線性規(guī)劃圖解法經(jīng)典運(yùn)籌學(xué)

線性規(guī)劃圖解法經(jīng)典運(yùn)籌學(xué)第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

1、建模的一般步驟：步驟一：確定決策變量即用變量取不同的值來表示可供選擇的各種不同方案步驟二：建立目標(biāo)函數(shù)即找到目標(biāo)值與決策變量的數(shù)量關(guān)系步驟三：確定約束條件即決策變量所受到的外界條件的制約。約束條件一般為決策變量的等式或不等式要求：目標(biāo)函數(shù)與約束條件均是線性的，且目標(biāo)函數(shù)只能是一個(gè)。第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2、線性規(guī)劃模型的一般形式：決策變量約束方程非負(fù)約束目標(biāo)函數(shù)第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日三、線性規(guī)劃求解：四、線性規(guī)劃應(yīng)用舉例計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期日28人星期一15人星期二24人星期三25人星期四19人星期五31人星期六28人例3福安商場(chǎng)是個(gè)中型的百貨商場(chǎng)，它對(duì)售貨人員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下所示：為保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作五天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的，問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足了工作的需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？解第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期日28人星期一15人星期二24人星期三25人星期四19人星期五31人星期六28人約束條件:星期日售貨員人數(shù)要求:星期一售貨員人數(shù)要求:星期二售貨員人數(shù)要求:星期三售貨員人數(shù)要求:星期四售貨員人數(shù)要求:星期五售貨員人數(shù)要求:星期六售貨員人數(shù)要求:數(shù)學(xué)模型:非負(fù)約束:第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型:解得:第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期日28人星期一15人星期二24人星期三25人星期四19人星期五31人星期六28人例3福安商場(chǎng)是個(gè)中型的百貨商場(chǎng)，它對(duì)售貨人員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下所示：為保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作五天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的，問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足了工作的需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？解第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合計(jì)7.4m7.3m7.2m7.1m6.6下角料0m0.1m0.2m0.3m0.8m方案下料數(shù)(根)長(zhǎng)度例4某工廠要做100套鋼架,每套用長(zhǎng)為2.9m,2.1m,和1.5m的圓鋼各一根,已知原料每根長(zhǎng)7.4m,問應(yīng)如何下料,可使所用原料最省.分析:每根原料做一套鋼架,下角料：0.9m用套裁方式下料方案：第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合計(jì)7.4m7.3m7.2m7.1m6.6下角料0m0.1m0.2m0.3m0.8m方案下料數(shù)(根)長(zhǎng)度下料方案：第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合計(jì)7.4m7.3m7.2m7.1m6.6下角料0m0.1m0.2m0.3m0.8m方案下料數(shù)(根)長(zhǎng)度例4某工廠要做100套鋼架,每套用長(zhǎng)為2.9m,2.1m,和1.5m的圓鋼各一根,已知原料每根長(zhǎng)7.4m,問應(yīng)如何下料,可使所用原料最省.下料方案：最優(yōu)下料方案：按方案1下料30根，方案2下料10根，方案4下料50根，共需原料90根。第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日例5(產(chǎn)品配套問題）假定一個(gè)工廠的甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一個(gè)產(chǎn)品，每件產(chǎn)品包括4個(gè)A零件，和3個(gè)B零件。這兩種零件由兩種不同的原材料制成，而這兩種原材料的現(xiàn)有數(shù)額分別為100克和200克。每個(gè)生產(chǎn)班的原材料需要量和零件產(chǎn)量如下表所示。問這三個(gè)車間各應(yīng)開多少班才能使這種產(chǎn)品的配套數(shù)達(dá)到最大約束條件為：第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日三個(gè)車間共生產(chǎn)A零件：三個(gè)車間共生產(chǎn)B零件非線性要求：目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)Z=x4線性第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型：線性規(guī)劃問題第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例6（多周期動(dòng)態(tài)生產(chǎn)計(jì)劃問題）華津機(jī)器制造廠專為拖拉機(jī)廠配套生產(chǎn)柴油機(jī)，今年頭四個(gè)月收到的定單數(shù)量分別為3000臺(tái)、4500臺(tái)、3500臺(tái)、5000臺(tái)。該廠正常生產(chǎn)每月可生產(chǎn)3000臺(tái)，利用加班還可生產(chǎn)1500臺(tái)，正常生產(chǎn)成本為每臺(tái)5000元，加工生產(chǎn)還要追加1500元，庫存成本為每臺(tái)每月200元。問華津廠如何組織生產(chǎn)才能使生產(chǎn)成本最低？分析：設(shè)C=成本=四個(gè)月正常生產(chǎn)的成本+四個(gè)月加班生產(chǎn)的成本+四個(gè)月庫存成本約束條件：第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日需求約束：第4個(gè)月第3個(gè)月第2個(gè)月第1個(gè)月生產(chǎn)能力約束：數(shù)學(xué)模型：四個(gè)月定單數(shù)量分別為3000臺(tái)、4500臺(tái)、3500臺(tái)、5000臺(tái)每月可生產(chǎn)3000臺(tái)，利用加班還可生產(chǎn)1500臺(tái)庫存約束：第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日例7.連續(xù)投資問題建模:某投資公司有100萬元資金用于投資，投資的方案可以有以下六種，現(xiàn)要做一個(gè)5年期的投資計(jì)劃，具體可選擇的投資方案如下：方案A：5年內(nèi)的每年年初均可投資，且金額不限，投資期限1

年，年投資回報(bào)率7%。方案B：5年內(nèi)的每年年初均可投資，且金額不限，投資期限2

年，年投資回報(bào)率10%（不計(jì)復(fù)利）。方案C：5年內(nèi)的每年年初均可投資，且金額不限，投資期限3

年，年投資回報(bào)率12%（不計(jì)復(fù)利）方案D：只在第一年年初有一次投資機(jī)會(huì)，最大投資金額為50

萬元，投資期限4年，年投資回報(bào)率20%方案E：在第二年和第四年年初有一次投資機(jī)會(huì)，最大投資金額均為30萬元，投資期限1年，年投資回報(bào)率30%方案F：在第四年年初有一次投資機(jī)會(huì)，金額不限，投資期限2

年，年投資回報(bào)率25%假設(shè)當(dāng)年的投資金額及其收益均可用于下一年的投資，問公司應(yīng)如何投資才能使第五年末收回的資金最多？第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日假設(shè)當(dāng)年的投資金額及其收益均可用于下一年的投資，問公司應(yīng)如何投資才能使第五年末收回的資金最多？第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日連續(xù)投資問題模型:第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1.2、線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式和矩陣表達(dá)式線性規(guī)劃問題的一般形式：第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日1、線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)型式的特征:1、求目標(biāo)函數(shù)的最大值2、約束方程為等式方程3、約束方程的右邊非負(fù)4、決策變量均非負(fù)非標(biāo)準(zhǔn)型式有以下幾種可能：1、求目標(biāo)函數(shù)的最小值4、決策變量<0或無限制2、約束方程為不等式方程3、約束方程的右邊第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日2、非標(biāo)準(zhǔn)型式線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)化-max（1）對(duì)求目標(biāo)函數(shù)最小值:=第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日（2）約束條件為“≤”型松弛變量第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日（3）約束條件為“≥”型剩余變量第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日(4)約束條件右邊為負(fù)（6）決策變量無符號(hào)限制（5）決策變量≤0例如帶入約束方程及目標(biāo)函數(shù)第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日則原線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型為:第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.線性規(guī)劃問題的矩陣表達(dá)式：第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

§1.3線性規(guī)劃的基本理論第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日一、線性規(guī)劃的解1、可行解：2、可行域：（LP）的全體可行解構(gòu)成的集合稱為可行域3、最優(yōu)解及最優(yōu)值：設(shè)S是（LP）的可行域不唯一唯一4、若對(duì)任意大的M>0,都存在可行解使得該線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)值，則稱該線性規(guī)劃問題無界第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日二、兩個(gè)變量的線性規(guī)劃的圖解法解：（1）在直角坐標(biāo)系上畫出可行域（2）做目標(biāo)函數(shù)的等值線0可行域凸多邊形頂點(diǎn).第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：（1）在直角坐標(biāo)系上畫出可行域（2）做目標(biāo)函數(shù)的等值線0無窮多..第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：（1）在直角坐標(biāo)系上畫出可行域（2）做目標(biāo)函數(shù)的等值線0目標(biāo)函數(shù)無上界，該問題無界無最優(yōu)解第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：（1）在直角坐標(biāo)系上畫出可行域0可行域?yàn)榭占療o可行解該問題無最優(yōu)解第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日?qǐng)D解法的基本步驟：（一般是一個(gè)凸多邊形）注意：若是求目標(biāo)函數(shù)的最小值，目標(biāo)函數(shù)直線向下移動(dòng)第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日關(guān)于線性規(guī)劃解的結(jié)論：1、若（LP）問題有可行解，則可行域是一個(gè)凸多邊形（或凸多面體）。它可能是有界的；也可能是無界的。2、若（LP）問題有最優(yōu)解，則最優(yōu)解可能是唯一的；也可能是無窮多個(gè)。如果是唯一的，這個(gè)解一定在該凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)上；如果是無窮多個(gè)，則這些最優(yōu)解一定充滿凸多邊形的一條邊界（包括此邊界的兩個(gè)頂點(diǎn)）總之，若（LP）問題有最優(yōu)解，則最優(yōu)解一定可以在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)達(dá)到3、若（LP）問題有可行解，但沒有有限最優(yōu)解，此時(shí)凸多邊形是無界的（反之不成立）4、若（LP）問題沒有可行解，則該問題沒有最優(yōu)解第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日三、基與基本可行解不妨設(shè)AX=b有解，且m≤n利用線性代數(shù)的方法求出無窮多解？×只討論r<n,此時(shí)第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日且r(A)=r=m(若r<m,必有多余方程，可去掉）由線性代數(shù)結(jié)論知:若r(A)=m，則A中至少存在一個(gè)m階子式|B|≠0即A中存在滿秩的m階矩陣B,稱B為（LP）問題的一個(gè)基不妨設(shè)m≤n第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日定義1.3在（LP）問題中，A的任意一個(gè)m×m階的非奇異子方陣B（即|B|≠0）稱為（LP）問題的一個(gè)基一個(gè)線性規(guī)劃問題最多有基設(shè)r(Amxn)=r=m第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日基基不是基第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日設(shè)r(A)=m<n不妨設(shè)A的前m列構(gòu)成A的一個(gè)基基變量非基變量第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日基,基非基,第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日由于B可逆基本解定義1.4設(shè)B是（LP）問題的一個(gè)基，,A=（B,N）,稱此解為對(duì)應(yīng)于基B的基本解自由未知量第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日基,非基,第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日定義1.5基本可行解的個(gè)數(shù)基本可行解對(duì)應(yīng)的基稱為可行基第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日基,非基,基本可行解可行基第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日A的任意一個(gè)