廣東省2022屆高三數學三模試卷及答案

廣東省2022屆高三數學三模試卷

一、單選題

1.已知集合4={x|ex<1},B=(x\lnx<0],貝|J()

A.AVB={x|x<1]B.Ar\B=0

C.AQBD.BUA

2.設復數z滿足iz=1+i,-zz\=()

A.0B.V2C.2D.272

3.已知直線心丫=依+1與圓。：N+y2=4相交于4、B兩點，則“k=0”是=2點’的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.古希臘數學家帕普斯提出著名的蜂窩猜想，認為蜂窩的優(yōu)美形狀，是自然界最有效勞動的代表.他

在《匯編》一書中對蜂房的結構作出精彩的描寫“蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個挨著一

個，緊密地排列，沒有一點空隙.蜜蜂憑著自己本能的智慧選擇了正六邊形，因為使用同樣多的原材

料，正六邊形具有最大的面積，從而可貯藏更多的蜂蜜.”某興趣小組以蜂窩為創(chuàng)意來源，制作了幾個

棱長均相等的正六棱柱模型，設該正六棱柱的體積為匕，其外接球的體積為匕，則^=()

A.3B.%C.率D.迪

兀167r257r647r

5.已知雙曲線C：為一力=l(a>0,b>0),Fi，&分別是雙曲線的左、右焦點，M是雙曲線右支

上一點連接M0交雙曲線C左支于點N,若AMNF2是以尸2為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的

離心率為()

A.V2B.V3C.2D.V5

6.將5名核酸檢測工作志愿者分配到防疫測溫、信息登記、維持秩序、現(xiàn)場指引4個崗位，每名志愿

者只分配1個崗位，每個崗位至少分配1名志愿者，則不同分配方案共有()

A.120種B.240種C.360種D.480種

7.已知函數f(x)=3cos(3X—冬)(3>0)，且f(x)在［0,兀］有且僅有3個零點，則3的取值范圍

是()

A.?)B.竽)C.學)D.卓,沙

335ooooo

8.在數學和許多分支中都能見到很多以瑞士數學家歐拉命名的常數、公式和定理，如：歐拉函數

(p(n)(nCN*)的函數值等于所有不超過正整數n且與n互素的正整數的個數，(互素是指兩個整數

的公約數只有1),例如：9(1)=1;卬(3)=2(與3互素有1、2)；<p(9)=6(與9互素有1、2、4、5、

7、8).記S.為數列｛八@(3與｝的前n項和,則Sio=()

A.^x310+|B.^X31O+JC.^X3n+|D?空x3】1+〃

二、多選題

9.一部機器有甲乙丙三個易損零件，在一個生產周期內，每個零件至多會出故障一次，工程師統(tǒng)計

了近100個生產周期內一部機器各類型故障發(fā)生的次數得到如下柱狀圖，由頻率估計概率，在一個

生產周期內，以下說法正確的是()

A.至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.8

B.有兩個零件發(fā)生故障的概率比只有一個零件發(fā)生故障的概率更大

C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大

D.已知甲零件發(fā)生了故障，此時丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大

10.“圓幕定理''是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2,點P是圓。內

的定點，且OP=&,弦AC、BD均過點P,則下列說法正確的是()

A.(OD+OB)-DB=0

B.方?麗為定值

C.a.沅的取值范圍是[-2,0]

D.當4C18D時，麗?而為定值

11.已知a,bER，e是自然對數的底，若b+eb=a+lna,貝哈的取值可以是()

A.1B.2C.3D.4

12.在正方體力BCD-力道1的。1中，4B=1,點P滿足而=2而+〃無1，其中;[0,1],“6

[0,1]，則下列結論正確的是()

A.當〃平面&BD時，8止可能垂直C%

B.若BiP與平面CC1%。所成角為1則點P的軌跡長度為今

C.當；1=〃時，|前|+|行|的最小值為與匹

D.當2=1時，正方體經過點公、P、C的截面面積的取值范圍為[5，V2]

三、填空題

13.在數列｛?。?，。3=3,3an+1=an,為｛斯｝的前n項和，貝!JSd=.

TF

14.已知tana=2,貝ijsin(2a-.)=.

15.已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在y軸上，F(xiàn)i,F2為C的兩個焦點，C的短軸長為4,且C

上存在一點P,使得|PF/=6|PF2],寫出C的一個標準方程：.

16.已知函數/'(%)=1+21og2(l+x)(x￡(—1,4-oo)).

(1)VxG(—1,+co),/(I+2%)—/(%)=;

(2)若m,n滿足/(m-1)+f(n-2)=/(n)-1,則m+ri的最小值是.

四、解答題

17.已知△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，月.2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.

(1)求角Z的大小；

(2)設點。為BC上一點，AD^ABC的角平分線，且4。=2,b=3,求△ABC的面積.

18.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，AB=2,AD=2版,頂點P在底面ABCD的正投

影為AD的中點O.

(1)求證：平面PAC_L平面P0B

(2)若平面PAB與平面PCD的交線為1,P0=2,求1與平面PAC所成角的大小.

19.已知數列｛斯｝的前n項和S”，的=1,an>0,anan+1-4Sn-1.

(1)計算。2的值，求｛斯｝的通項公式；

(2)設垢=(―1)”即冊+1，求數列｛%｝的前n項和7”.

20.學習強國APP從2021年起，開設了一個“四人賽”的答題模塊，規(guī)則如下：用戶進入“四人賽''后

共需答題兩局，每局開局時，系統(tǒng)會自動匹配3人與用戶一起答題，每局答題結束時，根據答題情

況四人分獲第一、二、三、四名.首局中的第一名積3分，第二、三名均積2分，第四名積1分；第二局

中的第一名積2分，其余名次均積1分，兩局的得分之和為用戶在“四人賽''中的總得分.假設用戶在

首局獲得第一、二、三、四名的可能性相同；若首局獲第一名，則第二局獲第一名的概率為:若首局

沒獲第一名，則第二局獲第一名的概率為去

(1)設用戶首局的得分為X,求X的分布列；

(2)求用戶在“四人賽”中的總得分的期望值.

21.已知橢圓E：及+*l(a>b>0)的離心率為最且經過點(-1,|).

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設橢圓E的右頂點為A,點。為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，直線

1：久=t(t>a)交x軸于點P,直線PB交橢圓E于另一點C,直線BA和CA分別交直線1于點M

和N,若O、A、M、N四點共圓，求t的值.

22.設函數/(x)=--+2sinx.

(1)若a=l,求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

(2)若/(久)在區(qū)間(0,2兀)上有唯一零點，求實數a的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】A,D

10.【答案】A,B,D

1L【答案】C,D

12.【答案】A,B,D

13.【答案】40

14.【答案】嗯

10

15?【答案】號+*=1(答案不唯一)

16.【答案】(1)2

⑵J

17.【答案】(1)解：在△ABC中，由正弦定理及2asin4=(2匕+c)sin8+(2c+b)sinC得：a2

M—be=c2,??

由余弦定理得cos力=迎衛(wèi)=_L

2bc2

又0<4<兀，所以2=富

(2)解：AD是△SBC的角平分線，^BAD=^DAC=1,

1Ar\?17.7T

由S&A8c=+SKAD可得/besin竽=2cxADxstirxADxsing-

因為b=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

故SAABC=3bcsinA=^x3x6x^=

18.【答案】(1)證明：在RtAABC中，tantACBu^，在RtAAOB中，tanzABO=孝，

則〃CB=zAB。，^^AACB+^OBC=J,

所以AC1BO

因為POL平面ABCD,ACu平面4BCD,則ACJLPO；

又POCBO=0,PO,OBu平面P08,所以AC,平面POB,

而ACu平面PAC,所以PAC,平面POB

(2)解：因為的/CD,ABC平面PCD,CDu平面PCD,

所以AB〃平面PCD,.

又平面PABCI平面PCD=1,ABu平面PCD,所以1〃/B.

則1與平面PAC所成角的正弦值等于AB與平面PAC所成角的正弦值..

以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Z-xyz,

則A(0,0,0),P(0,V2.V2),B(2,0,0),C(2,2魚，0),

所以而=(0,V2,V2),AC=(2,2V2,0).AB=(2,0,0).

=

設平面PAC的一個法向量為n=(x,y,z),則廣笠H[Jf+°,即『=一每，

i)In-＞1C=0(2x+242y=0Iz=-y

令y=1,得幾—(—V2/1,-1).

設1與平面PAC所成角為。，則sin。=|cosV元，荏＞|=J二駕；=/.

又因為。€[0,芻，所以1與平面PAC所成角為全

19.【答案】(1)解：當n=1時,a-la2=4al—1,解得a?=3

由題知即斯+1=4Sn-1①

斯+1%1+2=4S=+i—1②

由②一①得須+1(%+2-即)=4an+1,

因為即＞0,所以。?+2-即=4

所以數列｛a"的奇數項是以劭=1為首項，以4為公差的等差數列；偶數項是以a2=3為首項，以4

為公差的等差數列；

當n為奇數時，廝=1+(粵-1)X4=2n-1

當n為偶數時，=3+(^-1)x4=2n-1所以｛斯｝的通項公式即=2n-l.

（2）解：由⑴可得"=（一1）九（2"-1）（2幾+1）.

當n為偶數時，

Tn=一的做+。2a3-a3a4+。4a5+…+(-1)%九冊+1

a

=a2(-a1+a3)+。式一。3+。5)-----H時(一冊-1+n+i)

賀3+2九-1)

=4((^2+。4+??,+Qn)=4-------7y-------=2九("+1)

乙

當n為奇數時，

當n=1時，4=-3

當n>3時，

九？1(3+271—3)

Tn—7\_]斯斯+]=4---------------------(2n—l)(2n+1)=—2n^—2n+1

經檢驗，7Y也滿足上式，

2

所以當n為奇數時，Tn=-2n-2n+1

2n2+2n,n=2k,kE.N*

綜上,數列｛%｝的前n項和7\=

-2n2—2n+1,n=2k—1,kWN*

20.【答案】（1）解：X的所有可能取值為3,2,1,

P(X=3)=*1，P(X=2)=*i+l*l=}P(X=1)=

其分布列為

X321

p111

424

（2）解：方法一：設總得分為丫，貝Ijy的取值為5,4,3,2,

則PW=5）=裊卜去，P（r=4）=lx|+|x|=|l

p（y=3）=X12+京1x1p5（r=2）=11x2|=i1

y的分布列為

Y5432

P11151

2030126

所以E(Y)=5x+4x+3x-^2+2x/=33

方法二：E(X)=3x1+2x|+lx1=2.

設第二局得分為y,則丫的取值為2,1.

則有p（y=2）=1xj+1x|=^,p（y=i）=|x|+1x|=^

化簡得丫的分布列為

Y21

37

P

TOTO

37

E(F)=2xyg+1x-jg—1.3>

四人賽總分期望為E(X)+E(Y)=2+1.3=3.3

(c一1

a-2

21.【答案】(1)解：依題意：《三十==1，解得：a2=4,M=3，

Q24b2

2

14—fo=C2

故橢圓c的方程為￥+￥=1；

43

(2)解：設B(%i，y》C(x2,，2)，'??點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，

則直線BC不與x軸重合，則可設BC為工=my+3

與橢圓方程聯(lián)立得(362+4)y2+6mty+3t2-12=0,

222

則A=367n2t2_12(3m+4)(t-4)>0,可得12V3m+4,

2

由韋達定理可得力+丫2=一磊，32=募普

直線BA的方程為y=形(%-2),令久=t得點M縱坐標yM=馬鬻

同理可得，點N縱坐標噴言.

當O、A、M、N四點共圓時，由割線定理可得山川?|PO|=\PM\■\PN\,即t(t-2)=\yMyN\,

..：丫12(￡-2)2=丫—2?-2)2=_________%—(?2)2_________=

2

?yMyN-(X