-高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例一作業(yè)含解析新人教版選修2-

PAGEPAGE9生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例基本練習(xí)夯基一、選擇題1．要制做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為()A.eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm[答案]D[解析]設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).當(dāng)0＜x＜eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′＞0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)＜x＜20時(shí)，V′＜0，所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取最大值．2．(2015·吉林市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)如圖是函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象，則x1＋x2＝()A.eq\f(2,3) B．eq\f(10,9)C.eq\f(8,9) D．eq\f(28,9)[答案]A[分析]由圖象知f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0，解出b、c、d的值，利用x1和x2是f′(x)＝0的根，使用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2.[解析]∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，由圖象知，f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0，∴－1＋b－c＋d＝0，d＝0，8＋4b＋2c＋d＝0，∴d＝0，b＝－1，c∴f(x)＝x3－x2－2x，∴f′(x)＝3x2－2x－2.由題意有x1和x2是函數(shù)f(x)的極值，∴x1和x2是f′(x)＝0的根，∴x1＋x2＝eq\f(2,3)，故選A.3．用總長(zhǎng)為6m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長(zhǎng)之比為34，那么容器容積最大時(shí)，高為()A．0.5m B．1mC．0.8m D．1.5m[答案]A[解析]設(shè)容器底面相鄰兩邊長(zhǎng)分別為3xm、4xm，則高為eq\f(6－12x－16x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－7x))(m)，容積V＝3x·4x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－7x))＝18x2－84x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,14)))，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝eq\f(1,7)或x＝0(舍去)．x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,7)))時(shí)，V′>0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(3,14)))時(shí)，V′<0，所以在x＝eq\f(1,7)處，V有最大值，此時(shí)高為0.5m.4．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D．eq\f(3,4)R[答案]C[解析]設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當(dāng)0<h<eq\f(4,3)R時(shí)，V′>0；當(dāng)eq\f(4R,3)<h<2R時(shí)，V′<0.因此當(dāng)h＝eq\f(4,3)R時(shí)，圓錐體積最大．故應(yīng)選C.5．設(shè)圓柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為()A.eq\r(3,V) B．eq\r(3,\f(V,π))C.eq\r(3,4V) D．eq\r(3,\f(V,2π))[答案]D[解析]設(shè)底面圓半徑為r，高為h，則V＝πr2h，∴h＝eq\f(V,πr2).∴S表＝2S底＋S側(cè)＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·eq\f(V,πr2)＝2πr2＋eq\f(2V,r).∴S表′＝4πr－eq\f(2V,r2)，令S表′＝0得，r＝eq\r(3,\f(V,2π))，又當(dāng)x∈(0，eq\r(3,\f(V,2π)))時(shí)，S表′<0；當(dāng)x∈(eq\r(3,\f(V,2π))，V)時(shí)，S表′>0，∴當(dāng)r＝eq\r(3,\f(V,2π))時(shí)，表面積最?。?．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8[答案]C[解析]瞬時(shí)變化率即為f′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1時(shí)，f′(x)min＝－1.二、填空題7．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，該長(zhǎng)方體的最大體積是________________．[答案]3m[解析]設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x，則長(zhǎng)為2x，高為eq\f(9,2)－3x(0<x<eq\f(3,2))，故體積為V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0<x<eq\f(3,2)，∴x＝1.∴該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為2m、1m、1.5m時(shí)，體積最大，最大體積Vmax＝3m38．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤(rùn)最大時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)定為_(kāi)_______________件．[答案]25[解析]設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題知a＝eq\f(500,\r(x)).總利潤(rùn)y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時(shí)，y′>0，x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，所以x＝25時(shí)，y取最大值．9.如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長(zhǎng)最小時(shí)，x與h的比為_(kāi)_______________．[答案]11[解析]設(shè)窗戶面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則S＝eq\f(π,2)x2＋2hx，h＝eq\f(S,2x)－eq\f(π,4)x，∴窗戶周長(zhǎng)L＝πx＋2x＋2h＝eq\f(π,2)x＋2x＋eq\f(S,x)，∴L′＝eq\f(π,2)＋2－eq\f(S,x2).由L′＝0，得x＝eq\r(\f(2S,π＋4))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(2S,π＋4))))時(shí)，L′<0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2S,π＋4))，＋∞))時(shí)，L′>0，∴當(dāng)x＝eq\r(\f(2S,π＋4))時(shí)，L取最小值，此時(shí)eq\f(h,x)＝eq\f(2S－πx2,4x2)＝eq\f(2S,4x2)－eq\f(π,4)＝eq\f(π＋4,4)－eq\f(π,4)＝1.三、解答題10．(2014～2015·福州市八縣聯(lián)考)永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，旅游增加值y萬(wàn)元與投入x(x≥10)萬(wàn)元之間滿足：y＝f(x)＝ax2＋eq\f(101,50)x－blneq\f(x,10)，a，b為常數(shù)．當(dāng)x＝10萬(wàn)元時(shí)，y＝19.2萬(wàn)元；當(dāng)x＝30萬(wàn)元時(shí)，y＝50.5萬(wàn)元．(參考數(shù)據(jù)：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值．(利潤(rùn)＝旅游增加值－投入)．[解析](1)由條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a×102＋\f(101,50)×10－bln1＝19.2，,a×302＋\f(101,50)×30－bln3＝50.5，))解得a＝－eq\f(1,100)，b＝1，則f(x)＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(101,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(51,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)，則T′(x)＝eq\f(－x,50)＋eq\f(51,50)－eq\f(1,x)＝－eq\f(x－1x－50,50x)，令T′(x)＝0，則x＝1(舍)或x＝50，當(dāng)x∈(10,50)時(shí)，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；當(dāng)x∈(50，＋∞)時(shí)，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝50時(shí)，T(x)取最大值．T(50)＝－eq\f(502,100)＋eq\f(51,50)×50－lneq\f(50,10)＝24.4(萬(wàn)元)．即該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值為24.4萬(wàn)元．拓展應(yīng)用提能一、選擇題11．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A．10 B．15C．25 D．50[答案]C[解析]如圖，設(shè)∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.12．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．eq\f(1,2)πr2[答案]A[解析]設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2,1)).∴S＝4πeq\r(r2r\o\al(2,1)－r\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此時(shí)S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.13．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋eq\f(71,3)，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．3萬(wàn)件 B．1萬(wàn)件C．2萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件[答案]C[解析]本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及求導(dǎo)運(yùn)算．∵x>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0,2)時(shí)，y′>0，x∈(2，＋∞)時(shí)，y′<0，y先增后減．∴x＝2時(shí)函數(shù)取最大值，選C.二、填空題14．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤(rùn)最大每件定價(jià)為_(kāi)_______________元．[答案]85[解析]設(shè)每件商品定價(jià)x元，依題意可得利潤(rùn)為L(zhǎng)＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因?yàn)樵?0,200)內(nèi)L只有一個(gè)極值，所以以每件85元出售時(shí)利潤(rùn)最大．三、解答題15．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過(guò)程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N＋)．(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？[解析](1)由意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．因?yàn)榇纹仿蕄＝eq\f(3x,4x＋32)，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N＋)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32·x－16,x＋82)，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x≤16時(shí)，T′≥0；當(dāng)x≥16時(shí)，T′≤0；所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大．即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大日盈利．16．(2014～2015·三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足的關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大．(保留1位小數(shù))[解析](1)因?yàn)閤＝4時(shí)，y＝21，代入關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－2)[eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，且在(0，eq\f(10,3))上，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(eq\f(10,3)，6)上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x＝eq\f(10,3)是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x＝eq\f(10,3)≈3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值．故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大．17．(2014～2015·山東省德州市期中)統(tǒng)計(jì)表明某型號(hào)汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)為y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x<120)．(1)當(dāng)x＝64千米/小時(shí)時(shí)，行駛100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，則該型號(hào)汽車最多行駛多少千米？[解析](1)當(dāng)x＝64千米/小時(shí)時(shí)，要行駛100千米需要eq\f(100,64)＝eq\f(25,16)小時(shí)，要耗油(eq\f(1,128000)×643－eq\f(3,80)×64＋8)×eq\f(25,16)＝11.95(升)．(2)設(shè)22.5升油能使該型號(hào)汽車行駛a千米，由題意得，(eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8)×eq\f(a,x)＝22.5，∴a＝eq\f(22.5,\f(1,128000)x2＋\f(8,x)－\f(3,80))，設(shè)h(x)＝eq\f(1,128000)x2＋eq\f(8,x)－eq\f(3,80)，則當(dāng)h(x)最小時(shí)，a取最大值，h′(x)＝eq\f(1,64000)x－eq\f(8,x2)＝eq\f(x3－803,64000x2)，令h′(x)＝0?x＝80，當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h′(x)<0，當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h′(x)>0，故當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，函數(shù)h(x)為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取得最小值，此時(shí)a取最大值為∴a＝eq\f(22.5,\f(1,128000)×802＋\f(8,80)－\f(3,80))＝200.答：若油箱有22.5升油，則該型號(hào)汽車最多行駛200千米．18．某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖所示)．如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m2，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m2，池底建造單價(jià)為80元/m2(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該地的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16m，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最