數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量分析

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量分析1第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等都是標(biāo)量。實(shí)際上，所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。你能列舉多少標(biāo)量、矢量？

1-1標(biāo)量和矢量電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量，能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。標(biāo)量——一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量矢量——一個(gè)有大小和方向的物理量力、位移、速度、力矩、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等都是矢量。2第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日矢量A在空間可用一有向線段表示幾何表示ABAyxzAxBxAyByAzBzA(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)A=B3第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1-2矢量的代數(shù)運(yùn)算●

矢量加法也可用平行四邊形法則得到矢量加法、減法的平行四邊形法則矢量加法按平行四邊形法則進(jìn)行●

矢量減法

的始端（尾tail）和的末端（尖tip）重合兩矢量相加兩矢量相減B4第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)矢量的加減運(yùn)算：對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分量的相加和相減直角坐標(biāo)系A(chǔ)(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)(Ax＋Bx,Ay＋By,Bz＋Az)AA>1AA0<<1矢量與標(biāo)量的乘法運(yùn)算5第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)積(點(diǎn)積

)的基本性質(zhì)服從交換律和分配律A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C直角坐標(biāo)系A(chǔ)(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)矢量A的大小矢量A的模兩個(gè)矢量的標(biāo)積是一個(gè)標(biāo)量

◆

矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積，內(nèi)積，）

矢量的乘積包括標(biāo)積和矢積1.3矢量的標(biāo)積和矢積6第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日◆

模為1的矢量稱(chēng)為單位矢量（UnitVector）任一矢量A可寫(xiě)成矢量A的單位矢量任一矢量等于該矢量的模與其單位矢量的乘積ex、ey

、ezx軸、y軸、z軸方向上的單位矢量矢量A的方向余弦7第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積記為

標(biāo)積（點(diǎn)積dotproduct)的幾何意義任意兩個(gè)矢量A與B的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量標(biāo)積的圖示標(biāo)量積(ScalarProduct)兩非零矢量的點(diǎn)積為零，則兩矢量正交兩矢量平行時(shí)點(diǎn)積最大8第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系則兩矢量的矢積的代數(shù)定義可用行列式表示為A=Axex+Ayey+

Azez

B=Bxex+Byey+Bzez

例

◆

矢量的矢積(叉積，外積，)9第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日矢積(叉積crossproduct)的幾何意義（右手螺旋）

兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行或兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零任意兩個(gè)矢量A與B的叉積是一個(gè)矢量，大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，方向垂直于矢量A與B組成的平面，記為10第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

叉積的圖示

右手螺旋關(guān)系矢量積不服從交換律，但服從分配律11第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)觥枋鲈诳臻g一定區(qū)域所有點(diǎn)的一個(gè)物理量矢量場(chǎng)——

矢量的空間分布構(gòu)成矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)——靜態(tài)場(chǎng)：場(chǎng)不隨時(shí)間變化(staticfield）也稱(chēng)為時(shí)不變場(chǎng)（time-invariantfield）靜止電荷產(chǎn)生的場(chǎng)（靜電場(chǎng)）、恒定電流建立的場(chǎng)（靜磁場(chǎng)）時(shí)變場(chǎng)（time-varingfield）溫度場(chǎng)、氣體壓力、海拔、電位流體的速度和加速度、重力場(chǎng)、電場(chǎng)例例場(chǎng)的概念標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)每點(diǎn)單純用一個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)明空間每個(gè)點(diǎn)的量同時(shí)用大小和方向來(lái)說(shuō)明矢量的大小及方向與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)——

常矢量或常矢12第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1.4

標(biāo)量場(chǎng)的梯度方向?qū)?shù):標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

例如標(biāo)量場(chǎng)

在

P點(diǎn)沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl標(biāo)量場(chǎng)中各點(diǎn)標(biāo)量的大小可能不等，因此某點(diǎn)標(biāo)量沿著各個(gè)方向的變化率可能不同。13第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日梯度:標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方

向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。可見(jiàn)，梯度是一個(gè)矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)

的梯度可表示為式中g(shù)rad

是英文字母

gradient的縮寫(xiě)。若引入算符，它在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為14第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

令u(x,y,z)=C,C為任意常數(shù)標(biāo)量場(chǎng)的等值面一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示直角坐標(biāo)系u=u(x,y,z)曲面梯度的方向與等值面垂直，且指向標(biāo)量場(chǎng)數(shù)值增大的方向。等值面15第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

梯度的性質(zhì)（1）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影（2）標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向。也就是說(shuō)，梯度就是該等值面的法向矢量。例梯度運(yùn)算規(guī)則16第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日通量：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱(chēng)為矢量

A通過(guò)該有向曲

面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

1-5矢量場(chǎng)的通量與散度通量可為正、或?yàn)樨?fù)、或?yàn)榱恪．?dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞（或匯）。閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。因此，當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量一定為負(fù)。所以，前述的源稱(chēng)為正源，而洞稱(chēng)為負(fù)源。

17第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

由物理得知，真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度

E

通過(guò)任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，可見(jiàn)，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無(wú)源區(qū)中，穿過(guò)任一閉合面的通量為零。這一電學(xué)實(shí)例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無(wú)源的通量特性。但是，通量?jī)H能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。

18第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日散度：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無(wú)限收縮時(shí)，矢量

A通過(guò)該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱(chēng)為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即式中div

是英文字母

divergence的縮寫(xiě)，

V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過(guò)包圍單位體積閉合面的通量。直角坐標(biāo)系中散度可表示為19第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日因此散度可用算符

表示為高斯定理(散度定理)或者寫(xiě)為

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。20第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為算符散度定理21第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

散度運(yùn)算規(guī)則直角坐標(biāo)系，梯度的散度為22第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日如果要求梯度的散度，就要進(jìn)行“·”的運(yùn)算，·記作2，叫作拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)下，按算符的定義拉普拉斯算子(LaplaceOperator)例23第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)量：矢量場(chǎng)

A沿一條有向曲線

l的線積分稱(chēng)為矢量場(chǎng)

A

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即1-6矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度可見(jiàn)，若在閉合有向曲線

l上，矢量場(chǎng)

A的方向處處與線元

dl

的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若處處相反，則

<0

。可見(jiàn)，環(huán)量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)的旋渦特性。24第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度

B沿任一閉合有向曲線

l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度

I

與真空磁導(dǎo)率

0

的乘積。即

式中電流

I的正方向與

dl的方向構(gòu)成

右旋關(guān)系。由此可見(jiàn)，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度。

25第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日旋度：旋度是一個(gè)矢量。若以符號(hào)

rotA

表示矢量

A

的旋度，則其方向是使矢量

A

具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中

rot

是英文字母

rotation的縮寫(xiě)，en

為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S為閉合曲線

l

包圍的面積。上式表明，矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。

26第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中旋度可用矩陣表示為

或用算符

表示為

應(yīng)該注意，無(wú)論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性，場(chǎng)中各點(diǎn)的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱(chēng)為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定義的梯度、散度或旋度。

27第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日斯托克斯定理

同高斯定理類(lèi)似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域

S中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

S

的閉合曲線

l上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

S中的場(chǎng)，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界

l上的場(chǎng)，反之亦然?；蛘邔?xiě)為28第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日旋度運(yùn)算規(guī)則例已知一矢量場(chǎng)F=exxy-ey2x,試求該矢量場(chǎng)的旋度.梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱(chēng)為微分特性29第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

散度處處為零的矢量場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)散場(chǎng)，旋度處處為零的矢量場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)。

1-7無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)兩個(gè)重要公式：

左式表明，任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或者說(shuō)，任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng)。

右式表明，任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無(wú)旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者說(shuō)，任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。

30第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

若矢量場(chǎng)

F(r)

在無(wú)限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V

中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)

F(r)可以表示為

1-8亥姆霍茲定理式中

可見(jiàn)，該定理表明任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)與一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和。矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題。

31第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1-9正交曲面坐標(biāo)系

已知矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中可分別表示為式中

a,b,c

均為常數(shù)，A

是常矢量嗎？圓柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0=

0P0O直角(x,y,z)zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O32第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系單位矢量的標(biāo)量積單位矢量的矢量積直角(x,y,z)zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O33第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

在直角坐標(biāo)系中，梯度、散度、旋度可表示為34第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0O單位矢量的點(diǎn)積和叉積35第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系中的梯度、散度、旋度表達(dá)式分別為36第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)系單位矢量的變換單位矢量和在單位矢量和上的投影

x=ρcosφy=ρsinφz=z

圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系37第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日從直角到圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換矩陣形式

將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系38第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日微分體積元dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz三個(gè)邊長(zhǎng)微分長(zhǎng)度元三個(gè)坐標(biāo)面的面元微分體積元39第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0=

0P0O單位矢量的點(diǎn)積和叉積40第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

矢量函數(shù)A在球坐標(biāo)系中的梯度、散度、旋度表達(dá)式分別為41第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，20