線性代數(shù)行列式按行列展開(kāi)_第1頁(yè)
線性代數(shù)行列式按行列展開(kāi)_第2頁(yè)
線性代數(shù)行列式按行列展開(kāi)_第3頁(yè)
線性代數(shù)行列式按行列展開(kāi)_第4頁(yè)
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線性代數(shù)課件行列式按行列展開(kāi)第一頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日例

四階行列式D中,我們選定第一、二兩行和第二、四兩列,則得二階子式N。再?gòu)腄中劃去第一、二兩行和第二、四兩列得余子式M,進(jìn)一步,N的代數(shù)余子式第二頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日例:計(jì)算下面三階行列式第二列元素的代數(shù)余子式第三頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日第四頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日下面我們首先觀測(cè)三階行列式的展開(kāi)式與代數(shù)余子式的關(guān)系

3223113321123122133221133123123322113332312322211312113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD---++==)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa-+---=

323122211343331232112333322322112)1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa-+-+-=

131312121111AaAaAa++=

容易看出行列式的值等于第一行元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,于是我們可以得到下面的定理。第五頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日定理2:n階行列式D等于它的任意一行(列)所有元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,或即第六頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日例1:計(jì)算四階行列式解:可以選任意一行或一列展開(kāi),注意到第二行有兩個(gè)元素為零,所以展開(kāi)計(jì)算時(shí)只需要計(jì)算兩個(gè)三階代數(shù)余子式,因此選第二行進(jìn)行展開(kāi),得第七頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日第八頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日第i行乘以加到第i+1行每列依次提出公因子,得到第九頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日以此類推,可以得到行列式的值第十頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日定理3:行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即第十一頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日推論:如果n階行列式的某兩行(第i行與第j行)對(duì)應(yīng)元素相同,則行列式的值等于零。

第十二頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日定理4(Laplace展開(kāi)定理):在行列式D中任意取k(1kn-1)行,則由這k

行元素所組成的所有

k階子式與它們的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式D.

第十三頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日例:計(jì)算行列式求出它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式選第一、二兩行,則它們所組成的二階子式共有10個(gè),其中非零子式只有三個(gè),第十四頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日于是,利用Laplace展開(kāi)定理,得第十五頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日例:計(jì)算行列式第十六頁(yè),共十八頁(yè),2022年,8月28日解:把行列式按第一行展開(kāi),得再將第二個(gè)行列式按第一行展開(kāi),可得:注意第一個(gè)行列式是n-1階,第二個(gè)是n-2階,有:

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