平面概念的歷史發(fā)展及教學(xué)策略,數(shù)學(xué)史論文

平面概念的歷史發(fā)展及教學(xué)策略,數(shù)學(xué)史論文中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念是不加定義的，比方自然數(shù)集合點直線平面等等，這些概念通常被稱為原始概念.原始概念在數(shù)學(xué)上有著非常重要的意義，它們不僅知足了人們在建立數(shù)學(xué)理論時必須有個出發(fā)點的需要，以此避免導(dǎo)致惡性循環(huán)或無窮倒退的窘境之中,同時還能使人們的思想從狹溢的概念內(nèi)涵意義的束縛中解放出來，進(jìn)而擴(kuò)大了人們的視野和想象力，有可能發(fā)展出新的數(shù)學(xué)理論來[1].在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資料中，有些原始概念被直接回避，有些則采用描繪敘述性的方式去介紹。平面這一原始概念，教學(xué)資料一般是從客觀存在的現(xiàn)實模型〔如安靜的海面、桌面、地面等〕中引出，然后引導(dǎo)學(xué)生理解平面的無限延展性，同時還注重強(qiáng)調(diào)平面的表示方式。對于平面這個原始概念，人們的理解情況怎樣呢？數(shù)學(xué)教育工作者Zormbala和Tzanakis通過對51位非數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)、從事各種職業(yè)的對象〔德文老師、心理學(xué)家、律師、醫(yī)生等等〕的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的理解與歷史上一些數(shù)學(xué)家的理解之間存在一定的類似性。[2]歷史類似性理論源于德國生物學(xué)家?？藸枴睧.Haeckel,1834-1919〕,他指出：兒童的心理發(fā)展經(jīng)過就是人類種族發(fā)展經(jīng)過的重復(fù)。從19世紀(jì)末起，越來越多人支持?jǐn)?shù)學(xué)發(fā)展的歷程與學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)過存在類似性的觀點，華而不實包括法國數(shù)學(xué)家龐加萊〔H.Poincar，1854-1912〕,德國數(shù)學(xué)家克萊因〔F.Klein,1849-1925〕,匈牙利數(shù)學(xué)家拉卡托斯〔I.Lakatos,1922-1974〕等。[3]很多實證表示清楚，學(xué)生對某些數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知與概念的歷史發(fā)展之間具有類似性。為研究我們的高中學(xué)生對平面概念的理解情況，確定如下兩個研究問題：〔1〕高中生是怎樣理解平面概念的？〔2〕高中學(xué)生對平面概念的理解能否呈現(xiàn)出歷史類似性？2平面概念的歷史發(fā)展概述追溯平面概念的歷史發(fā)展，有利于我們更深入地理解這一數(shù)學(xué)概念。根據(jù)古希臘評注家普羅克拉斯〔Proclus,公元5世紀(jì)〕的記載，古希臘哲學(xué)家巴門尼德〔Parmenides,公元前5世紀(jì)〕將幾何對象分為三類：平直的、彎曲的、平直與彎曲混合的。對于平面，巴門尼德的觀點是：平面是直線在華而不實能夠以任意方向與其相合的外表。[4]公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在(幾何本來〕中給出平面的定義如下[5]:定義I.7平面是它上面的線一樣地平放著的面。上述定義語義較為含糊，而且平面的存在性也有待通過構(gòu)造的方式予以講明。面對歐幾里得留下的問題，后世很多數(shù)學(xué)家做出了努力。[2]古希臘數(shù)學(xué)家海倫〔Heron,約公元1世紀(jì)〕給出了平面眾多具有一樣特征---平的定義：平面是直線與之完全相合的外表。假如一條直線經(jīng)過外表上的兩個點，那么這條直線的任意部位都和這個外表完全相合。德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨〔G.W.Leibniz,1646-1710〕曾屢次嘗試消除歐幾里得平面定義中的邏輯缺陷。在其著作InEuclidisProta〔大約1696年〕和Initiarerummathematicarummetaphysica〔1714年至1716年〕中，萊布尼茨研究了一些基本的幾何概念〔如直線、平面和圓〕的定義問題，并以為海倫對平面本質(zhì)的描繪敘述是重復(fù)語義的雜耍.在給荷蘭著名物理學(xué)家惠更斯〔ChristiaanHuygens,1629-1695〕的信中，萊布尼茨以一種全新的方式定義了平面的概念：平面是到兩個已經(jīng)知道點距離相等的點集。在歐幾里得之后，平面的構(gòu)建問題一直困擾著數(shù)學(xué)家，萊布尼茨的這個定義則使之成為可能。英國數(shù)學(xué)家辛松〔R.Simpson,1687-1768〕以為，過外表上任意兩點的直線與這個外表完全相合，這個外表就是平面。在18世紀(jì)至19世紀(jì)末期，大多數(shù)幾何著作都認(rèn)可這個定義。實際上，辛松的這個定義和海倫的定義是一致的。19世紀(jì)，很多著名數(shù)學(xué)家緊隨萊布尼茨的步伐，華而不實包括德國數(shù)學(xué)家高斯〔CarlFriedrichGauss,1777-1855〕、匈牙利數(shù)學(xué)家W.Bolyai及其兒子J.Bolyai.高斯將平面定義為：過直線上一定點并與這條直線垂直的所有直線的外表；而在對辛松的定義批判的同時，W.Bolyai在空間中以運動的方式給平面下了定義：在空間內(nèi)，一條直線繞與其垂直的直線旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的圖形；J.Bolyai則繼承了其父親的思想，并創(chuàng)新性地把運動和對稱同時引入平面的概念中。19世紀(jì)末，幾何學(xué)有了飛躍性的發(fā)展，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特〔DavidHilbert,1862-1943〕于1899年發(fā)表了他的名著(幾何基礎(chǔ)〕。在這本經(jīng)典著作中，希爾伯特仍把點直線平面作為基本對象不加定義，并把點在直線上點在平面上一點在另兩點之間線段的合同〔相等〕角的合同〔相等〕作為不加定義的基本對象之間的關(guān)系，稱為基本關(guān)系，對它們也不加以講明或解釋。三個基本對象和五個基本關(guān)系統(tǒng)稱為基本概念，這些基本概念受五組、共20條公理的制約。除了這八個基本概念以外的任何幾何對象、名詞、術(shù)語、關(guān)系等等，都必須加以嚴(yán)格定義。[5]綜上所述，在希爾伯特之前，人們主要從直觀經(jīng)歷體驗〔先是局限于二維平面內(nèi)而后是在三維空間中〕來探究平面概念的本質(zhì)，并試圖在三維空間中構(gòu)造出平面來；希爾伯特之后，人們普遍接受了平面概念的邏輯本質(zhì)，自此平面不再是需要定義的孤立的數(shù)學(xué)對象，它的全部意義存在于一組具有邏輯一致性的公理體系中。3研究方式方法采用實證研究方式方法，通過問卷調(diào)查，對學(xué)生的解答進(jìn)行定量與定性分析。3.1樣本被試來自滬、滇兩地三所中學(xué)，從高二年級隨機(jī)選取六個班級，共278人，華而不實男生153名，女生125名，收回有效問卷共270份，華而不實上海173份，云南97份。3.2工具測試卷由ZormbalaTzanakis所用問題改編而成，共含2道題，分別為：〔1〕你以為什么是平面？〔2〕請你作出一個平面。測試時間為15分鐘。測試的主要目的是為了了解學(xué)生對平面概念的理解情況，并由此分析學(xué)生對平面概念的理解能否與概念的發(fā)展經(jīng)過具有歷史類似性。4結(jié)果與分析從整體情況來看，測試結(jié)果反映了學(xué)生對平面概念的理解情況，以下為對測試結(jié)果的逐題分析。4.1學(xué)生對測試題1的回答情況測試結(jié)果：回答分為3類，分別是第1類：通過描繪敘述平面的與水平無關(guān)的性質(zhì)；第2類：通過描繪敘述平面水平的性質(zhì)或者通過舉例描繪敘述的方式；第3類：通過描繪敘述點、線與平面的位置關(guān)系。詳細(xì)情況如表1所示?！?】對結(jié)果的分析：能夠看出所有學(xué)生對平面概念的理解都處于直觀水平，沒有學(xué)生以為平面是不需要定義的概念。大部分學(xué)生從實際生活中的例子或者從平面的字面涵義來講明什么是平面，盡管他們知道平面上的點、直線與平面之間的關(guān)系，但并未從這個角度來回答；僅有不到四分之一的學(xué)生通過點、線與平面的位置關(guān)系來講明什么是平面〔華而不實的一種解答如此圖1〕,他們的理解與歷史上數(shù)學(xué)家歐幾里得、海倫以及辛松的理解類似，這華而不實還有4名學(xué)生動態(tài)地理解直線與平面的關(guān)系〔華而不實的一種解答如此圖2〕,這與歷史上數(shù)學(xué)家W.Bolyai的理解類似。4.2學(xué)生對測試題2的回答情況測試結(jié)果：回答分為4類，分別是第1類：作出一個平行四邊形；第2類：作出其他圖形；第3類：沒有作出任何圖形；第4類：指出平面無法做出。詳細(xì)情況如表2所示?！?】對結(jié)果的分析：能夠看出絕大部分學(xué)生受教學(xué)資料的影響，把平面的表示與平面本身相混淆，因此把平行四邊形當(dāng)作平面；有3名學(xué)生表示平面是無法作出的〔華而不實的一種解答如此圖3〕,具體表現(xiàn)出了對平面概念理解的深入性。5結(jié)論與建議平面一直被廣大的師生以為是一個極其基本和簡單的幾何概念，往往容易被忽視。通過以上的數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析以及對學(xué)生詳細(xì)答卷的分析，我們能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這個基本幾何概念的把握不容樂觀，并得出下面兩個主要結(jié)論：〔1〕絕大部分的高中生對平面概念的理解處于直觀水平；〔2〕部分高中生對于平面概念的理解與歷史上的數(shù)學(xué)家存在一定的類似性。上述結(jié)論講明我們的現(xiàn)行教學(xué)資料和課堂教學(xué)還需要進(jìn)一步完善。對此，給出詳細(xì)建議如下：〔1〕平面是立體幾何的基本概念，在現(xiàn)前階段的高中教學(xué)中一般是從實物的形態(tài)抽象出平面的概念，在這里經(jīng)過中老師要盡量注意引導(dǎo)和帶動學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何中的平面與詳細(xì)實物之間的區(qū)別，十分是平面的表示與平面本身之間的區(qū)別。這實際上就是要浸透數(shù)學(xué)的特點：研究對象固然是從現(xiàn)實世界抽象出來的，但抽象出來之后便存在人類的理想世界中?！?〕在平面概念的教學(xué)經(jīng)過中，能夠從點、線、面之間的位置關(guān)系，幫助學(xué)生從不同角度深切進(jìn)入理解這個概念。〔3〕由于部分高中生在平面的概念理解方面與歷史上的數(shù)學(xué)家存在一定的類似性，因而，在教學(xué)經(jīng)過中，老師能夠通過學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)的歷史與文化，提早預(yù)期學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念理解的困難，并針對這些困難相應(yīng)得加強(qiáng)指導(dǎo)。以下為參考文獻(xiàn)：[1]杜樹芳。談數(shù)學(xué)原始概念的賦意性[J].大連教育學(xué)院學(xué)報。1995,〔1-2〕:87-89.[2]Zormbala,K.,Tzanakis,C.Theconceptoftheplaneingeometry:elementsofthehistoricalevolutioninherentinmodernviews[J].MediterraneanJournalforResearchinMathematicsEducation,2004,3〔1-2〕:37-61.[3]趙瑤瑤，張小明。關(guān)于歷史類似性理論的討論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報。2008,17〔4〕:53.[4]Proclu