線性空間與線性變換

線性空間與線性變換第一頁，共八十四頁，2022年，8月28日知識脈絡圖解集合與映射線性子空間基本性質基與維數(shù)元素的坐標線性空間的定義生成子空間基變換與坐標變換子空間的交與和子空間的直和線性空間分解為子空間的直和同構映射線性空間的同構向量空間第二頁，共八十四頁，2022年，8月28日重點、難點解讀線性空間是我們第一次用公理化的方法來定義的數(shù)學結構，即將一個具有加法與數(shù)乘運算且這些運算封閉，并滿足八條算律的集合定義為線性空間。應該說這是在數(shù)學思想方法上是一次新的飛躍。有了這一概念，我們就可以用統(tǒng)一的方法來處理許多數(shù)學對象。本章的重點之一是線性空間的基與維數(shù)。因為在確定了有限維線性空間的基之后，一方面明晰了線性空間的結構（由基生成整個線性空間），另一方面將線性空間中抽象的元素及規(guī)定的運算與中具體的向量及向量的運算相對應，因此可歸結為對中向量的討論，即它們具有相同的代數(shù)結構。第三頁，共八十四頁，2022年，8月28日本章的另一個重點與難點是子空間的和與直和。能夠將一個線性空間分解為若干個子空間的直和，則這個線性空間的研究就歸結為若干個較簡單的子空間的研究。應掌握直和的概念和等價條件。一、線性空間的判定1、線性空間的定義對于線性空間的定義，我們應注意以下幾點：①線性空間具有一般性，其中的元素不一定是通常意義下的向量，可以是數(shù)、矩陣、多項式、函數(shù)等。②線性空間具有抽象性，這主要體現(xiàn)在兩個運算上，其中加法與數(shù)乘未必就是我們所熟悉的數(shù)、矩陣、多項式、函數(shù)的加法與數(shù)乘運算，之所以這樣稱呼，是因為所定義的這兩種運算滿足通常的加法與數(shù)乘運算所具有的運算規(guī)律。在同一非空集合及同一數(shù)域上按不同規(guī)則來定義這兩種運算，所構成的線性空間是不同的。第四頁，共八十四頁，2022年，8月28日③線性空間定義中，當取不同的數(shù)域時，線性空間的定義形式不改變，但線性空間中的一些性質，如線性相關性、維數(shù)等，一般要改變。要驗證一個非空集合是線性空間，除了需要驗證其元素對所規(guī)定的加法與數(shù)乘運算封閉外，還需逐一驗證這兩種運算應滿足的八條算律；而要否定一個非空集合是線性空間，只要說明兩個封閉性及八條算律中有一條不成立即可。2、線性空間的簡單性質（1）零元素是唯一的；（2）任意元素的負元素是唯一的；（3）（4）如果，則或第五頁，共八十四頁，2022年，8月28日（1）V是實數(shù)域上的線性空間；并指出什么函數(shù)是零元素；的負元素是什么函數(shù)；（2）證明：V不是有限維線性空間。證首先可證V關于加法與數(shù)乘封閉。顯然，和仍為定義在閉區(qū)間上的實函數(shù)，所以，再驗證加法應滿足的4條算律：有例1、設V是定義在閉區(qū)間上所有實函數(shù)的集合，在V上定義的加法為：對為函數(shù)定義實數(shù)乘函數(shù)為第六頁，共八十四頁，2022年，8月28日這4條中，只證，對，有最后驗證數(shù)乘滿足的4條算律：也只證第一式。對，有規(guī)定零函數(shù)為則規(guī)定的負元素為則第七頁，共八十四頁，2022年，8月28日綜上即證V是R上的線性空間，零元素是零函數(shù)，即的負元素為（2）下證，即證存在任意多個線性無關的函數(shù)。令即V不是有限維線性空間。則可證線性無關，由于任意大，所以而故第八頁，共八十四頁，2022年，8月28日例2、設是數(shù)域P上的線性空間，對規(guī)定（1）證明：關于以上運算構成P上的線性空間；（2）設，求證（1）由加法的定義知對加法封閉，并容易驗證加法滿足交換律與結合律。且設分別是中的零元，則是的零元。對存在使得第九頁，共八十四頁，2022年，8月28日其次由數(shù)乘的定義知對數(shù)乘封閉，且都成立。所以是P上的線性空間。（2）設是的一組基，是的一組基。令先證個向量，線性無關。令第十頁，共八十四頁，2022年，8月28日即于是故線性無關。又對，有，其中有從而即可由線性表示，它們?yōu)榈囊唤M基，從而第十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日二、線性子空間的判定1、線性子空間的概念設V是數(shù)域P上的線性空間，W是V的一個非空子集合，如果W對于V的兩種運算也構成P上的線性空間，則稱W為V的一個線性子空間。由V的一組元素的所有可能的線性組合構成的集合構成V的一個子空間，稱之為由生成的子空間，記為驗證線性空間V的非空子集W是否構成子空間，只要驗證W對于V的兩種線性運算的封閉性。第十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日2、線性子空間的有關結果（1）如果數(shù)域P上的線性空間V的非空子集W對于V的兩種線性運算封閉，即對于任意有又對于任意有，則W是V的子空間。（2）設（Ⅰ）：和（Ⅱ）：是線性空間V中的兩組元素，如果元素組（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示，則而的充分必要條件是元素組（Ⅰ）與（Ⅱ）等價。（3）設和是線性空間V的兩個子空間，則它們的交也是V的子空間。注兩個子空間的并一般未必是子空間。第十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設是數(shù)域P上全體維向量組成的線性空間，證明：的任意子空間W，必至少是一個元齊次線性方程組的解空間。證設，取W的一組基，則其中為維列向量。令則，作齊次線性方程組可得它的基礎解系（其中為維列向量），則有即令作齊次線性方程組第十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日由于，所以的解空間是維的。由知為元齊次線性方程組的解空間的一組基。故W是的解空間。例2、設是維線性空間V的真子空間。證明V中必有向量不在所有個空間中。證對用數(shù)學歸納法。時，結論顯然正確。若，得證。否則，，必存在。我們證明存在正整數(shù)使對所有的成立。設結論對成立，證明結論對亦成立。由歸納假設，存在首先注意。否則，我們有，矛盾。我們證明上述斷言成立，只需證明存在正整數(shù)，使對成立即可。第十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日否則對任意的正整數(shù)，都存在使。取是個不同的正整數(shù)，則是中的某個數(shù)。于是必存在，使，故即其中于是這與矛盾。三、線性（子）空間的基與維數(shù)設V是數(shù)域P上的線性空間。如果V中有個元素線性無關，且，可由唯一線性表示，即則稱為V的一組基，稱為線性空間V的維數(shù)，稱在基下的坐標。記為第十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日設是線性空間V中的一組元素，則且元素組的任一極大線性無關組都是生成子空間的基。設W是數(shù)域P上維線性空間V的一個維子空間，是W的一組基，則這組元素必可擴充成V的一組基。即在V中必可找到個元素使得是V的一組基。例1、已知向量空間（1）求V的基和維數(shù)；（2）求V的一組標準正交基。第十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日解由V的構成可知，V是4元齊次線性方程組的解空間，它的基就是該方程組的基礎解系。因為故它的基礎解系為所以，V是2維向量空間，是V的一組基。由Schmidt正交化方法，可求得V的標準正交基第十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日例2、設線性空間V中的元素組線性無關。求元素組生成的線性空間W的一組基以及W的維數(shù)。解令因為又則線性相關。由于A的左上角有一個3階子式不為零，故線性無關。所以，為W的一組基，且第十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日解設和的解空間分別為因為的解一定是的解，此即又有，根據(jù)題設知，例3、設方陣與的秩相等，證明：元線性方程組和同解。所以故此即結論成立。例4、若以表示實系數(shù)多項式，試證：是實數(shù)域上的線性空間，并求出它的一組基。證記為實系數(shù)多項式的全體，且是R上的線性空間。第二十頁，共八十四頁，2022年，8月28日有從而故即證W是的子空間。從而W為實數(shù)域上的線性空間。任取，則由知即代入得令①由于且所以由①式表明可由線性表示。因為，所以W非空。第二十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日整理得由線性無關得，故線性無關。綜上可知為W的一組基，且四、求子空間的交與和的基與維數(shù)1、子空間的和設與是線性空間V的兩個子空間，集合稱為與的和，記為下證線性無關。令第二十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日（2）維數(shù)定理設和是線性空間V的兩個子空間，則3、求子空間的交與和的基與維數(shù)的方法設和是線性空間V的兩個子空間，為求出與的基與維數(shù)，一般先將與用生成子空間來表示，即此時易知2、子空間的和的有關結論（1）設與是線性空間V的兩個子空間，則也是V的子空間。第二十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日為求的基與維數(shù)，可設，即且，于是從而可見問題轉化為確定滿足上述條件的和另外，也可利用維數(shù)公式可見求的基與維數(shù)可轉化為求元素組的極大線性無關組與秩。第二十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、若維線性空間的兩個子空間的和的維數(shù)減1等于它們交的維數(shù)。證明：它們的和與其中之一個子空間相等，它們的交與其中另一個子空間相等。證設這兩個子空間分別為和，由假設可得①設，由式①有于是只有兩種可能：（1）當時，有但從而此時故即證結論。第二十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日（2）當時，由式①知但從而故于是結論也得證。綜上可知結論成立。例2、設V是復數(shù)域上維線性空間，和各為V的維和維子空間，試求之維數(shù)的一切可能值。解設的一組基，再取的一組基則而故第二十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日四、求過渡矩陣及坐標1、過渡矩陣的概念設V是數(shù)域P上的維線性空間，和是V的兩組基，它們之間的關系式稱為基變換公式?；儞Q公式可形式地寫為其中稱為由基到的過渡矩陣。第二十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日2、過渡矩陣的有關結論（1）過渡矩陣都是可逆的；3、坐標變換公式（2）如果由基到的過渡矩陣為，則由基到的過渡矩陣為設V是數(shù)域P上的維線性空間，是由V的基到基的過渡矩陣，則V中元素在基下的坐標和在基下的坐標滿足關系式或第二十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設的兩組基為（Ⅰ）（Ⅱ）（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣；（2）求在基（Ⅰ）與基（Ⅱ）下有相同坐標的矩陣。解（1）取的基，則有其中第二十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日于是即由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為（2）設在基（Ⅰ）到基（Ⅱ）下的坐標為則由坐標變換公式得，即可求得該齊次線性方程組的通解為（任意）于是（任意）第三十頁，共八十四頁，2022年，8月28日例2、設和為線性空間的兩組基，且又對有記有解應選這是因為令則有從而，有即故第三十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日所以五、子空間直和的判定與證明1、直和的概念設與是線性空間V的兩個子空間，如果與的和滿足條件①②則稱這個和為直和，記為在判定兩個子空間與的和是直和時，應熟練應用直和的等價條件，特別是或第三十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設階方陣兩兩可交換，且滿足記的解空間為，的解空間為，的解空間為。證明：證對任意，有，且其中注意到兩兩可交換，從而可見故再證為直和。任取，即且，也即則可見故第三十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日例2、設V是數(shù)域P上的一個維線性空間，是V的一組基，用表示由生成的子空間；令（1）證明：是V的子空間；（2）證明：證因為，所以，是V的非空子集。有，且從而第三十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日即證是V的子空間。（2）令，則。因為所以取，先證它們線性無關。設整理得由是基得。故線性無關。對，其中，有于是即可由線性表示，故第三十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日再證對，有其中于是由是基得即有從而即，故即證于是又因為且第三十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日例3、設P是數(shù)域，和分別是齊次線性方程組和的解空間。證明：的充分必要條件是只有零解。解充分性若只有零解，則于是有即所以故又因為且第三十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日故必要性已知若有非零解則即這與矛盾。從而只有零解。第三十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日六、線性空間同構的判斷與證明1、同構的概念設與是數(shù)域P上的兩個線性空間，如果可以建立到的一個雙射，且對任意有2、同構映射的有關結論則稱為同構映射，而稱線性空間與同構。設是數(shù)域P上線性空間與的同構映射，則（1）（是的零元素），（2）線性相關的充分必要條件是線性相關；第三十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日（3）（4）如果是的子空間，則是的子空間，且與的維數(shù)相等；（5）同構映射的逆映射及兩個同構映射的乘積還是同構映射。3、同構線性空間的有關結論（1）同構的線性空間具有反身性、對稱性和傳遞性；（2）數(shù)域P上任一維線性空間都與同構。取定的一組基后，對任意有則就是到的一個同構映射；（3）數(shù)域P上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們具有相同的維數(shù)。第四十頁，共八十四頁，2022年，8月28日4、同構的判斷方法要判定兩個線性空間同構時，需要找到它們的同構映射；而當兩個線性空間都是有限維時，也可以通過它們的維數(shù)是否相等來判定同構。例1、證明：線性空間可以與它的一個真子空間同構。證記數(shù)域P上所有常數(shù)項為零的多項式構成的線性空間為V。顯然，且V中的多項式都可以表示為，其中，構造到V的映射由于對任意，當時，即是單射，顯然是滿射，從而是雙射。第四十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日又因為故是到V的同構映射，于是與它的真子空間同構。第四十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日線性變換反映了線性空間中元素之間的一種基本聯(lián)系，主要了解和掌握線性變換的運算、線性變換的矩陣表示，通過學習要認識到線性變換和矩陣是同一事物的兩種表現(xiàn)形式，進一步體會矩陣的重要性。（二）線性空間第四十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日知識脈絡圖解線性變換的定義線性變換的矩陣不同基下線性變換的矩陣的關系相似矩陣矩陣的特征值與特征向量矩陣的相似化簡線性變換的本征值與本征向量找合適的基化簡線性變換的矩陣線性變換的基本性質線性變換的運算值域與核哈密爾頓—凱萊定理不變子空間化簡為對角矩陣化簡為準對角矩陣第四十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日重點、難點解讀本章首先對線性變換進行了初步的討論，其次考慮的是基的變換對于線性變換的矩陣的影響，從而引出了矩陣相似的概念。由此自然會想到如何選擇一個基使線性變換在該基下的矩陣具有盡可能簡單的形式。這一問題的解決依賴于線性變換及矩陣的特征值和特征向量的概念與計算。如果一個線性變換具有足夠多的線性無關的特征向量，就可以有一個由特征向量組成的基，而線性變換在這一基下的矩陣就是對角矩陣?？上У氖遣⒎撬械木€性變換具有這一性質。對于一般的線性變換只能化為準對角矩陣的形式、且與空間的分解密切相關。不變子空間的引入正是為討論空間的分解服務的。第四十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日線性變換與矩陣的特征值和特征向量的概念及計算是本章的重點，其計算涉及行列式計算、多項式求根、解齊次線性方程組等，綜合性很強；對其性質的了解和掌握對于證明各種類型的結論是很有幫助的。可對角化的矩陣和線性變換是一類特殊的也是重要的矩陣與變換，要掌握它們的判別條件，并能夠找到相似變換矩陣即合適的基將其對角化，但這一過程本質上還是求特征值及特征向量。第四十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日一、線性變換的判定與證明1、線性變換的概念設V是數(shù)域P上的線性空間，是V上的線性變換，如果對于都有則稱為V的一個線性變換。如下兩種變換分別稱為V中的恒等變換及零變換，它們都是V的線性變換。2、線性變換的基本性質（1）（2）線性變換保持線性組合與線性關系不變，即若則第四十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日又若之間有一線性關系則它們的像之間也有同樣的關系（3）線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。注①利用可知不是線性變換。②線性變換可能把線性無關的向量組變成線性相關的向量組，如零變換就是這樣。但如果線性變換是一個單射，則它把線性無關的向量組變成線性無關的向量組。第四十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設線性空間V是子空間的直和，即對，有，其中定義V到的投影變換為證明：（1）是線性變換；（2）證（1）有其中于是故是V上的線性變換。（2），有故第四十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日二、求線性變換的矩陣設V是數(shù)域P上的維線性空間，是V的一組基。（1）如果V的線性變換和在基上的作用相同，即則（2）對V中的任一組向量，存在唯一的線性變換使（3）設是V的線性變換，基的像可以被基線性表示第五十頁，共八十四頁，2022年，8月28日用矩陣乘法形式表示為其中則稱矩陣A為在基下的矩陣。2、線性變換在不同基下的矩陣設V是數(shù)域P上的維線性空間，和是V的兩組基，且設V的線性變換在基下的矩陣為A，在基下的矩陣為B，即第五十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日則即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，且相似變換矩陣恰為兩組基之間的過渡矩陣。在有限維線性空間中，求出線性變換在某組基下的矩陣后，不僅建立了線性變換與矩陣的對應，而且這個對應還能保持線性變換的和、數(shù)乘、乘積分別對應矩陣的和、數(shù)乘、乘積；可逆變換對應可逆矩陣、逆變換對應逆矩陣等，這就為我們用矩陣方法來研究線性變換提供了依據(jù)。第五十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設是由次數(shù)小于5的一切實系數(shù)一元多項式組成的線性空間，對于中任意，以除所得商及余式分別為和，即設是到的變換，使①試證是一個線性變換，并求它在基下的矩陣。證對，用除所得的商式與余式分別為則第五十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日從而所以是上的線性變換。又由式①知故其中第五十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日例2、已知3維線性空間V的基（Ⅰ）和基（Ⅱ）又V的線性變換滿足（1）求在基（Ⅱ）下的矩陣；解（1）將已知條件寫成形式記法，有（2）求在基（Ⅰ）下的坐標。其中第五十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日于是其中從而即在基（Ⅱ）下的矩陣為第五十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日（2）因為所以，在基（Ⅰ）下的坐標為第五十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日三、線性變換的運算及相應的矩陣設V是數(shù)域P上的線性空間，是V的兩個線性變換。1、線性變換的運算（1）與的和定義為（2）P中的數(shù)與的數(shù)量乘法定義為則線性空間V上線性變換的全體，對于如上定義的加法與數(shù)乘構成數(shù)域P上的線性空間。記為（3）與的乘法定義為注線性變換的乘積仍是V的線性變換。但乘法交換律一般不成立。第五十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日（4）逆變換對于線性變換，如果存在，使得（為L上的單位變換）則稱是可逆的，并稱為的逆變換，記為注線性變換若可逆，則其逆變換也為線性變換；線性變換可逆的充分必要條件是為雙射。（5）線性變換的方冪與多項式個線性變換的乘積稱為的次冪。記為設，定義并稱之為線性變換的多項式。注一般來說；的多項式的加法和乘法與中的加法和乘法是一致的。第五十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日2、線性變換運算的矩陣設V的線性變換與在基下的矩陣分別是A與B，則（1）在基下的矩陣為（2）在基下的矩陣為（3）在基下的矩陣為（4）可逆的充分必要條件是A可逆，且在基下的矩陣為（5）設在基下的坐標為則在基下的坐標滿足第六十頁，共八十四頁，2022年，8月28日求線性變換的和、乘積及逆變換等可以直接根據(jù)定義，也可以分別求出所給的線性變換在某組基下的矩陣，將問題轉化為相應矩陣的運算。例1、設是線性空間V的一組基，且（1）證明：是可逆線性變換；（2）求在基下的矩陣。證（1）由假設知因為，所以A可逆，故是可逆線性變換。第六十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日（2）可求得，設在基下的矩陣為B，則例2、設V是維線性空間。證明：V中任意線性變換必可表為一個可逆線性變換與一個冪等變換的乘積。解設是V的任意一個線性變換，且在V的基下的矩陣為A，即第六十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日設，則存在階可逆矩陣P，Q使于是其中為可逆矩陣，滿足即C為冪等矩陣。再作V的兩個線性變換如下第六十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日則故，其中可逆（因為B可逆），（這是因為）。注A=BC是一種矩陣分解，它是可逆—冪等分解。四、求線性變換的像空間與核空間1、線性變換的像與核設V是數(shù)域P上的線性空間，是V的線性變換，由的全體像組成的集合稱為的像。記為所有在的作用下變成零向量的向量組成的集合，稱為的核，記為第六十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日2、線性變換的像與核的有關結論設V是數(shù)域P上的維線性空間，是V的線性變換。（1）與都是V的子空間；（2）取V的一組基，則（4）（3）若在基下的矩陣為A，則且是齊次線性方程組的解空間。3、線性變換的像與核的求法設V是數(shù)域P上的維線性空間，是V的線性變換。求與常采用如下兩種方法：第六十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日方法1取V的一組基，由于所以只要求得基像組，再求其秩與一個極大線性無關組，即得的維數(shù)和基；設根據(jù)來確定的維數(shù)與基。方法2求在基下的矩陣A，則A的秩就等于的維數(shù)，且由于在基下的坐標恰為A的第個列向量，利用同構知，A的列向量組的極大線性無關組對應的極大線性無關組，從而確定的基。又設，則有知，在基下的坐標恰為齊次線性方程組的解向量，從而的維數(shù)等于，且的基礎解系就是在基下的坐標。第六十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設是4維線性空間V的一組基，已知線性變換在這組基下的矩陣為（1）求在基下的矩陣B；（2）求的像與核；（3）若線性變換，有，問是否為可逆線性變換？為什么？解（1）由已知條件得第六十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日其中所以（2）因為但下面求A的列向量組的一個極大線性無關組，令其中為A的列向量。由于第六十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日所以為的一個極大線性無關組，且，故，且其中為像空間的一組基。第六十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日求解齊次線性方程組，得基礎解系令則為的一組基，且（3）設則由知，只有零解，從而C可逆。故為可逆線性變換。例2、設W是維線性空間V的子空間，是V上的線性變換，。證明：證設，并取它的一組基。再擴充為W的一組基，即第七十頁，共八十四頁，2022年，8月28日因為，所以而故下證線性無關。令則有可見但所以有第七十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日由線性無關知因為所以于是例3、設是線性空間V中線性變換，若證明：與有相同的像空間的充分必要條件是證必要性已知，則對有所以存在使，于是由的任意性得。類似可證第七十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日充分性已知，則對，有，此即。類似可證故五、求線性變換的本征值與本征向量1、線性變換的本征值與本征向量設是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，如果存在P中的一個數(shù)和V中非零向量，使得則稱為的一個本征值，而稱為屬于本征值的一個本征向量。2、求有限維線性空間上線性變換的本征值與本征向量第一步取V的一組基，求在該組基下的矩陣A；第七十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日第二步求矩陣A在數(shù)域P中的特征值與相應的特征向量第三步A的特征值就是的本征值，而對應本征值的本征向量為3、本征子空間由屬于本征值的全部本征向量，再添上零向量組成的集合構成V的子空間，稱為的一個本征子空間。的本征子空間的維數(shù)等于屬于本征值的線性無關本征向量的最大個數(shù)。第七十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日例1、設V是數(shù)域P上的線性空間，是V的線性變換，且滿足，證明：（1）的本征值為1和0；（2）的本征子空間且證（1）設是的本征值，是對應的本征向量，即因為，所以由知，即或（2）對有，于是，即反之，對，存在使于是所以即故第七十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日又有若，則且于是這表明又對，有其中且即故第七十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日例2、設是數(shù)域P上二次多項式，在P內有互異的根，是P上線性空間V上一個線性變換，（為單位變換），且滿足。證明與是的本