最優(yōu)控制變分法

最優(yōu)控制變分法第一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

一、泛函和變分如緒論中所述，泛函是一個(gè)(或一些)函數(shù)的函數(shù)，它的函數(shù)值取決于這個(gè)(或這些)函數(shù)的選取。更確切地說：如果有一類函數(shù)集，對每一個(gè)都有一個(gè)確定的值與之對應(yīng)記作 。比如說，旋轉(zhuǎn)體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力取決于它的幾何形狀。用數(shù)學(xué)的話來說，就是如果我們把它的幾何形狀用函數(shù)來描述，那么，是的函數(shù)。旋轉(zhuǎn)體可以加工成各式各樣的形狀，因而函數(shù)同t之間存在著無限多種可能的函數(shù)關(guān)系，形成一個(gè)函數(shù)的集合，如圖1—

1所示。這里便是一個(gè)泛函。第二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日如果要求選擇一種形狀使旋轉(zhuǎn)體受到的阻力最小，這就意味若要求從這一族函數(shù)中尋找出使達(dá)到最小的來。這就是一個(gè)求泛函的極小值問題，也是一個(gè)變分問題。這個(gè)問題是牛頓在1686年提出的，它是變分法所解決的最早的一個(gè)問題。變分法中有3類基本問題，即拉格郎(Lagrange)問題、馬耶耳(Mayer)問題和波爾札(Bo1sa)問題。這3類問題在最優(yōu)控制問題中都遇到，它們之間的主要區(qū)別在于性能泛函的形式不同。（1）拉格朗問題拉格朗問題的泛函表示為

式中，是n維矢量；是m維矢量；是獨(dú)立變量；是、和連續(xù)函數(shù)。緒論中基于性能指標(biāo)(0—2)、(0—10)和(0—1)的最優(yōu)控制問題是拉格郎問題的實(shí)例。第四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日(2)馬耶耳問題馬耶爾問題的泛函表示為緒論中基于性能指標(biāo)（0—9）的最短時(shí)間控制問題和基于性能指標(biāo)（0—15）的最優(yōu)推力方向角選擇問題就是馬耶耳問題的一個(gè)特例。(3)波爾扎問題波爾扎問題的性能泛函是

圖1-1所示的最小阻力彈頭形狀問題就是波爾扎問題的一個(gè)實(shí)例在高超音速中零攻角下旋轉(zhuǎn)體在流體中受到的壓阻力可以精確地表示為

其中，表示旋轉(zhuǎn)體各處半徑； ；是旋轉(zhuǎn)體最大半徑；是旋轉(zhuǎn)體的長度；為常數(shù)。

第五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日從上面的分析可以看出，拉格朗問題的性能泛函是一個(gè)積分，馬耶爾問題的性能泛函是關(guān)于初始狀態(tài)時(shí)間、初始狀態(tài)和終端時(shí)間、終端狀態(tài)的某個(gè)函數(shù)，而波爾扎問題的性能泛函則是兩者之和?？梢?，波爾扎問題具有更一般的形式。但是，這3類問題之間常可互相轉(zhuǎn)化。比如，把泛函改寫成第六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日就把一個(gè)馬耶耳問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)拉格郎問題，反之亦然。變分問題是研究泛函的極值路問題；而求某個(gè)泛函的極大值等價(jià)于求它的負(fù)值的極小值。因此，我們主要討論極小值問題。在討論泛函的極小值以前，首先回顧普通函數(shù)的極小值。給出函數(shù)，假設(shè)它在區(qū)間上連續(xù)。如果在該區(qū)間上有，對于一切，有

則是函數(shù)在區(qū)間上的總體極小值?？傮w極小值是唯一的，而達(dá)到總體極小值的不一定唯一，比如圖1-2所示的函數(shù)在和兩處都達(dá)到總體極小

第七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日如果是的一個(gè)局部極小值，則有且（1.1—1）條件(1.1—1)是局部極小值的必要條件，但不是充分條件。比如函數(shù)在處滿足條件(1.1–1)，但是不是極小值，如圖1—3所示。

第九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日如果且（1.1—2）

則是一個(gè)局部極小值。條件（1.1—2）是局部極小值的充分條件。給出泛函，如果在容許函數(shù)（即一切使泛函存在的函數(shù)）中，有函數(shù)，對一切容許的有則是的總體極小值。為了定義泛函的局部極小值，需要引出函數(shù)空間的“鄰域”的概念：考慮區(qū)間上兩個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)和，如果對于每一個(gè)，兩函數(shù)值都互相接近，則函數(shù)：和是在零階意義下接近的；如果對于每一個(gè)，不但值同值接近，而且它的導(dǎo)數(shù)值值同值接近；則稱函數(shù)同函是在一階意義上接近的。第十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

如果在容許函數(shù)的集合函數(shù)集合中，對一切同零階接近的，有

則稱是泛函的一個(gè)強(qiáng)局部極小值；如果對一切同 一階接近的，有

則稱是泛函的一個(gè)弱局部極小值。容易看出，在定義泛函的總體極小值、強(qiáng)局部極小值和弱局部極小值時(shí)，函數(shù)是分別同數(shù)目逐次減少的函數(shù)的集合相比較的。因此，若局部極小值的必要條件也是強(qiáng)局部極小值的必要條件，強(qiáng)局部極小值的必要條件也是總體極小值的必要條件，反之則不盡然。第十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

二、固定端點(diǎn)時(shí)間、無約束條件的變分問題這一節(jié)，我們討論一類最簡單的變分問題，即無約束條件、端點(diǎn)時(shí)間固定，只有一個(gè)自變量函數(shù)的拉格郎問題。通過這個(gè)問題來引出歐拉方程和橫截條件。求解變分問題，就是要把使泛函達(dá)到極值的那個(gè)自變量函數(shù)找出來，這就需要利用歐拉方程和橫截條件。因此，歐拉方程和橫截條件是求解變分問題的基礎(chǔ)。在推導(dǎo)歐拉方程和橫截條件時(shí)要使用一個(gè)定理，這個(gè)定理叫作變分法的基本頸備定理。本節(jié)首先介紹基本預(yù)備定理，接著推導(dǎo)歐拉方程，然后討論橫截條件，最后討論泛函取極值的充分條件。第十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

1．變分法的基本預(yù)備定理

基本預(yù)備定理的內(nèi)容是：如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的，而且對于只滿足某些一般條件(例如一階或若干階可微，在上的端點(diǎn)處，或且等)的任意選定的函數(shù)，有

(1·2—1)則在區(qū)間上

下面我們來證明這個(gè)定理。由于函數(shù)，是任意選定的，因此，可以取(1.2—2)其中的是任一滿足條件

第十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日的函數(shù)，式中c為某個(gè)函數(shù)，它在區(qū)間上各點(diǎn)的函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值可以選得任意小。因此，這樣選擇的滿足定理要求的一切條件。把方程(1·2—2)代入(1·2—1)，得

式中被積函數(shù)是非負(fù)的。一個(gè)非負(fù)函數(shù)的積分等于零，只能是被積函數(shù)恒等于零，而是滿足某些條件的任意函數(shù)。因此，要使上式成立，必有

進(jìn)而，如果有

其中是互相獨(dú)立，并滿足基本預(yù)備定理要求的任意選定的函數(shù)，那么，可以輪流令除以外的其它()都為零，再使用基本預(yù)備定理，可得，上述結(jié)果可以應(yīng)用到包含有多個(gè)自變量函數(shù)的泛函。第十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

2.歐拉方程現(xiàn)在，我們來推導(dǎo)歐拉方程和相應(yīng)的橫截條件。首先討論固定端點(diǎn)問題，然后討論未定端點(diǎn)問題。考慮最簡單的泛函(1·2—3)的極值。其中是二次可微函數(shù)；，是變量和連函函數(shù)，并且有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，端點(diǎn)時(shí)間和固定。首先研究容許函數(shù)（或曲線）端點(diǎn)固定的情況，即規(guī)定和。圖1—4示出了一族容許函數(shù)。現(xiàn)在的的問題是要從這一族容許函數(shù)(或曲線)中找出使泛函J取極值的函數(shù)(或曲線)，即極值函數(shù)或極值曲線。第十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日假設(shè)是極值曲線是任一鄰近于它的容許曲線，如圖1—5所示。令

(1·2—4)和

(1·2—5)是的連續(xù)可微函數(shù)，叫做的變分。是一個(gè)小參數(shù)。選擇不同的和就能夠把鄰近的容許函數(shù)表示出來。因此，式（1.2—5）表示了鄰近的任意一族容許函數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。這一族函數(shù)都起始于，終止于。第十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

將式(1·2—5)兩邊對求導(dǎo)，可得(1·2—6)將式(1·2—5)、(1·2—6)代入式(1·2—3)，又得(1·2—7)在式(1·2—7)中，每選擇一個(gè)，都可作一條曲線。選擇各式各樣的容許的，可以作出一族曲線，如圖1—6所示。因?yàn)?/p>

所以有

因此，所有曲線都在上達(dá)到極值。于是，在極值函數(shù)上，有(1·2—8)這就是泛函J取極值的必要條件。·將式（1·2—7）的右邊對參數(shù)求導(dǎo)，再令結(jié)果中的，便可求出極值函數(shù)。泛函對參數(shù)求導(dǎo)遵守以下法則：假設(shè)是變量的函數(shù)，而又都是獨(dú)立變量的可微函數(shù)，則第二十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

將方程(1·2—7)兩邊對求偏導(dǎo)，得到

已知被積函數(shù)L具有二次連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此，上式右邊的求導(dǎo)和積分可交換順序，于是得到

利用泛函對參數(shù)求導(dǎo)法則，有

把它代入上式，則第二十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日把它代入上式，則

·在上式中令，則式(1·2—8)便可寫成

（1.2—9）由于式中和彼此相關(guān)，因此，暫時(shí)還不能使用基本預(yù)備定理。對上式積分號(hào)下第二項(xiàng)使用分積分，可得 (1.2—10)將式(1·2—10)代入(1·2—9)，得到必要條件：第二十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

前面假設(shè)端點(diǎn)是固定的，即，因此，，于是，方程(1·2—11)變成

式是連續(xù)函數(shù)，而是—任意函數(shù)，且，，具備了基本預(yù)備定理的全部條件。因此，在極值函數(shù)上，有

第二十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日方程(1·2—12)叫作歐拉方程。歐拉方程的積分曲線是一族曲線，這一族曲線叫作極值函數(shù)或極值曲線。只有在極值函數(shù)上，泛函

才能達(dá)到極值。方程(1·2—12)是二階微分方程，它的解包含兩個(gè)積分常數(shù)。這兩個(gè)積分常數(shù)要利用邊界條件和來確定。只有滿足歐拉方程同時(shí)又滿足條件的函數(shù)，才能在滿足給定端點(diǎn)條件下使泛函到達(dá)它的極值。因此，求解變分或?qū)ふ曳汉臉O值函數(shù)問題歸結(jié)為求解歐拉方程。在前面我們假設(shè)邊界條件和是預(yù)先規(guī)定的?，F(xiàn)在假設(shè)邊界條件未規(guī)定，和是任意的。這樣的容許函數(shù)就更多了，的鄰域里包含的函數(shù)也更多了。它除包含前面討論的有公共端點(diǎn)的函數(shù)(比如外，還包含沒有公共端的函數(shù)(比如)，如圖1—7所示。第二十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第二十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日不難理解，如果函數(shù)能在未定端點(diǎn)問題中使泛函（1·2—3）達(dá)到極值，那么，·對于同有公共端點(diǎn)的更狹窄的一類函數(shù)來說，必然也能使泛函（1.2—3）達(dá)到極值。也就是說，同樣是歐拉方程(2—12)的解。在這里和未規(guī)定是任意的。因此，必要條件（1.2—11）包括了下面兩個(gè)方程：(1.2—13)和（1·2—14）

上述結(jié)果可以解釋：既然和是任意的，那么，當(dāng)它們同時(shí)為零時(shí)，方程（1.2—11）必須成立，于是得出該式左邊第一項(xiàng)，即積分項(xiàng)為零，進(jìn)而利用變分法的基本預(yù)備定理得出式(1.2—13)。另外，當(dāng)和不為零時(shí)式(1·2—11)也必須成立，于是得出條件（1.2—14）。方程（1.2—13）就是未定端點(diǎn)問題的歐拉方程，方程（1.2—14）叫做橫截條件。這兩個(gè)方程一起是泛函（1.2—3）取極值的必要條件。然而，滿足必要條件的函數(shù)是否確使泛函取得極值，以及其極值究竟是極大值還是極小值還要利用后面將要討論的充分條件。3．對于橫截條件的說明

求極值函數(shù)，不但需要解歐拉方程，還需要正確地使

第二十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第二十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第二十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第二十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

（1）固定端點(diǎn)問題起始條件和終端條件預(yù)先規(guī)定為和。一切容許函數(shù)都必須經(jīng)過兩個(gè)固定端點(diǎn)和，如圖1—8所示。在這種情況下橫截條件(1·2—14)利用=＝0來滿足。邊界條件是和（2）固定始端、未定終端問題初始條件固定，終端條件未定，其容許函數(shù)如圖1—9所示。這里＝0，可任意選擇。于是，橫截條件(1·2—14)變成和（3）未定始端、固定終端問題終端條件規(guī)定為，初始狀態(tài)未規(guī)定，其容許函數(shù)如圖l—10所示，相應(yīng)的橫截條件是和（4）未定端點(diǎn)問題端點(diǎn)狀態(tài)末規(guī)定，容許函數(shù)如圖1—11所示。假設(shè)、互不相關(guān)，條件(1.2—14)可寫成和又知道和任意，于是得到橫截條件 和第三十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日例1．2—1求泛函

在邊界條件，下的極值曲線。解：這個(gè)問題的歐換方程是

其通解為

利用邊界條件，可求得，。因此，極值曲線是

例1·2—2求泛函

的極值曲線。

第三十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

解：這個(gè)問題的歐拉方程是

它的一次積分為

引入?yún)?shù)，令，代入上式可得

式中。對上式兩邊微分，得

于是得到

對上式積分，得 或于是得到極值曲線參數(shù)方程：，消去，得到

這是中心位于縱坐標(biāo)軸上的一族圓。第三十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日4．充分條件

在前面我們根據(jù)泛函取極值的必要條件

和基本預(yù)備定理導(dǎo)出了歐拉方程和橫截條件。如前所述，只有滿足必要條件的函數(shù)才能使泛函取得極值。但是，究竟是確使泛函達(dá)到極值，還是一個(gè)駐點(diǎn)?如果是極值，那么，是極大值還是極小值?僅僅依靠必要條件還不能確定。要回答上述問題還必須研究極值的充分條件。我們知道，普通函數(shù)求極值時(shí)極值的性質(zhì)是用該函數(shù)在一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)上二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的。如果二階導(dǎo)數(shù)為正則極值為極小值；若二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則極值為極大值；如果二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不定則表明是一個(gè)駐點(diǎn)（或鞍點(diǎn)）。同樣，要確定泛函極值的性質(zhì)，還需要研究泛函對參數(shù)關(guān)于的二階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)前面的分析，對于泛函

有

第三十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日這也是一個(gè)泛函。利用泛函對參數(shù)求導(dǎo)法則，可得

令，得到第三十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日或?qū)懗啥涡头e分

要使取得極小(極大)值，還必須

這是使取極小(極大)．的另一個(gè)必要條件。如果

則J肯定為極小(極大)值。上述條件是使泛函J取極小值。(極大握i)的自充分條件。容易看出，如果式(1·2—16)中被積函數(shù)內(nèi)的矩陣是正定或半正定(負(fù)定或半負(fù)定)的，只要在區(qū)間上被積函數(shù)不恒等于零，它的積分總大于(小于)零。由此可以得出結(jié)論，使泛函

第三十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日取極小(極大)的充分條件是：在條件下，二次型矩陣是正定或半正定（負(fù)定或半負(fù)定）的。

小結(jié)總結(jié)以上分析，得到如下結(jié)果：給定泛函

其中是的二次可微函數(shù)，是變量和的連續(xù)函數(shù)，且有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，端點(diǎn)時(shí)間固定。那么，使泛函取極值的函數(shù)必須滿足歐拉方程和橫截條件

使極小(極大)值的充分條件是下列二次型矩陣，

是正定或半正定（負(fù)定或半負(fù)定）的。第三十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

例1·2—3試求從點(diǎn)到線間弧長最短的曲線。解：這是一個(gè)固定始點(diǎn)、未定終點(diǎn)問題。首先建立泛函的數(shù)學(xué)表達(dá)式，定義微分弧長為，則

于是，曲線弧長為

這里，，因此，這個(gè)問題的歐拉方程是

它的一次積分為

c為積分常數(shù)。把上式展開，可得，把上式再積分，得到極值曲線

積分常數(shù)a和b利用橫截條件來確定。這個(gè)問題的橫截條件是第三十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第三十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日 和即 和由此可得阿a＝0，b＝1。于是我們得到從點(diǎn)到線間具有最短弧長的曲線是直線，如圖1—12所示。在這個(gè)例子中，，因此有 ，，二次型矩陣

半正定。這就從數(shù)學(xué)上證明了我們求出的極值確是極小值。第三十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日例1.2—4求泛函

在自由端點(diǎn)條件下的極值曲線。解：這個(gè)問題的歐拉方程是

歐拉方程的積分曲線是

橫裁條件是 ，或 ， ，解上面兩個(gè)代數(shù)方程，得，。因此，極值曲線為

第四十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第四十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日布什總統(tǒng)就美國決定退出《反導(dǎo)條約》發(fā)表電視講話布什的講話：

早上好，我們剛剛結(jié)束了國家安全委員會(huì)的一次會(huì)議。我們回顧了我與我的朋友——俄羅斯總統(tǒng)普京，在過去幾個(gè)月的多次會(huì)議上的會(huì)談情況。美國人民需要放棄1972年達(dá)成的《反彈道導(dǎo)彈條約》。

今天，我已正式通告俄羅斯，美國要從這個(gè)存在了將近30多年的條約中退出。我們認(rèn)為，《反彈道導(dǎo)彈條約》妨礙了我們政府尋求保護(hù)民眾的新途徑所做的努力，阻礙了保護(hù)民眾免遭恐怖分子和流氓國家的導(dǎo)彈襲擊的努力?！?.第四十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日NMD─美國國家導(dǎo)彈防御系統(tǒng)介紹改迸的預(yù)警雷達(dá)，它們是NMD系統(tǒng)的"眼睛"，能預(yù)警到4000-4800千米遠(yuǎn)的目標(biāo)。美國除要改進(jìn)現(xiàn)有部署在阿拉斯加的地地彈預(yù)警雷達(dá)以及部署在加州與馬薩諸塞州的"鋪路爪"雷達(dá)外，還要在亞洲地區(qū)新建一個(gè)早期預(yù)警雷達(dá)。地基雷達(dá)是一種X波段、寬頻帶、大孔徑相控陣?yán)走_(dá)，將地基攔截彈導(dǎo)引到作戰(zhàn)空域。地基攔截彈是NMD的核心，由助推火箭和攔截器(彈頭)組成，前者將攔截器送到目標(biāo)鄰近，后者能自動(dòng)調(diào)整方向和高度，在尋找和鎖定目標(biāo)后與之相撞，將它擊落在太空上。

第四十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

美國國防部高級(jí)官員近日透露，將從今年夏天開始部署用于導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的攔截武器，這一計(jì)劃比白宮原定的“秋季期限”有所提前。美國導(dǎo)彈防御局發(fā)言人里克·萊納說：“也許6、7月前后第一枚攔截導(dǎo)彈將進(jìn)入發(fā)射井。”布什政府的導(dǎo)彈防御系統(tǒng)是克林頓提出的國家導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的延伸與擴(kuò)展，從以陸基中段攔截導(dǎo)彈為主發(fā)展到陸基、?；涂栈鄬哟螌?dǎo)彈防御體系的結(jié)合。美國心急火燎地宣布將提前啟動(dòng)該系統(tǒng)，引起了人們的廣泛置疑和揣測

美急于部署導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的背后

第四十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日中國日報(bào)網(wǎng)站消息：據(jù)俄羅斯國際文傳電訊報(bào)道，俄羅斯國防部長伊萬諾夫11月29日告訴俄羅斯總統(tǒng)普京，俄羅斯已經(jīng)成功測試了一個(gè)經(jīng)過改進(jìn)的反彈道導(dǎo)彈系統(tǒng)。

第四十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)型“白楊-M”的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能優(yōu)勢顯著。導(dǎo)彈采用主動(dòng)姿態(tài)控制系統(tǒng)等先進(jìn)制導(dǎo)技術(shù)，飛行過程中彈體平穩(wěn)，不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)。導(dǎo)彈飛行距離超過1萬公里時(shí)，其命中精度誤差小于90米。此外，為了提升突防能力，“白楊-M”具有額外機(jī)動(dòng)能力，可連續(xù)變更自己的位置，變化莫測、防不勝防，且能從機(jī)動(dòng)路途中的任意一個(gè)點(diǎn)發(fā)射，可以說是美國國家導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的克星俄試射新型導(dǎo)彈對抗NMD第四十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日發(fā)射中的以色列“箭”式反導(dǎo)導(dǎo)彈

以色列美國成功進(jìn)行“箭”式反導(dǎo)系統(tǒng)試驗(yàn)中新網(wǎng)7月30日電據(jù)法新社報(bào)道，以色列和美國星期四(29日)在加利福尼亞州的一個(gè)靶場成功地進(jìn)行了“箭”式反導(dǎo)系統(tǒng)實(shí)彈拉截實(shí)驗(yàn)。這種反導(dǎo)系統(tǒng)是目前唯一的一種現(xiàn)役反導(dǎo)系統(tǒng)。第四十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日發(fā)射升空的以色列“箭”式反導(dǎo)導(dǎo)彈

以色列時(shí)間下午8點(diǎn)25分，一枚美國從伊拉克沒收的飛毛腿”導(dǎo)彈從美國海軍的一個(gè)空戰(zhàn)中心發(fā)射升空，“箭”式系統(tǒng)的雷達(dá)“綠松”發(fā)現(xiàn)并確定了這枚導(dǎo)彈的方位，并引導(dǎo)一枚“箭”式導(dǎo)彈攔截了這枚飛毛腿導(dǎo)彈。

第四十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日中國日報(bào)網(wǎng)站消息：遭遇了一連串的敗績后，美國的導(dǎo)彈防御系統(tǒng)試驗(yàn)終于在2月24日重現(xiàn)一絲曙光。當(dāng)天美軍從夏威夷附近海域的艦艇上發(fā)射攔截導(dǎo)彈，一舉摧毀了“來襲”的模擬敵方導(dǎo)彈。美國國防部導(dǎo)彈防御局發(fā)言人理查德·萊納兩個(gè)多月來第一次宣布了一條“獲勝”的消息。他在五角大樓的新聞發(fā)布會(huì)上興奮地表示：“我們成功地進(jìn)行了一次攔截－摧毀防御試驗(yàn)。”第四十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日7月6日，日本防衛(wèi)廳長官石破茂前往首相辦公室參加內(nèi)閣會(huì)議。在當(dāng)天石破茂向內(nèi)閣會(huì)議提交的2004年《防衛(wèi)白皮書》中，“專守防衛(wèi)”和“禁止出口武器”兩大軍事限制被束之高閣，并聲稱要耗資100億美元在7年內(nèi)建成導(dǎo)彈防御系統(tǒng)

日本計(jì)劃在7年內(nèi)建成彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)

第五十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第五十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第五十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第五十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第五十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

三、未定終端時(shí)間、無約束條件的變分問題前一節(jié)研究泛函

（1·3一1）的極值時(shí)，都假設(shè)初始的間和終端時(shí)間是固定不變的。這問題稱為固定端點(diǎn)時(shí)間問題。但是，在最優(yōu)控制中經(jīng)常還會(huì)遇另一類問題，·它的終端時(shí)間未規(guī)定，稱為未定終端時(shí)間問題。緒論中曾經(jīng)提到的最短時(shí)間問題就是未定終端時(shí)間問題的一個(gè)實(shí)例。假設(shè)終端時(shí)間未規(guī)定，但不是任意的，它受終端狀態(tài)約束，而又取決于給定的終端曲線。規(guī)定了終端狀態(tài)與終端時(shí)間之間的關(guān)系。如果終端狀態(tài)分別是、、，則相應(yīng)的終端時(shí)間就只能分別是、、，如圖1—13所示。第五十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第五十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日研究未定終端時(shí)間問題的任務(wù)是：尋找一條連續(xù)可微的極值曲線，它由給定的起始點(diǎn)出發(fā)，”在終端時(shí)間到達(dá)給定的終端曲線，即(1．3—2)使性能泛函(1·3—1)達(dá)到極小(或極大)。仿照固定端點(diǎn)時(shí)間問題分析方法，我們用表示極值函數(shù)或曲線，用（1．3—3）表示與鄰近的一族曲線。這里是的變分。再用 （1·3—4）表示與曲線族相對應(yīng)的一切終端時(shí)間的集合。表示與極值曲線或最優(yōu)軌線相對應(yīng)的終端時(shí)間，稱為最優(yōu)終端時(shí)間。是的變分將式(1·3—3)兩邊對t求導(dǎo)，得到（1．3—5）第五十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日將式(1·3—3)一(1·3—5)代入式(1·3—1)，可得(1·3—6)如前所述，泛函J取極值的必要條件是

對于式(1·3—6)，可得

（1·3—7）上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)相當(dāng)于固定端點(diǎn)時(shí)間問題，利用第二節(jié)的結(jié)果，有第五十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日 式(1·3—7)等號(hào)右邊第二項(xiàng)，先用積分中值定理，再讓它對求導(dǎo)，然后令，則變?yōu)閷⑹?1．3—8)、(1·3—9)代入式(1·3—7)，再令結(jié)果等于零，可得到(1.3—10)在終端處，終端時(shí)間和終端狀態(tài)受終端界線方程(1·3—2)約束，因此，變分同彼此相關(guān)，只允許其中之一可以任意選擇，一但確定了其中的一個(gè)，則另一個(gè)必須按照方程(1·3—2)確定。將式(1．3—3)、(1．3—4)代入式(1，3—2)，得（1·3—11）將．上式兩邊對求偏導(dǎo)，再令，得（1．3—12）其中， ，于是得到同之間的關(guān)系，即為（1．3—13）下面用圖解方法對方程(1·3—l3)稍加解釋。在圖1—14中，第五十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第六十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日表示最優(yōu)軌線，是一條容許的鄰近曲線，由圖可知：

于是得出

這個(gè)近似等式就是方程(1．3—13)，它同精確等式之間只相差一個(gè)高階無窮小。將方程(1．3—13)代入式(1．3—10)，得 （1.3—14）在方程(1·3—14)中，同互不相關(guān)，且任意選擇，也是任意的。也就是說，該式左邊分別同、、有關(guān)的3項(xiàng)是互不相關(guān)的，要使該式成立，必然是上述3項(xiàng)分別等于零。由此得出第六十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

（1.3—15）

（1.3—16） （1.3—17）方程(1·3—15)是未定終端時(shí)間問題的歐拉方程。方程(1·3—16)、(1·3—17)是橫截條件，式中應(yīng)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，L至少二次連續(xù)可微，連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)。如果始端固定，則，初始條件是；若未規(guī)定，則始端條件是。因?yàn)榭扇我膺x擇，則由方程(1·3—17)可得

此外，在求解這類變分問題時(shí)還必須在終端時(shí)刻滿足約束條件(1.3—2)。

第六十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

小結(jié)綜合以上討淪，得到如下結(jié)果：如果函數(shù)是在給定初始時(shí)間從某個(gè)容許初始點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)給定終端約束曲線上的某一點(diǎn)，并且使性能泛函

取極值的極值函數(shù)，那么，它同最優(yōu)終端時(shí)間一起，必須滿足：1)歐拉方程

2)橫截條件

第六十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

例1·3—1試求在t—x平面上由點(diǎn)到曲線具有最短弧長的曲線方程(假設(shè)只取正值)。解：由題意，所示問題的性能泛函是，未規(guī)定參照例1·2—3，這個(gè)問題的極值曲線方程是

聯(lián)立求解這3個(gè)方程，可得；；于是得到極值曲線和最優(yōu)終端時(shí)間為 和如圖l—15所示。

第六十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日四、無條件變分問題的進(jìn)一步討論這一節(jié)繼續(xù)研究無約束條件的變分問題，把它從只有一個(gè)自變量函數(shù)的情況推廣到具有n個(gè)自變量函數(shù)的泛函。首先討論歐拉方程和橫截條件的矢量形式，然后討論變分方法。1．歐拉方程和橫截條件的矢量形式到這里為止，我們研究的性能泛函只包含一個(gè)自變量函數(shù)現(xiàn)在討論性能泛函包含有多個(gè)自變量函數(shù)的情況，導(dǎo)出它的歐拉方程和橫截條件，然后再用狀態(tài)空間法把它們寫成矢量形式。假設(shè)性能泛函 (1·4—1)是自變量函數(shù)的函數(shù)，每一個(gè)都是獨(dú)立變量的函數(shù)，具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，把它寫成矢量形式，則(1·4—2)式中是一n維矢量，“T’表示矢量或矩陣的轉(zhuǎn)置。(純量函數(shù)至少二次連續(xù)可微。假設(shè)起始時(shí)間固定(也可以不規(guī)定)，終端時(shí)間受一族給定的終端界線約束，具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)。第六十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

下面，我們采用同前幾節(jié)類似的方法來推導(dǎo)這類問題的歐拉方程和橫截條件。假設(shè)最優(yōu)軌線是相應(yīng)的變分是于是，鄰近的曲線族可以表示成 (1·4—3)對上式兩邊求導(dǎo)，得(1·4—4)把它們寫成矢量形式(1.4—5) (1.4—6)其中 假設(shè)是最優(yōu)終端時(shí)間，則(1．4—7)格式(1.4—3)、(1.4—4)和(1.4—7)代入式(1.4—1)，得

(1·4—8)第六十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日同前面—樣，在求泛函對參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)要利用泛函對參數(shù)求導(dǎo)法則，在這里利用

這個(gè)關(guān)系，將方程(1·4—8)兩邊對求導(dǎo)，再令，得

(1.4—9)將上式右邊被積函數(shù)中每一個(gè)方括弧內(nèi)的第二項(xiàng)使用分部積分，可得

（1.4—10）第六十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日或?qū)懗墒噶啃问?/p>

（1.4—11）在終端時(shí)間、終端狀態(tài)受終端界線族約束，即 （1.4—12）這里。因此，與彼此相關(guān)。把式(1·4—5)、(1·4—7)代入式(1·4—12)，得到

將上式兩端對求偏導(dǎo)，再令，整理以后，得

，(1·4—13)已知泛函J取極值的必要條件是第六十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日將式(1，4—13)代入式(1·4—11)，并令結(jié)果等于零，得到泛函(1·4—1)取極值的必要條件：

（1.4—14）式中的每一個(gè)分量以及都濃此互不相關(guān)且任意。利用基本預(yù)備定理，得到 （1.4—15） （1.4—16）

（1.4—17）以及 （1.4—18）第七十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日方程(1·4—15)和方程(1·4—16)一(1·4—18)分別是歐拉方程和橫截條件的矢量形式。如果終端時(shí)間固定，則，由方程(1·4—11)可得出終端橫截條件， （1·4—19）上式的展開形式是 ，如果彼此無關(guān)且任意，則上式左邊項(xiàng)之和等于零必然是各項(xiàng)分別等于零，于是得出以下個(gè)條件，即第七十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日例1·4—1給定性能泛函式中。假設(shè)和固定，，在終端時(shí)間滿足。試確定使泛函J取極值的橫截條件。解：已知固定，由方程(1·4—19)，這個(gè)問題的終端橫截條件是 （1.4—20）同時(shí)，在終端時(shí)間還要求滿足因此，同彼此相關(guān)，由方程(1．4—20)不能得出的左邊兩項(xiàng)分別等于零。令 （1.4—21）代入約束方程（1.4—21），得

將上式兩邊對求偏導(dǎo)，再令，得到 ，

，第七十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日上式中、之一可以任意選擇，把它代入式(1．4—20)，得

已知始端固定，。于是，得到兩端邊界條件分別為 （1·4—23）和第七十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

例1.4—2試求從點(diǎn)到圓的具有最短弧長的曲線方程。解：由題意，這個(gè)問題的性能泛函是

歐拉方程是

和

歐拉方程的一次積分是 和或，其中 ，由此可得 ，其中 ，對以上兩式分別積分，得第七十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日利用初始條件，可得和。利用式(1·4—24)，·這個(gè)問題的終端橫截條件是

，聯(lián)立求解這兩個(gè)代數(shù)方程，得 或，于是，我們得到的極值曲線為 或

圖1—36是這個(gè)問題的幾何說明。不難看出，從點(diǎn)到的具有最短弧長的曲線方程是

第七十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第七十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日2．變分方法到目前為止，我們是用微分方法確定泛函極值的，即依據(jù)

建立的泛函取極值的必要條件，用

的符號(hào)確定極值的性質(zhì)。在這一小節(jié)里，我們要介紹確定泛函極值的變分方法；用泛函的一次變分等于零建立極值的必要條件，用二次變分確定極值的性質(zhì)?？紤]性能泛函 （1·4—25）其中和固定。假設(shè)是極值曲線或最優(yōu)軌線，用和分別代表和，并定義為和的一次變分，那么（1·4—26）表示xt(6)鄰近的任意—族容許曲線，且有（1·4—27）將式(1·4—26)、(1·4—27)代入式(1·4—25)的右邊，并在，上將展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，即第七十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

（1.4—28）式中HOT表示關(guān)于和的高階項(xiàng)。用表示的增量，即

（1.4—29)第七十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日定義的一次變分為的線性主部并令，得到

（1．4—30）對上式積分號(hào)下第二項(xiàng)使用分部積分，整理后得

（1．4—31）式中任意，采用同第一節(jié)類似的分析方法，運(yùn)用變分法的基本預(yù)備定理，可導(dǎo)出 （1.4—32）和

（1.4—33）第七十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日這兩個(gè)方程正是變分問題的歐拉方程和橫階條件得出結(jié)論：條件： （1.4—34）同條件

是等效的。再定義的二次變分為的二次部分，即

（1.4—35）將式(1·4—35)同式(1·2—16)相比較，可以看出它們之間的唯一差別僅在于式(1·4—35)右邊增加了一個(gè)比例系數(shù)1／2。由此可以得出結(jié)論：我們也可以利用的符號(hào)來判斷極值的性質(zhì)。用變分方法來建立泛函取極值的必要條件和充分條件比微分方法要簡明些。因此，在后面的討論中我們都采用變分方法。第八十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

五、有約束條件的變分問題前面幾節(jié)討論的變分問題都未涉及約束條件。但是，一切實(shí)際最優(yōu)控制問題都存在著各式各樣的約束條件，其中包括等式約束，也包括不等式約束。在這一節(jié)里，首先討論有等式約束的變分問題；然后，簡短地介紹有不等式約束的變分問題。1．有等式約束的變分問題一切實(shí)際控制系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)軌線都必須滿足系統(tǒng)本身的運(yùn)動(dòng)方程式。這就是說，我們只能從滿足系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式的函數(shù)的集合中來挑選使泛函取極值的。這就是一類有系統(tǒng)微分方程約束的條件極值問題。我們知道，在處理有等式約束的普通函數(shù)求極值問題時(shí)有一種比較方便的方法，叫做拉格郎乘子法。它通過拉格朗日乘子約束條件結(jié)合到原來求極值的函數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)。于是，在給定約束條件下求原來函致的條件極值問題就轉(zhuǎn)化成求新函數(shù)的無條件極值問題。這個(gè)思想也可以用來處理有微分方程等式約束變分問題?！な紫?，考慮只有兩個(gè)自變量函數(shù)的泛函，然后再推廣到有個(gè)自變量函數(shù)的情況。第八十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日考慮性能泛函

（1.5—1）假設(shè)式中和固定，端點(diǎn)條件為

，， （1.5—2）函數(shù)、滿足下列微分方程： ， （1.5—3）我們的任務(wù)是：在滿足端點(diǎn)約束條件(1·5—2)和微分，方程(1·5—3)的函數(shù)的集合{、}中，尋找出使性能泛函(1.5—1)取極值的函數(shù)。如前所述，泛函J取極值的必要條件它的一次變分等于取泛函(1·5—1)的一次變分，并令結(jié)果等于零，得到

（1.5—4）這是一個(gè)固定端點(diǎn)問題，式(1·5—4)中，，，第八十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

如果積分號(hào)內(nèi)和彼此無關(guān)且任意選取選，那么，我們就可以使用基本預(yù)備定理，得出積分號(hào)下兩個(gè)方括弧內(nèi)的函數(shù)別等于零。但是，這里和受方程(1·5，—3)約束，和有關(guān)，只允許其中之一任意選取，因此不能使用基本預(yù)備本理。假設(shè)和是任意一組滿足約束方程(1·5—3)的容許函數(shù)，取方程(1.5—3)的變分，得到 （1.5—5）將上式兩邊乘以待定函數(shù)因子(函數(shù)拉格郎乘子)，然后在到間積分，得 （1.5—6）

第八十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日將每個(gè)積分號(hào)下的第二項(xiàng)分別進(jìn)行分部積分，并注意到、、、都為零，得到 （1.5—7）將方程(1·5—7)的每一項(xiàng)加到方程(1·5—4)的相應(yīng)項(xiàng)，得

定義一個(gè)輔助泛函 （1.5—8）則上式可表示成（1.5—9）由于同彼此相關(guān)，只有其中的一個(gè)（比如）可以任意選取，另一個(gè)(比如)不是任意的，因此暫還不能對式(1·5—9)直接使用基本預(yù)備定理?！敲矗趺崔k呢?我們知道，函數(shù)中包含有待定函數(shù)現(xiàn)在我們這樣來選擇，使它滿足第八十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

（1.5—10） 經(jīng)過這樣選擇的，就使方程(1·5—9)變成式中是一任意函數(shù)，且，具備使用基本預(yù)備定理的條件，于是得到 （1.5—11） 通過以上分析，可以得出如下結(jié)論：如果函數(shù)、是在微分方程(1·5—3)約束下使泛函(1．5—1)取極值的極值函數(shù)，是有關(guān)的函數(shù)拉格郎乘子，那么，、以及必須同時(shí)滿足下列方程，即1）2） （1.5—12）3）第八十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日另一方面，如果利用輔助函數(shù)構(gòu)成一個(gè)新泛函，即

那么，可以看做3個(gè)自變量函數(shù)、以及的函數(shù)。利用前面幾節(jié)的討論結(jié)果，可得出使取得極值的、和必須滿足下列歐拉方程： 1） 2） （1.5—14）

3）或第八十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日容易看出，方程組(1·5—12)與方程組(1·5—14)完全相同。這個(gè)事實(shí)證明：如果通過函數(shù)拉格郎乘子把約束方程(1·5—3)結(jié)合到原來求極值的泛函式(1·5—1)，構(gòu)成一個(gè)如式(1·5—13)所示的新泛函，那么，在微分方程（1.5—3）約束下求原泛函的條件取值問題轉(zhuǎn)換成求新泛函的無條件極值問題。上述結(jié)論雖然是針對只有兩個(gè)自變量函數(shù)的泛函推導(dǎo)出來的但是進(jìn)一步可以證明，這個(gè)結(jié)論也適用于具有多個(gè)自變量函數(shù)的泛函以及端點(diǎn)條件更為復(fù)雜的情況。

小結(jié)總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果：如果給出性能泛函

其中是維矢量，要求在矢量微分方程 (1·5—16)的約束下求泛函J的極值，其中 是m維矢量函數(shù)，且m＜n，那么，我們可以用一個(gè)m維矢量拉格郎乘子

將約束條件(1·5—16)結(jié)合到泛函(1·5—15)構(gòu)成一個(gè)新泛函，即(1·5—17)第八十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日于是，在微分方程組(1·5—16)約束下求泛函(1·5—l5)的條件極值問題就轉(zhuǎn)化成求新泛函(1·5—l7)的無條件極位問題。假設(shè)函數(shù)，使泛函取極值，那么，這n+m個(gè)函數(shù)必須滿足下面n+m個(gè)方程： ， （1.5—18）和，或?qū)懗墒噶啃问?/p>

和

在這里我們把輔助泛函作為依賴于n+m個(gè)自變量函數(shù)，的泛函來看待。方程(1·5—20)同方程(1·5—21)一起是它們的歐拉方程。為了說明有微分方程等式約束的變分問題的具體解法，下面分析幾個(gè)例題。第八十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

例1·5—1火箭在自由空間里的運(yùn)動(dòng)用下列微分方程描述 圖1—17是它的狀態(tài)變量圖。令，可以建立狀態(tài)方程 （1.5—22）其中 ，，試求控制函數(shù)，把系統(tǒng)(1·5—22)從初始狀態(tài)

經(jīng)過2秒鐘轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，即

且使性能指標(biāo)

（1.5—23）取極小。

第八十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日第九十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

解：選擇矢量拉格郎乘子，把約束條件(1·5—22)結(jié)合到性能泛函(1。5—23)，構(gòu)成輔助泛函

這里式中控制函數(shù)可視為泛函J’的另一個(gè)自變量函數(shù)。假設(shè)使取極值，那么，它們必須滿足歐拉方程：

聯(lián)立求解上述歐拉方程，可得

第九十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

利用邊界條件

可以算出4個(gè)積分常數(shù)

于是得到最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，即

圖1—18示出了最優(yōu)控制函數(shù)和最優(yōu)軌線。第九十二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日例1.5—2給定線性系統(tǒng)狀態(tài)方程

初始條件為

終端條件為 未規(guī)定試求控制和，使性能泛函

第九十三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日解：利用拉格郎乘子，建立輔助泛函

它的歐拉方程是

解歐拉方程，可得，

第九十四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日利用邊界條件

可求出4個(gè)積分常數(shù)為

于是得到最優(yōu)控制 ，第九十五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日例1．5—3給定系統(tǒng)方程

端點(diǎn)條件為

試求控制，使性能泛函 ，未規(guī)定取極小。解：利用拉格郎乘子人，建立輔助泛函

它的歐拉方程是

由以上各式可得第九十六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

由此可得

由，可得

由，可得

由，得

第九十七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日由

可得

聯(lián)立求解上述方程，得

于是得到

第九十八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日2．有不等式約束的變分問題在最優(yōu)控制問題中，除存在微分方程等式約束外，還經(jīng)常遇到不等式約束。比如，在姿態(tài)控制問題中，由于噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力有限，控制力只能在其絕對值不大于最大推力的范圍內(nèi)取值。這個(gè)關(guān)系用數(shù)學(xué)來描述，就是一個(gè)不等式約束。包含有不等式約束的變分問題一船提法是：給定性能泛函

（1.5—24）要求在微分方程

（1.5—25）和不等式

（1.5—26）的約束下，求泛函的極值。式中是維矢量，是維矢量函數(shù)，和是r維矢量，是r維矢量函數(shù)第九十九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日移動(dòng)機(jī)器人的導(dǎo)航和路徑規(guī)劃問題可用最優(yōu)控制有不等式約束的變分方法求解第一百頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日本田公司研制的ASIMO人工智能機(jī)器人。據(jù)稱這款機(jī)器人是世界上第一款能夠在人類生活空間自由自在地移動(dòng)的機(jī)器人。

第一百零一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日能看懂手勢、會(huì)上網(wǎng)的新款A(yù)SIMO

本田的雙足行走機(jī)器人“ASIMO”又變聰明了。在本田制作的演示錄像中，ASIMO就象一個(gè)被委派了接客任務(wù)的孩子一樣，雖然動(dòng)作還有些稚嫩，但也算是有板有眼地完成接待然務(wù)。這可不是科幻片，本田將從2003年1月開始出租可提供上述服務(wù)的新款A(yù)SIMO。第一百零二頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日跟著講解員行走的ASIMO。利用內(nèi)置CCD照相機(jī)拍攝的5幀/秒的動(dòng)態(tài)圖像

第一百零三頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日11月5日，在德國法蘭克福機(jī)場，兩名旅客從負(fù)責(zé)安全檢查的機(jī)器人旁走過。這個(gè)名叫“OFRO”的機(jī)器人是世界上第一個(gè)具有室外安全檢查功能的移動(dòng)機(jī)器人，造價(jià)為5萬歐元。第一百零四頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日中國科學(xué)院自動(dòng)化所研制基于復(fù)合機(jī)構(gòu)的非結(jié)構(gòu)環(huán)境移動(dòng)機(jī)器人

（1）新型的輪-腿-履帶復(fù)合型移動(dòng)機(jī)構(gòu)

（2）基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊算法的控制系統(tǒng)

（3）多功能集成傳感器信息采集、信息處理系統(tǒng)

功能和指標(biāo)：

（1）外形尺寸：長：0.8M、寬：0.72M、高：0.48M

（2）上下樓梯：標(biāo)準(zhǔn)行人樓梯

（3）移動(dòng)速度：輪式移動(dòng)10M/min、履帶移動(dòng)

5M/min

（4）爬坡能力：不小于三十度

（5）越障能力：不大于0.28M

（6）整機(jī)重量：不大于100kg

（7）自動(dòng)避碰功能

（8）自尋道路和目標(biāo)功能

（9）自動(dòng)上下樓梯過程中自動(dòng)調(diào)偏

（10）輪、履帶兩種移動(dòng)方式自動(dòng)切換功能第一百零五頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日美國陸軍參與實(shí)戰(zhàn)的機(jī)器人士兵現(xiàn)身巴格達(dá)

3月份起，美國陸軍將在伊拉克戰(zhàn)場上首次使用18個(gè)遙控“劍”(“SWORDS”)機(jī)器人士兵。這種全名為“特種武器觀測偵察探測系統(tǒng)”的機(jī)器人士兵，每分鐘能發(fā)射1000發(fā)子彈，它們將成為美國軍隊(duì)歷史上第一批參加與敵方面對面實(shí)戰(zhàn)的機(jī)器人。第一百零六頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日美軍SWORDS戰(zhàn)斗機(jī)器人“劍”，身高0.9米，配備有5.56毫米口徑的M249機(jī)槍，或者7.62毫米口徑的M240機(jī)槍，外加M16系列突擊步槍與M202-A16毫米火箭彈發(fā)射器，它能夠連續(xù)不中斷向敵方發(fā)射數(shù)百發(fā)槍彈及火箭彈。此外，每個(gè)“劍”還擁有4臺(tái)攝像機(jī)、夜視鏡、變焦設(shè)備等光學(xué)偵察或瞄準(zhǔn)設(shè)備。鑒于“劍”的這種特殊裝備與能力，美國軍方對它寄以厚望，認(rèn)為它們能1個(gè)抵上幾個(gè)甚至十幾個(gè)人類士兵的作用。試驗(yàn)表明，已經(jīng)研制成功的2個(gè)手擎步槍的機(jī)器人狙擊手，它們的電腦控制步槍的命中率幾乎可達(dá)到100%。第一百零七頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日 星期一在日本愛知縣舉行的世界博覽會(huì)彩排上，名為Astroid的機(jī)器人在接待處預(yù)演如何引領(lǐng)參觀者入場。這些機(jī)器人能以4種語言問候參觀者，還能夠娛樂參觀者的小孩，甚至表演饒舌音樂。這是由日本機(jī)器人公司Kokoro研制、具有人型特征的機(jī)器人Astroid。Astroid精通日文、韓文、英文和中文4種語言的4萬個(gè)短語。2005年世界博覽會(huì)將從本月25日起舉行，一直到9月25日。（法新社）她，精通四國語言(2005-03-10)第一百零八頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日日本電子產(chǎn)品制造商日立昨天在東京展示一款如兒童般大小的雙輪腳機(jī)器人“EMIEW”(Excellentmobilityandinteractiveexistenceasworkmate)。（圖左）這臺(tái)高130cm、重70kg的機(jī)械人能夠避開障礙、對簡單的聲音指令作出反應(yīng)及閱讀天氣預(yù)測。（美聯(lián)社）《聯(lián)合早報(bào)》（編輯：馮玉君）兒童般大小的機(jī)器人

第一百零九頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日機(jī)器人移動(dòng)避障完成指定任務(wù)時(shí)，要進(jìn)行最優(yōu)導(dǎo)航和路徑規(guī)劃，這個(gè)問題可表示為具有狀態(tài)空間約束的最優(yōu)控制問題。第一百一十頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日

處理不等式約束的一種較好的方法是：首先把不等式約束化成等效的等式約束；然后，作為等式約束來處理，即使用拉郎乘子，把微分方程等式約束和由不等式轉(zhuǎn)化成的等式約束結(jié)到原來的性能泛函，構(gòu)成一個(gè)新的輔助泛函。于是，在給定等和不等式約束下求原泛函的條件極值問題便轉(zhuǎn)化成求輔助泛函無條件極值問題。下面用一個(gè)例題來介紹這個(gè)方法。

例1·5—4給定系統(tǒng)狀態(tài)方程

和邊界條件

試在不等式

約束下求控制函數(shù)，使達(dá)到最大。假設(shè)和固定。解：使取最大，也就是使—取最小。因此，這個(gè)問題的提法是：在系統(tǒng)微分方程

第一百一十一頁，共一百七十一頁，2022年，8月28日和控制變量不等式 （1.5—28）的約束下，求控制變量