北京某大學(xué)2019-2020第一學(xué)期線性代數(shù)模擬卷答案

北京科技大學(xué)2019-2020第一學(xué)期

線性代數(shù)A模擬試卷答案

一、選擇題

1.先把4的第1行加到第3行，再把所得矩陣的第1行與第2行交換得到3,由

初等行變換與初等矩陣的關(guān)系，得舄24=口，因此選C。

2.按第一列展開得：/(0=-47-4,“冷的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)相等。

因此選Ao

3.為m階方陣，當(dāng)九時(shí)，由r(4)&,得：

r(AB)<min{r(X),r(B)}^n<m,此時(shí)|4B|=0,因此選B。

4.若?！?如,…,。”線性相關(guān)，則存在不全為零得數(shù)的產(chǎn)2,…聲“，使得

的的十①2a2T---hxnan=0,兩邊同時(shí)左乘A,得到：

xyAax+x2Aa2-\---卜凱14a“=。，因此4ai,…,力。”線性相關(guān)。因此選A。

/I23\

初等行變換II

5.Q----->00￡—6卜力=6時(shí)，r(Q)=1；6時(shí)，r(Q)=2。PQ=。，

\000)

有r(P)+r(Q)&3。因此：力於6時(shí)，1&r(P)&3—r(Q)=1,r(P)一定為

1；而￡=6時(shí)，l&r(P)03—r(Q)=2,r(P)可能為1或2。因此，選C。

6.4*/。，而，*的元素均是力的代數(shù)余子式，則說明4至少有一個(gè)九一1階余子

式不為0,即r(4)三九一1。因?yàn)?r=b有解且不唯一，則r(4)-1。因此，

r(A)=n—l,即4E=。的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)非零解向量。因此選B。

7.易知①②是正確的，現(xiàn)考察③④是否正確：AJ'=A,B'r=B,

\XE-AB\=|(A^-AB)T\=\XE-BTAT\=\XE-BA\,因此4B和氏4有相同

的特征值，?正確；4是可逆矩陣，則有4T(4B)4=B4,則則48

和8/有相同的特征值，④正確。因此，選D。

8.|四一川=(1-4)2=0,則4的特征值為4,0,0,0；4為實(shí)對稱陣，故存

在正交矩陣尸，使得PT4P=PT/P=5,即4與3合同且相似。因此，選A。

9.對A選項(xiàng)，4*正定是4正定的必要條件，但不充分，如:

A=-E；M,則/*=|川力一1二-(-E)T=E,4*正定，但4不正定。

對C選項(xiàng)，正慣性指數(shù)不一定為n。

對D選項(xiàng)，4正定今存在n階可逆矩陣C,使/但D中沒有要求C可

逆，因此D錯誤。如:

|X|=0,A不正定。

對于B選項(xiàng)，A正定，且A為實(shí)對稱陣，則有4'=/,且A的特征值X>0,兩

邊求逆，得(即)t=》=⑷尸，因此4T為實(shí)對稱陣，且其特征值為y>0,

因此A1正定；反之，4】正定，故(左1尸=41,且/T的特征值〃>0。兩邊

求逆，得力,=/,因此A為實(shí)對稱陣，且其特征值為工>0,因此A正定。即：

A正定臺4T正定

二、填空題

1.43=24+5=>(A—E)B=2G4—E)+2E=>(/—E)(3—2石)=2E,

/001\

因此4—E可逆，且4—E=義呂一E=1010?

~\100/

2.由4)+與=0得屋=-4*,因此，兩邊同時(shí)左乘方陣人并取行列式，得至U：

144Tl=卜44*|=-||用回=-|川3=|川2,|川為o或一1。又因?yàn)?/p>

In,當(dāng)r(4)=n

rQ4)=「(力，)=r(-4)=/G4)和『(4)=<1,當(dāng)，(4)=71—1,可得:

10,當(dāng)r(4)^n—2

r(4)為0或3,但4為非零矩陣，即『(4)不為零，即r(4)=3,因此：

-21\-21

-1110-12

3.=2,（。1,。2,。3）=3-5002a+4

一1，00

4.由84T=0,得r(3)=r(5)+r(X)W3。因?yàn)?/。，則r(B)21,

因此r(4)V3,即|同=0,解得a=-￡。

5.由題意可知，4r=b通解結(jié)構(gòu)為：k^+k^+rj(a,&為4/=。的基礎(chǔ)解

系,4為Ar=6的一個(gè)特解)。4(小一小)=。,4[3(771十小)—2(小+2小)]=0,

因此少一772,3(小+小)-2(小+2小)為4r=。的解向量。

小一？/2=(一103-4)J3(小+小)-2(小+2小)=(-143-12)7，,易

知他一小，3(小+小)—2(小+2小)線性無關(guān),則&,&可取為

3

r）i—儂3⑸+772）-2（小+2T/）o77可取歹51+小），n=

22

3

因此Ar=6通解為瓦（-103-4/+無（-143-12）T+

2

禮后為任意常數(shù)。

6.矩陣力與5相似,則矩陣4與B特征值相同，即矩陣8的特征值為暴，狀，

因止匕8T的特征值為2,3,4,5,B--E的特征值為1,2,3,4。

因此，田一1一￡|=1X2X3X4=24。

7.4相似于對角矩陣，則對角矩陣的對角元素為力的特征值，且應(yīng)存在3個(gè)線性

A0-1

無關(guān)的特征向量。|四一川=-了A-l-y=(A-l)2(A+l)=0,故無論

-10A

Z用為何值，均有為=入2=1,入3=-1。對于二重%=%=1,應(yīng)有兩個(gè)線性無

關(guān)的特征向量，即方程組(E—4)工=。應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。

/10-1\/I0-1\

E—A=\-x0-yI—>I00-x—yj,當(dāng);r+y=O時(shí)，r（E—A）=1,

\-l01）\000/

(七一/)立=。有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，此時(shí)4相似于對角矩陣。

-1]

8.二次型對應(yīng)矩陣為4=<12,其各階順序主子式為4=1,

\-125/

2

△.2=1；=1—產(chǎn)，A3=-5t—4to/正定04正定臺

t1

1—尸>04

o4=——V力V0

—%（5力+4）>0——V力V0o

5

三、

(1)按第4列展開，得:

-100X00rr-10x-10

D4=-a0x-10+0-10一Q20x0+（如+X）0x-1

0x-10X-100-100x

234

=Qo+a1x+a2x+a3x+x

(2)利用加邊法，原行列式變?yōu)?

1的…X1

①2nX1①2???xn

①:+110…0

0x±x2…XrXn一，1

(一電)為++1(d=1,2,…，九)〉

Dn=0N2gX2+1…x2xn一寶01…0

0%?為立2…碎+1-Xn00?-?1

1+￡為2X1

nt11=1

n

010…0=1+Nx

001…0i=l

000-1

四、

記其增廣矩陣為（力,￡）,則

(11111aA/I1111a\

3211-30初等行變換）012263a

（4。）=

01226b000006-3a

15433-12)

00002—2a)

(1)b—3a=2—2a=0,即a=l,6=3時(shí),r(4)=/(4/3),方程組有解。

/I11111\

,012263初等行-切奐、

(2)。=12=3時(shí)，(/,/5)=000000,

<00000Oy

/I0-1-1-5-2\

01226

。，獲得同解方程組:

00000

0J

\00000

?=23+24+缶5—2

x=-2%—2^4—6禽+3

{2

令①3,①4/5為自由變量，則有

Z-2\(1\/1\/5\

(xr\

①23-2-2-6

=

①30+ki1+k20+k30

X0010

4\0J

\o/

\^5/\o/\1/

五、

(1+a234)(1+a234>

12+Q34初等行變換-aa00

（1）（%,02。3,必）=------------>

123+a4-a0a0

I14+aJ

23\-a00

a=07（&1,&2,&3,04）=1。1,0:2,0；3,。4線性相關(guān)，極大線性無關(guān)

組為（&2,。3,。4都可以，但一般選取表示其他向量簡單的極大線

性無關(guān)組）。此時(shí)：a2=2ai,a2=3ai,a4=4ai

/a+10000\

（2）。中0（。1,。2,出,陽）國箜罵一；：；：

-1U1U

k-1001J

即。=-10,（。1,。2,。3,04）=34,必,。3,。4線性相關(guān)，極大線性無

關(guān)組為。2,。3,。4。此時(shí)：％=一@2—。3—因

1—a1+Q0

（1）二次型的矩陣的秩為2,/=1+a1—a0即

002

1—a1+a

=00Q=0

1+a1—a

A—1-10

(2)a=0時(shí)，|AE—/|=-1A—10=(A-2)2A=0

00A-2

則A的特征值為％=%=2,==0

對于入=%=2,解齊次線性方程組(2E—4)c=。

/1-10\/I-10\

2E-A=-110-000

\000/\000/

得兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量：€1=(110)。&=(001尸

對于％=0,解齊次線性方程組-4r=。，解得特征向量為&=(-110)，

易知三者正交，因此將其單位化，得:

4=我(110)7,3=(001)7,小=我(-110)7'

取Q=(小內(nèi)2,小)，則二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為/=2%2+2加2

七、

42=E0(4+E)(a_E)=o今「(力+或+r(A_E)0八

r(A—E)=r{-A+E)=r(4+E)+r(A—E)=r(A+E)+r(-A+E)

=>Nr(A+E—A+E)=r(2E)=n

綜上：r(A+E)+r(A—E)=n.

附加題

l.B為反對稱陣，即=

(XE—B2)T=XET—=\E_(BTY^XE-(-B)2=XE-B2

故四一82是對稱陣；

對任意的n維列向量/中。，有

X1(XE—B2)x—x1(AE+BrB)x=Xxrx+(Bx)7Bx

因》＞0,rrWO,有AxTrrAOKAiQTAcNO,因此對任意比W。，有

xT(XE-B2)x=XxTx+(Bx)TBx>0,因此M為正定矩陣。

2.實(shí)對稱陣一定能對角化成對角陣，即有

/-I00\

PTAP=010

\001/

設(shè)屬于特征值入2=%=1的特征向量為(2yz),，其應(yīng)與&正交，則g+z=0,

解得：

(2@+噌

因此得兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量&=(io0)r,6=(0-11)7,且

正交，令

/010\

101

p=0°一0

10_1_

\7272)

/-I00\/I00\

因此，A=p\010P'=00-1

\001/\0-10/

3.因?yàn)橐?,。3,。4線性無關(guān)，且6=2a2—。3，即r(4)=3,因此4r=。的基礎(chǔ)

解系只有一個(gè)解向量。以1=23一。3即—2a2+。3=。，即

(1\

/f=0

1

\0J

因此，4r=0的通解為痣(1-210)。

/?=%++a3+。4即

/1\

AI=力

得4r=/3的特解為（11117。

TT

因此4c=。的通解為/=R(1-210)+(111l)o

(11°1-2-2\初等行變換、

4.31,。2,。3腦,優(yōu),尸3)=1aliaa

\a11a4a/

/I1a1-2-2\

I0CL-11-a0Q+2a+2]