線性空間和歐氏空間

線性空間和歐氏空間第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間一.向量空間·基和維數(shù)1.n維實(shí)(列)向量的全體Rn={[x1,x2,…,xn]T|R}關(guān)于向量(即列矩陣)的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下8條基本性質(zhì):關(guān)于加法:(1)交換律;(2)結(jié)合律;(3);(4)關(guān)于數(shù)乘:(5)1·=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k

+k.第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間2.設(shè)V是Rn的非空子集,且對向量的加法及數(shù)乘封閉,即,V,kR,有+V,kV

則稱V是一個(gè)(實(shí))向量空間.設(shè)V是一個(gè)向量空間,UV,若U也構(gòu)成一個(gè)向量空間,則稱U為V是一個(gè)子空間.僅含有零向量的集合{}關(guān)于向量的線性運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)向量空間,我們稱之為零空間.Rn和{}稱為Rn的平凡子空間.第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間3.設(shè)V是一個(gè)向量空間,1,2,…,r是V中一線性無關(guān)向量組,并且V中任一向量都能由

1,2,…,r線性表示,則稱(有序)向量組

1,2,…,r

是向量空間V的一組基.r稱為V的維數(shù).記為維(V)或dim(V).零空間沒有基,規(guī)定dim{}=0.由定義,對V,唯一的一組有序?qū)崝?shù)k1,k2,…,kr使得

=k11+k22+…+krr.我們把r維向量[k1,k2,…,kr]T稱為在1,2,…,r

這組基下的坐標(biāo).第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間例1.Rn的基本向量組e1=100···0,e2=010···0,…,en=00···01構(gòu)成Rn的一組基,Rn中的任一向量都能由這組基線性表示.且在這組基下的坐標(biāo)就是本身.這組基稱為Rn的自然基.第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間例2.設(shè)ARmn,bRm,b,r(A,b)=r(A)=r,KA={x|Ax=,xRn},SB={x|Ax=b,xRn}.其中KA是向量空間,稱為齊次線性方程組Ax=的解空間,Ax=的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是KA的一組基,因此dim(KA)=nr.但SB不是向量空間.事實(shí)上,SB中不含.在R3中,過原點(diǎn)的平面是R3的2維子空間,過原點(diǎn)的直線是R3的1維子空間,而不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與平面都不是向量空間.第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間4.設(shè)1,2,…,sRn,用L(1,2,…,s)表示

1,2,…,s的一切線性組合所成的集合,即L(1,2,…,s)={k11+k22+…+kss|k1,k2,…,ksR}則L(1,2,…,s)是(包含{1,2,…,s}的向量空間中最小的)一個(gè)向量空間,我們稱之為由1,2,…,s生成的子空間.而1,2,…,s稱為L(1,2,…,s)生成元.L(1,2,…,s)的基可以取為1,2,…,s的任一極大無關(guān)組.第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間特別地,設(shè)矩陣ARns,A1,A2,…,As依次為As個(gè)列向量.則稱L(A1,A2,…,As)為矩陣A的列空間.dim(L(A1,A2,…,As))=秩(A).因而dim(L(1,2,…,s))=秩{1,2,…,s}.求L(A1,A2,A3,A4)的一組基和維數(shù).例3.設(shè)A=[A1,A2,A3,A4]=101210111111,第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間101210111111解:初等行變換可見dimL(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一組基.注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一組基.

還有A1,A4.100210110110事實(shí)上,對于這個(gè)例子,除了A3,A4以外,A1,A2,A3,A4中任意兩個(gè)向量都構(gòu)成L(A1,A2,A3,A4)的一組基.第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間二.Rn上的坐標(biāo)變換1.兩組基之間的關(guān)系設(shè)1,2,…,n及1,2,…,n都是Rn的基,j在1,2,…,n下的坐標(biāo)為

[c1j,c2j,…,cnj]T,j=1,2,…,n.j在1,2,…,n下的坐標(biāo)為

[d1j,d2j,…,dnj]T,j=1,2,…,n.記A=[1,2,…,n],B=[1,2,…,n],C=[cij],D=[dij],則A,B可逆,且B=AC,A=BD.第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間A,B可逆,且B=AC,A=BD.由此可得A=BD=ACD,因而CD=I.我們稱C為從基1,2,…,n到基1,2,…,n的過渡矩陣.易見C=A1B,D=C1=B1A.特別地,從自然基e1,e2,…,en到基1,2,…,n

的過渡矩陣為I

1A=A.從基1,2,…,n到自然基e1,e2,…,en的過渡矩陣為A1I=A1.第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間2.

同一個(gè)向量在兩組級下的坐標(biāo)之間的關(guān)系設(shè)在基1,2,…,n下的坐標(biāo)為x,在基1,2,…,n下的坐標(biāo)為y,即

=Ax=By,因此y=Dx,x=Cy上述公式稱為坐標(biāo)變換公式.特別地,向量

=[x1,x2,…,xn]T

在基1,2,…,n的坐標(biāo)為A1.第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間三.Rn上的線性變換1.線性映射設(shè)映射f:RnRm保持線性運(yùn)算,即滿足,Rn,k1,k2R,f(k1+k2)=k1f()+k2f()或者,與之等價(jià)地,保持加法和數(shù)乘,即則稱f為一個(gè)線性映射.從Rn到Rn自身的線性變換稱為Rn的線性變換.,Rn,kR,f(+)=f()+f(),f(k)=kf()第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間2.線性映射的矩陣設(shè)ARmn,

則可以定義f:RnRm如下:f()=A,Rn.可以直接驗(yàn)證f為線性映射.反之,給定線性映射f:RnRm,取Rn的自然基e1,e2,…,en,Rm的自然基1,2,…,m.設(shè)f(e1),f(e2),…,f(en)在1,2,…,m下的矩陣為A,即

[f(e1),f(e2),…,f(en)]=[1,2,…,m]A,則ARmn,

且f()=A,Rn.第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間這就是說每個(gè)矩陣ARmn對應(yīng)于一個(gè)線性映射f:RnRm;反之,每個(gè)線性映射f:RnRm都對應(yīng)于一個(gè)矩陣ARmn.特別地,每個(gè)方陣ARnn對應(yīng)于Rn的一個(gè)線性變換f:RnRn;反之,Rn的每個(gè)線性變換都對應(yīng)于一個(gè)方陣ARnn.此時(shí),線性變換f:RnRn(作為映射)可逆

A可逆.第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間3.設(shè)f:RnRm為線性映射,Imf={y=f(x)|xRn},Kerf={xRn|f(x)=}.則Imf和Kerf分別為Rn和Rm的子空間,我們稱Imf為f的值域,稱Kerf為f的核.若f()=A,Rn,其中ARmn,A的列向量依次為A1,A2,…,An.則Imf={Ax|xRn}=L(A1,A2,…,An),Kerf={xRn|Ax=},即Ax=的解空間.此時(shí),也記Imf=R(A),Kerf=K(A).第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.1向量空間Rn及其子空間于是,dimR(A)=秩(A),dimK(A)=n秩(A).由此可得,dimR(A)+dimK(A)=n.此時(shí),也記Imf=R(A),Kerf=K(A).R(A)的基可以取為A1,A2,…,An的一個(gè)極大無關(guān)組,K(A)的基可以取為Ax=的一個(gè)基礎(chǔ)解系.求R(A)和K(A)的基和維數(shù).例4.設(shè)A=[A1,A2,A3,A4]=101210111111,第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換§4.2Rn中的度量與正交變換一.Rn中向量的內(nèi)積,長度和夾角1.設(shè)

=[a1,a2,…,an]T,

=[b1,b2,…,bn]T,記為,,即則稱實(shí)數(shù)aibi

為向量與的內(nèi)積,n

i=12.內(nèi)積的基本性質(zhì),=aibi=T

n

i=1

對稱性:,=,;

線性性:k11+k22,=k11,+k22,;,0;且,=0=.第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換5.長度為1的向量稱為單位向量.3.對于n維實(shí)向量,稱

,為的長度或模,記為||||,即對于非零向量,||||1是一個(gè)單位向量.用||||1乘稱為把單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.,||||==ai2

n

i=14.長度的基本性質(zhì)

正定性:||||0;且||||=0=;

齊次性:||k||=|k|·||||(kR);

Cauchy不等式:|,|||||·||||.第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換6.設(shè),Rn,若,,則定義,的夾角若,=0,即

=/2,則稱與正交.為

=arccos,||||·||||,0

例5.設(shè),Rn,且與線性無關(guān),求常數(shù)k使

+k與正交.

第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換二.標(biāo)準(zhǔn)正交基和施密特(Schmidt)方法1.一組兩兩正交的向量組稱為正交向量組.由單位向量組成的正交向量組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.向量空間的一組基如果是正交向量組,就稱之為正交基;如果是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,就稱之為標(biāo)準(zhǔn)正交基.定理4.1.設(shè)1,2,…,s是正交向量組,則1,

2,…,s線性無關(guān).第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換命題.設(shè)1,2,…,s是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,且

=k11+k22+…+kss,

則ki=,i,i=1,2,…,s.2.施密特(Schmidt)方法定理4.2.設(shè)1,2,…,s線性無關(guān)(s2),則存在一個(gè)正交向量組1,2,…,s滿足

1,2,…,t與1,2,…,t等價(jià)(1

ts).第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換1=1,………正交化過程如下:2=22,11,11,s=ss,11,11…s,s1s1,s1s1再將1,2,…,s單位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.施密特方法

第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換三.正交矩陣和正交變換1.滿足QTQ=I(即Q1=QT)的實(shí)方陣Q稱為正交矩陣,簡稱為正交陣.定理4.3.設(shè)Q為n階實(shí)方陣,則Q是正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.推論.設(shè)Q為n階實(shí)方陣,則Q是正交矩陣

QT是正交矩陣Q的行向量組轉(zhuǎn)置后構(gòu)成成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換2.若Q為n階正交矩陣,則線性變換y=Qx稱為Rn的正交變換.定理4.4.Rn的正交變換y=Qx不改變向量的內(nèi)積,因而也不改變向量的長度和夾角.3.由定義可見正交矩陣Q的行列式|Q|=1或1,

若|Q|=1,則對應(yīng)的正交變換稱為第一類的;

若|Q|=1,則對應(yīng)的正交變換稱為第二類的.當(dāng)Q為3階正交矩陣時(shí),注意到Qi,Qj,Qk依然正交,且它們的混合積(Qi,Qj,Qk)=|Q|,因此|Q|=1(1)時(shí),Qi,Qj,Qk成右(左)手系.第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換例6.驗(yàn)證Q=解:QTQ=cossin

是正交矩陣,并sincos

計(jì)算非零向量

=[a,b]T與Q的夾角,其中02.cossin

sincos

因此Q是正交矩陣.cossin

sincos

=cos2+sin200sin2+cos2=I.第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四章線性空間和歐氏空間§4.2Rn中的度量與正交變換例6.驗(yàn)證Q=解:Q=cossin

是正交矩陣,并sincos

計(jì)算非零向量

=[a,b]