北京市2021屆高三年級(jí)期末模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京市八一學(xué)校2021屆高三年級(jí)期末模擬考試

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（本大題共10小題，共40分）

1.已知集合4=卜,—a<0},B={1,2,3},若Ac3w0,則。取值范圍為（）

A?（-°°，1]B.[1,+co）C.（一8,3]D.[3,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合A,根據(jù)AC3W0可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】?.-A={x|x-?<0}={x|x<a},8={1,2,3},考慮4口6=0，則a<l，

因此，當(dāng)時(shí)，AC3H0.

故選：B.

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）

2|v|

A.y=log2（x+3）B.y=2|x|+lC.y=-x-1D.y=3

【答案】B

【解析】

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；

對(duì)于B：函數(shù)是偶函數(shù)，且xX）時(shí)，y=2x+l遞增；符合題意；

對(duì)于C：函數(shù)是偶函數(shù)，在（0,+8）遞減，不合題意；

對(duì)于D：函數(shù)是偶函數(shù)，在（0,+8）遞減，不合題意；

本題選擇B選項(xiàng).

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)」一的共輒復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

1-z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡形式，求其共軌復(fù)數(shù)，找到共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷其所在象限.

1+z11.11

詳解:=5+51的共物復(fù)數(shù)為；一;i

(1-/)(1+/)乙乙ZZ

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（5，—耳），在第四象限，故選D.

點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于送分題，解題時(shí)注意審清題意，切勿不可因簡單導(dǎo)致馬虎丟分.

4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

—5----H—3—

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】在如圖所示的長寬高分別為3,4,5的長方體中，三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為棱錐尸-ABC，

可知三棱錐高://=4；底面面積：S=-x5x3=—

y=ls/z=-x—x4=10

???三棱錐體積:

332

本題正確選項(xiàng):

【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準(zhǔn)確求解出三棱錐的高和底

面面積.

5.設(shè)加wR,則“優(yōu)=-1”是"直線4：mr+（l-%）y-3=0與直線4：（"T）x+（2m+l）y-2=0垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

先由兩直線處垂直求出加值，根據(jù)充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.

【詳解】若直線4：〃比+（1-〃，））-3=0與直線/2：（，〃-1）》+（2"?+1））-2=0垂直，

則"（機(jī)-1）+（1-機(jī)）（2m+1）=0,解得加=±1,

所以由m=T能推出直線4：〃a+（1_〃?）'_3=0與直線4：（相-1）》+（2加+1）,-2=0垂直；

反之不能推出；

因此“=-1”是“直線4：爾+（1-機(jī)）〉-3=0與直線4：（，"-1）》+（2根+l）y-2=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：

充分條件與必要條件的判斷，一般可根據(jù)概念直接進(jìn)行判斷，有時(shí)也需要根據(jù)如下規(guī)則判斷：

（1）若〃是9的必要不充分條件，則夕對(duì)應(yīng)集合是，對(duì)應(yīng)集合的真子集；

（2），是g的充分不必要條件，則〃對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集；

（3），是夕的充分必要條件，則。對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等；

（4）〃是g的既不充分又不必要條件，q對(duì)的集合與〃對(duì)應(yīng)集合互不包含.

6.2］的展開式中/的系數(shù)為（）

IX）

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為4,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可求得結(jié)果.

【詳解】卜二)的展開式通項(xiàng)為小=C；.(V=C：.(-2戶產(chǎn)汽

令10—3%=4,解得％=2,

因此，\x2--\的展開式中/的系數(shù)為C；?(—2)2=40.

Ix)

故選；C.

22

7.已知雙曲線二一與=13>Q,b>Q)與拋物線y2=4x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P.

ab

若歸目=|,則雙曲線的漸近線方程為()

IC

A.y=±-xB.y=±2xC.y=土瓜D.y=±—x

23

【答案】C

【解析】

【分析】首先由題意確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后列方程確定a,b的值即可確定漸近線方程.

【詳解】：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(l,0),p=2,

拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，

p=2c,即c=l,

設(shè)P(m,n),由拋物線定義知：

53

|PF|=m+—=771+1=—,77?=—.

222

r.p點(diǎn)的坐標(biāo)為(g,土布］.

a2+b2

96，解得：，廠.

.彳一爐之卜=餐

則漸近線方程為y=+—x=土&x.

a

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程的求解，拋物線的幾何性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

和計(jì)算求解能力.

“ex,x<a,

8.設(shè)函數(shù)f(x)={2則下列結(jié)論中正確的是

x-x+a,x>a.

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/(x)的最小值為4-」

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/(x)的最小值都不是a-4

4

C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為〃-工

24

D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a-'

44

【答案】D

【解析】

【分析】

分別討論a>,兩種情況，即可得出結(jié)果.

44

■

0,、ex,x<a,

【詳解】因?yàn)?；?/p>

x—x+a,x>a.

所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)Ov/(%)</'；

「911

當(dāng)x>。時(shí)，f(x)=x-一x+a=(x—)9+ci—；

24

Iii[exx<a

(1)若。>:，則/0)=(%-力2+。一>0,此時(shí)/(幻二｛:一'值域?yàn)?O,+8),無最小值;

424[x-x+a.x>a,

11、[ex,x<a,1

(2)若上，則/(初面=。一一<0,此時(shí)/(x)=2的值域?yàn)閇a——,+?>)；

44[x—x+a,x>a.4

此時(shí)，最小值為a-'.

4

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值問題，靈活運(yùn)用分類討論的思想即可求解，屬于?？?/p>

題型.

9.已知/(x)=sinxcosx+百cos?》—g,將/(x)的圖象向右平移了已個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位,

得到y(tǒng)=g(x)的圖象，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(a-x)=g(a+x)成立，則+?

A.1+—B.1C.1-—D.0

22

【答案】B

【解析】

【詳解】化簡〃x)=sinxcosx+Gcos2x-乎=sin(2x+。)，將〃x)的圖象向右平移了弓個(gè)單位，

jrjr

再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g(x)=sin［2(x——)+—］+1=sin2x+l,所以7=萬，又對(duì)任意實(shí)數(shù)”，

63

都有g(shù)(a-x)=g(a+x)成立，則y=g(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，所以a+?為平衡位置處，所以

g［嗚卜

10.已知數(shù)列｛4｝滿足：4=。，。,用=++」-(〃eN*),則下列關(guān)于｛a,J的判斷正確的是

a

Ln

A.Va>0,三〃22,使得an<41

B.3a>0,3n^2,使得an<an+x

C.\/<2>0,于“€1^，,總有。,“<。“(根工〃)

D.三。>0,于"eN”,總有am+n=an

【答案】D

【解析】

【分析】由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論、數(shù)列的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性和特殊數(shù)列的性質(zhì)確定題中的說法

是否正確即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由于a>(),故見〉0恒成立，則廿一22\仔*一=血,

故不存在可<0的項(xiàng)，選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；

""+1111—11,

對(duì)于選項(xiàng)B,由于-,,結(jié)合選項(xiàng)A可知a>V2.故一c+,<1,即??+i<a?,選項(xiàng)B

*2%"冊(cè)2an

說法錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,構(gòu)造函數(shù)/(力:^+:［之虛)，則,尸(x)=g-^>0,則函數(shù)在區(qū)間［VI+8)上

單調(diào)遞增，則不存在,〃eN*滿足％<”“，選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，令q=,則4=甘"1—~~~+~~,此時(shí)數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，故

3a>0,3meN*,總有am+n=an,選項(xiàng)D說法正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列中的最值問題，遞推關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化

能力和計(jì)算求解能力.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

11.某校為了解同三同學(xué)寒假期間學(xué)習(xí)情況，抽查了100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間，繪成頻率分

布直方圖（如圖），則這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6到8小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為人.

【答案】30

【解析】

【分析】本題主要考查的是頻率分布直方圖.由條件可知2（0.04+0.12+x+0.14+0.05）=1,所以x=0.15.所以

這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6到8小時(shí)內(nèi)的頻率為0.15（10-8）100=30.

【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

12.己知向量￡、B，忖=向慟=2,ak｛b-a^,則12a.

【答案】2

【解析】

【分析】由￡_L0一勾可得出的值，計(jì)算出忸一才的值，即可求得慳一月的值.

【詳解】由已知條件可得a?僅一。）=4/—a=0,則=a=忖=1,

所以，=47—47B+片=4xF—4x1+2?=4,因此，［2￡一q=2.

故答案為：2.

13.設(shè)S,,為公比的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且3q,24，的成等差數(shù)列，則

區(qū)=

q=

8

【答案】①.3②.10

【解析】

【分析】

先設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式再根據(jù)34，成等差數(shù)列,利用等差中項(xiàng)列方程，求出公比，再代

入世即可解出本題.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

又因?yàn)?q,2a2,%成等差數(shù)列,

所以2x24=3q+%,即4au=3q

又因?yàn)榈缺葦?shù)列中qW0,則4q=3+/，解得4=1或q=3,

又因?yàn)樗?=3.

q(1-力

"q

故答案為：（1）.3（2）.10

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅

殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)攵（2>0且

圓「長軸的端點(diǎn)，。為橢圓「短軸的端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足扁=2,△叩的面積的最大值為8,

△MCD的面積的最小值為1,則橢圓r的離心率為.

【答案】昱

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)M（x,y）,根據(jù)隔=2可得出點(diǎn)〃的軌跡方程，根據(jù)己知條件可得出關(guān)于。、b

的方程組，解出。、b的值，求出C的值，進(jìn)而可得出橢圓「的離心率的值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M（x,y），設(shè)點(diǎn)A（—a,O）、B（a,o）,

由篇:2可得|喇二2|〃耳，即必+司2+y2=2而一4+丁,

整理可得+y2-l^，x+a2=0,即+丁2=當(dāng)。2,

所以，點(diǎn)”的軌跡是以點(diǎn)（事,。］為圓心，以ga為半徑的圓，

4I44/

點(diǎn)M到了軸的距離的最大值為一〃，則/XMAB的面積的最大值為二X2QX2Q=竺=8,

3233

解得a—V6；

點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為也一也=@,則△MCD的面積的最小值為=1,

33323

可得/,=逅.

2

：.C=五2_從=逑,因此，橢圓r的離心率為e=￡=走

2a2

故答案為：走.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值;

（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、。的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的方程求解；

（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

15.已知點(diǎn)A（-1,0）,8（1,0）,若曲線。上存在點(diǎn)P,使得中.麗＜0,則稱曲線。為—

iY4

曲線”，給出下列曲線：①2x+y=4；②/+/=；；③]+/=]；?2/-x2=1；⑤y=Y+2.

其中是“L一曲線”所有序號(hào)為.

【答案】②④

【解析】

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),因?yàn)榘?麗＜o(jì),所以f+?。?.

甲=:石＞1,故曲線上不存在點(diǎn)P,使得麗.麗＜0,故①不是“L-

對(duì)于①,圓心到直線的距離為d

755

曲線”；

對(duì)于②，因?yàn)間＜l,所以存在點(diǎn)尸，使得⑸.麗＜0，故②"L—曲線”；

丫2

對(duì)于③，由于圓V+y2=i全部在橢圓耳+y2=i內(nèi)部，所以曲線上不存在點(diǎn)尸，使得麗.而＜0,故

③不是“L一曲線”；

對(duì)于④，由于雙曲線4="力=1，所以一定存在點(diǎn)尸，使得岡.麗＜0,故④是“L—曲線”；

2

對(duì)于⑤，函數(shù)的最低點(diǎn)(0,2)開口向上，所以曲線上不存在點(diǎn)P,使得麗.而＜0,故⑤不是“L—曲

線”.

綜上所述，故填②④.

點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于首先先到化簡中.麗＜0,得到/+＞2＜1,這樣就找到了點(diǎn)P滿足的幾何特征，

即點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)部，后面對(duì)每一個(gè)逐一判斷就迎刃而解了.

三、解答題(本大題共6小題，共85分)

n

16.如圖，在三棱柱A8C-44G中，平面ABC,ZBAC=-,A4,=A8=AC=1,Cg的中

點(diǎn)為H.

(I)求證：AB_LA|C；

(II)求二面角a—3C—A的余弦值;

A.N

(III)在棱上是否存在點(diǎn)N,使得”N〃平面ABC?若存在，求出二十的值；若不存在，請(qǐng)說明理

A1%

由.

CA.N1

【答案】(I)詳見解析；(II)—；(III)在棱上存在點(diǎn)N,使得HN〃平面4BC,且六=彳.

3A42

【解析】

【分析】

(I)可證明ABJ_平面AAC,從而得到ABLAC.

(II)利用AB，AC,A4兩兩互相垂直建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系4一型，求出平面4BC的法向量

平面ABC的法向量后可求二面角的余弦值.

(III)設(shè)AN=/IAB1(O4441)，則可用X表示麗，利用麗與平面ABC的法向量垂直可求入，從而得

A.N

到:斤的值.

A由

【詳解】證明：(I)因?yàn)?，平面ABC,ABI平面ABC,所以A4,_LAB.

兀

因?yàn)镹BAC=—,所以ACLA6.

2

又因?yàn)锳CflA41=A,

所以A5_L平面A|AC.

因?yàn)锳Cu平面4AC,所以AB，AC.

(II)由(I)可知AB，AC,A4兩兩互相垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z.

因?yàn)锳A(=AB=AC=1,

所以4((),(),0),3(1，°，°)，C(O,1,O),A(0,0,1).

因?yàn)锳A_L平面ABC,

所以麗=(0,0,1)即為平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為5=(x,》z),

46=(1,0,-1).#=(0,1,-1),

[?-AB=0,[x-z=0,

則＜_L_即彳

[n-A]C=0.1y-z=0.

令z=l，則x=l，y=l.

于是7=(1,1,1).

—\AA],""73

所以cos{A4,,〃)=|」|g=G".

3

由題知二面角A-3C-A為銳角，所以其余弦值為走.

3

(III)假設(shè)棱A4上存在點(diǎn)N(x,y,z),使得HN〃平面ABC.

由m=2病(04441),麗=(1,0,0)得電=(4,0,0).

因?yàn)镚(o,U),〃為CG的中點(diǎn)，所以

所以“N=H4+AN=[%T，aJ.

若HN〃平面ABC,則〃M〃=/l-l+3=(),解得；l=

又因?yàn)椤癗a平面A0C.

A.N1

所以在棱4片上存在點(diǎn)N,使得HN〃平面A3C,且=

A[D)2

【點(diǎn)睛】本題考查空間中的線面平行、線線垂直和二面角的計(jì)算，線線垂直可以通過線面垂直而得到，平

行與垂直關(guān)系也可以通過方向向量、法向量的關(guān)系而得到，二面角的計(jì)算可以構(gòu)建二面角的平面角，從而

將空間角轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行計(jì)算，也可以合理建系，把二面角的計(jì)算轉(zhuǎn)化為法向量的夾角來計(jì)算.

17.已知AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,a+b=5,c=3,.是否存在以a,

b,c為邊的三角形？如果存在，求出AABC的面積：若不存在，說明理由.

11o

從①cosC=-：②cosC=-—；③sinC=￡絲這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

333

【答案】詳見解析

【解析】

分析】

若選取條件①cosC=,，可先求出sin。的值，進(jìn)而由余弦定理cosC="+'一?,可出的值，進(jìn)

32ab

而結(jié)合。+匕=5,可求出的值，從而可判斷該三角形存在，進(jìn)而求出三角形的面積即可；

^2,2_2

若選取條件②，由余弦定理cosC=^―-—―,可出心的值，進(jìn)而結(jié)合。+〃=5,可求得（a—bfvO,

2ab

從而可知該三角形不存在；

若選取條件③sinC=2徨，可得cosC=±‘，進(jìn)而分兩種情況，分別討論即可.

33

【詳解】若選取條件①cosC=1,此時(shí)?sinC=『J=半，

因?yàn)椤?8=5,所以從=(。+6)2—2。/?=25—2。/7,

,m-a2+力~-c~25—2ab—91/口,/

由余弦定T理，cosC=---------------=----------------=一，解得a〃=6,

2ab2ab3

則。2+片=25—2x6=13,所以（。-b）=a2+b2—2ab=13-12=1,

a=3[a=2

所以。一匕=±1,又。+人=5,解得<.或者<…

b=2[b=3

所以存在以a,b,c為邊的三角形，其面積為S4M=LX2X3X逑=2及.

23

若選取條件②cosC=，

因?yàn)閍+Z?=5,所以。?+從=（a+Z?）2—2。/?=25—2。6，

,人力^丁中一-c~25—2。?！?1hji/v=iiic

由余弦定理，cosC=-------------=---------------=——，解得瑟=12,

2ab2ab3

則。2+/=25—2x12=1，所以（a—8）2=。2+/—2ab=l—24<0,顯然不成立，所以不存在以a,b,

c為邊的三角形.

若選取條件③sin。=逑，得cosC=±1,

33

由選取條件①可知，當(dāng)cosC=；時(shí)，存在以。，b,。為邊的三角形，其面積為

由選取條件②可知，當(dāng)cosC=-5?時(shí)，不存在以。，b,。為邊的三角形.

3

【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)，考查三角形的面積，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，屬于中檔

題.

18.體溫是人體健康狀況的直接反應(yīng)，一般認(rèn)為成年人腋下溫度7■（單位：°C）平均在36℃-37℃之間

即為正常體溫，超過37.1℃即為發(fā)熱.發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：

37.1<T<38；高熱：38<T<40；超高熱（有生命危險(xiǎn)）：T>40.某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12日

至26日住院治療.醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14日開始，以3天為一個(gè)療程，分別用三種不同的抗生素為該

患者進(jìn)行消炎退熱.住院期間，患者每天上午8：00服藥，護(hù)士每天下午16：00為患者測(cè)量腋下體溫記錄

如下：

抗生素使用情

沒有使用使用“抗生素4'療使用“抗生素?治療

況

17

日期12日13II14日15II16日18日19日

日

體溫(°C)38.739.439.740.139.939.238.939.0

抗生素使用情況使用“抗生素C'治療沒有使用

日期20日21日22日23日24日25日26II

體溫(℃)38.438.037.637.136.836.636.3

(I)請(qǐng)你計(jì)算住院期間該患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值;

(II)在19B—23日期間，醫(yī)生會(huì)隨機(jī)選取3天在測(cè)量體溫的同時(shí)為該患者進(jìn)行某一特殊項(xiàng)目“a項(xiàng)目”的

檢查，記X為高熱體溫下做匕項(xiàng)目”檢查的天數(shù)，試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(川)抗生素治療一般在服藥后2-8個(gè)小時(shí)就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開始?xì)缂?xì)菌，達(dá)到消炎退熱效果.假

設(shè)三種抗生素治療效果相互獨(dú)立，請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由.

【答案】(I)平均值為39.55℃(II)分布列見解析，(Ill)“抗生素。'治療效果最佳，理由見解析.

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)所給表格，可計(jì)算體溫不低于39P的各天體溫平均值：

(II)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,分別求得各自的概率，即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望;

(III)根據(jù)三種抗生素治療后溫度的變化情況，結(jié)合平均體溫和體溫方差，即可做出判斷.

【詳解】(I)由表可知，該患者共6天的體溫不低于39。(2,記平均體溫為亍,

x=g(39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0)=39.55℃.

所以，患者體溫不低于39。(2的各天體溫平均值為39.55℃

(IDX的所有可能取值為0,1,2

P(x=。)嚕$

C2cl6_3

P(x=i)=罟10-5

clc23

P"=2)=皆

C510

則X的分布列為:

X012

133

P

10510

所以E(X)=0xL+ix3+2x3=9

V7105105

(III)“抗生素C'治療效果最佳，理由如下：

①“抗生素夕使用期間先連續(xù)兩天降溫后又回升0.1℃,“抗生素C使用期間持續(xù)降溫共計(jì)1.2℃,說明“抗

生素C降溫效果最好，故"抗生素C'治療效果最佳

②“抗生素8'治療期間平均體溫39.03℃,方差約為0.0156：“抗生素C平均體溫38。(2,方差約為0.1067,

“抗生素C'治療期間體溫離散程度大，說明存在某個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)降溫效果明顯，故“抗生素?！委熜Ч罴?

【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)的求法，古典概型概率求法，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，分析

實(shí)際問題方案的解決方法，屬于中檔題.

19.平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓。：與+馬=1(。>。〉0)的離心率為迫，左、右焦點(diǎn)分別是

cTb~2

14,以大為圓心以3為半徑的圓與以巴為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓。上.

(I)求橢圓C的方程；

22

(H)設(shè)橢圓E:J+J=l,P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線>=履+〃?交橢圓七于A,8兩點(diǎn),

4/4Z?2

射線PO交橢圓。于點(diǎn)Q.

\OQ\

(,)求同的值;

(ii)求A4BQ面積的最大值.

丫2

【答案】(I)二+丁=1；(II)⑴2；(ii)66

4-

【解析】

【詳解】試題分析：(【)根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定。力的值，從而得到橢圓C的方程；(II)

(i)設(shè)p(毛,%)，幽T由題意知。（一2%,一/1%），然后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定義

府r’

y=kx+m

的值；（ii）設(shè)A（X，X）,8（冷％），利用方程組｛無2/結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長|AB|,選將AOW的

---F—=1

164

面積表示成關(guān)于癡的表達(dá)式S=3|卜-司=2vL時(shí)=2/系）熹，然

加2

后，令旦「t,利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出△Q48的面積的最大值，并結(jié)合

1+4/

（i）的結(jié)果求出AA5Q面積的最大值.

試題解析：（I）由題意知2a=4,則。=2,又￡=立，/2=/可得匕=],

a2

2

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+y2=1.

4-

（H）由（I）知橢圓E的方程為土+丁=1,

4

⑴設(shè)尸（乙）,%）,由題意知。（一2%,—之為）因?yàn)榻?），：=1,

又（一幾切+修為）-=],即。作+乂]=1,所以丸=2,即僧=2.

1644I4）\OP\

（ii）設(shè)46,%）,3（孫必）

將丫=丘+機(jī)代入橢圓E的方程，

可得（1+4儲(chǔ)+Skmx+4m2-16=0

由A>0,可得加2<4+16%2①

七8km4m2-16

則有玉+”下/，中2=K記

4J16/+4—加

所以|玉_引=

1+4公

因?yàn)橹本€沖質(zhì)+加與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,m）

2yll6k2+4-m2m\

所以AOAB的面枳S=—|m|-|x—x.,|=

21+4氏2

_2/16公+4-，7?2)-，"2_2,4、機(jī)2

1+43―山~l+4k2J-l+4^2

2

令了=r,將y=履+機(jī)代入橢圓C的方程可得(1+4々2)》2+8%nr+4m2—4=0

由A20,可得帆2<1+4左2②

由①②可知0</41

因此S=244-力=2\J-r+4t，故S<2G

當(dāng)且僅當(dāng)f=l,即,〃2=i+4代時(shí)取得最大值2G

由(i)知，AABQ面積為3S,所以A45Q面積的最大值為6G.

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓位置關(guān)系綜合問題；3、函數(shù)的最值問題.

20.已知函數(shù)/(x)=?e*—lnx—l.

(1)設(shè)x=2是/(x)的極值點(diǎn)，求。，并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，/(x)>0；

e

(3)請(qǐng)寫出函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(結(jié)論不需證明).

【答案】(1)4=/，函數(shù)”X)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8)；(2)證明見解析;

(3)答案見解析.

【解析】

【分析】⑴求出f\x)=aex-^,由/〈2)=0可求得。的值，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可出函數(shù)/(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

(2)證明出x>\nx+l,由此可證得結(jié)論成立；

(3)令〃力=0可得出。=電字，分析函數(shù)武力=”9，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)《X)的單調(diào)性與極值,

ee

數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.

【詳解】(1)=，r(x)=ae*-L

由已知條件可得./(2)=Ge?—(=0,解得a=*,

/1“X1

所以，/(x)=^?Tnx-l,/，(x)=^-->則/"(x)=^^+7>0.

/1/、

所以，函數(shù)r（x）=R-上在（（）,+“）上單調(diào)遞增,

當(dāng)o<x<2時(shí),r（x）<r（2）=o；當(dāng)X>2時(shí),r（x）>r（2）=o.

此時(shí)，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）,單調(diào)遞增區(qū)間為（2,+8）；

⑵構(gòu)造函數(shù)g(x)=ei-x,其中x>0,則g'(x)=/T—l

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'（x）<0,此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時(shí)，g'（x）>0,此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增.

所以，g(x)>,g(l)=0,即e'TNx；

1y_1

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x-lnx-l,其中x>0,則/(x)=l--=一一

當(dāng)0<%<1時(shí),/z'(x)<0,此時(shí)函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，〃'（x）>0,此時(shí)函數(shù)〃（x）單調(diào)遞增.

所以，/1（%）>/2（1）=0,即xNlnx+1,

因此，當(dāng)“2」時(shí)，aex>ex~}>x>\nx+\;則/（x）=ae*-lnx-120；

e

（3）當(dāng).40或4='時(shí)，函數(shù)/（X）只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<a<5時(shí)，函數(shù)“X）有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>J時(shí)，函數(shù)/（x）無零點(diǎn).

理由如下：令/（x）=ae‘-lnx-l=0,可得,

令《力=半出，其中x>0,則函數(shù)/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線丁=。與函數(shù)t（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

xlnA1-令夕（x）=』_lnx_],貝|]夕，（力=--^--<0,

工（X尸■XXX

e

所以,函數(shù)夕（X）在（0,+R）上單調(diào)遞減,且夕⑴=0,列表如下：

X（0」）1(1,+0°)

/‘（X）+0—

極大值1

，(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

e

當(dāng)時(shí)，r(x)=W&>0,作出函數(shù)《X)與直線y=a的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)°<0或。='時(shí)，函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

e

當(dāng)0<4<>!■時(shí)，函數(shù)“X)有兩個(gè)零點(diǎn)；

e

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)無零點(diǎn).

e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明〃x)-g(x)>0(或

/(X)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)