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)連接即交AC于點(diǎn)。，利用中位線的性質(zhì)可得出BR〃OE,利用線面平行的判定定理可證得

結(jié)論成立；

(2)證明出《尸〃平面詼,利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成正

(1)證明：連接8。交AC于點(diǎn)。，則。為8。的中點(diǎn),因?yàn)镋為。2的中

點(diǎn)，則BR〃OE,?.?8。仁平面4笈，OEu平面AEC,因此，平面4EC.

（2）證明：因?yàn)镃C//OA且CG=。。，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CG的中點(diǎn)，所以，CFHD.E,CF=D.E,

所以，四邊形C即尸為平行四邊形，所以，RF//CE,?.?AF<z平面AEC,CEu平面AEC,所以，口尸〃平

面AEC,因?yàn)槭?2，因此，平面AEC〃平面8FR.

19.（2020.全國(guó)?高考真題（文））如圖，在長(zhǎng)方體A8CO-A4CQ中，點(diǎn)E,尸分別在棱。R,上，且

EFYAC；

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得ACLBD,根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)得4C，幽，進(jìn)而可證AC_L平面叫RO,即得結(jié)果;

（2）只需證明EC//A尸即可，在CG上取點(diǎn)M使得CM=2"G,再通過平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳

解】

（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCC-ABCQ,所以8B」平面A8CD；.ACJ.BM,

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A40。,AB=BC,所以四邊形ABCD為正方形AC±BD

因?yàn)?8JBD=B,BB、、8￡>u平面B8QD,因此AC_L平面BBQ。,

因?yàn)镋Fu平面BBQQ,所以AC_L￡F；

（2）在CG上取點(diǎn)M使得CM=2"G,連

因?yàn)椤‥=2ED,DD#CC\,DD=CCt，所以E￡>=MC”EDUMC,,

所以四邊形為平行四邊形，，功W//EG

因?yàn)镸尸〃D4,Mf=D4,所以〃、F、4。四點(diǎn)共面，所以四邊形ME4D為平行四邊形，

DM//AF,:.ECJ/AF,所以E、C,4、尸四點(diǎn)共面，

因此G在平面AEF內(nèi)

20.（2016?全國(guó)?高考真題（文））如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點(diǎn)P在平面

ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（I）證明：G是AB的中點(diǎn);

（II）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

4

【答案】（I）見解析；（II）作圖見解析，體積為

【解析】

【詳解】

試題分析：證明ABJLPG.由R4=P5可得G是AB的中點(diǎn).（II）在平面R4B內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交R4

于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.根據(jù)正三棱鏈的側(cè)面是直角三角形且P4=6,可得

Z）E=2,PE=2>/i在等腰直角三角形￡77中，可得EF=Pb=2.四面體PDEF的體積V=1X5X2X2X2=§.

試題解析：（I）因?yàn)镻在平面A8C內(nèi)的正投影為。，所以ABLPD

因?yàn)?。在平面?nèi)的正投影為E,所以A3_LDE

所以A3_L平面PED,i*&AB1PG.

又由已知可得，PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn).

(II)在平面小B內(nèi)，過點(diǎn)E作必的平行線交始于點(diǎn)尸，尸即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得PB^PC,又EF//PB,所以EFLP4EF_LPC,因此所J_平面尸4C,

即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

連結(jié)CG,因?yàn)槭谄矫鍭6c內(nèi)的正投影為。，所以。是正三角形ABC的中心.

2

由(I)知，G是AB的中點(diǎn)，所以。在CG上，故CQ=§CG.

由題設(shè)可得PCJ?平面￡>E_L平面尸所以?！ㄊ珻,

21

因此PE=-PG,DE=-PC.

33

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得。E=2,PE=2&.

|14

々'專段」1用：角形EFP中，印得EF=PF=2.所以明|；1|體/,/%/|V;V=jx-x2x2x2=-.

21.(2016?全國(guó)?高考真題(文))如圖，四棱錐尸―ABC中，以，平面ABC。，AD//BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M為線段AO上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).