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三角形的內(nèi)和(基礎(chǔ))識講解【習標1.理解三角形內(nèi)角和定理的證方法;2.掌握三角形內(nèi)角和定理及三形的外角性質(zhì);3.能夠運用三角形內(nèi)角和定理三角形的外角性質(zhì)進行相關(guān)的計算,證明問.【點理要一三形內(nèi)和三形角定:角形的內(nèi)角和為180°.要詮:用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題:①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù);②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系,可以求出其內(nèi)角的度數(shù);③求一個三角形中各角之間的關(guān)系.要二三形外.定:角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的角.如圖,ACD是ABC的一個外角.要詮:(1)外角的特征①點在三角形的一個頂點上;一條邊是三角形的一邊另一條邊是三角形某條邊的延長線.()角形每個頂點處有兩個外角,它們是對頂角.所以三角形共有六個外角,通常每個頂點處取一個外角,因此,我們常說三角形有三個外角..性:()角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.()角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角.要詮角內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù).另外,在證角的不等關(guān)系時也常想到外角的性質(zhì).3.三形外和三角形的外角和等于360°要詮:為三角形的每個外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補角,由三形的內(nèi)角和是80°,可推出三角形的三個外角和是360°.【型題類一三形內(nèi)和1.證明:三角形的內(nèi)角和為180.【答案與解析】解:已知:如圖,已知△ABC,證:A+∠B+C=180°
證如所示延BC到作CD∥AB因為AB(已作∠∠(兩直線平行,內(nèi)錯角相等∠(直線平行,位角相等又ACB+1+2=180°(平角定義所以∠∠A+∠B=180(等量代換證2:如圖2示,在BC邊任取一D,∥AB,交AC于,∥AC,交于點F因為∥AC(已作所以∠1=∠(直平行,同位角相等∠2=∠DEC兩直線平行,內(nèi)錯角相等因為DEAB已作所以∠3=∠,∠(直線平行,同位相等所以∠∠2(等量代換又∠∠2+∠°平角定義所以∠∠B+C=180(等量代換證3:如圖3所,過A點作直線
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所以∠5+∠∠∠°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補所以∠5+∠2+∠∠3=180(等量代換又∠∠3=∠,所以∠∠ABC+∠°(等量代換證4:如圖,將ABC三個內(nèi)角剪下,拼成以C為頂點的平證5如圖5-1和5,在圖-1作∠=∠A,得∥AB,有∠=∠在圖-中過A作MN∥BC有∠=∠B,∠2=∠進而將三個內(nèi)角拼成平.【總結(jié)升華三角形內(nèi)角和定理證明方法有很多種論哪種證明方法都應(yīng)用的平行線的性質(zhì)2.在△ABC中,已知∠A+B°,∠=2∠B,試求∠,∠∠C度數(shù).【思路點撥題給出兩個條件:∠=°,2∠,根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180,即∠B+=180就可以求出A,∠B和C的度數(shù).【答案與解析】解:由∠B=°及∠A+∠=°,
知=100°.又∵∠∠,∴∠B=°.∴∠A°∠B°°30.【總結(jié)升華解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件∠∠=°.本題可以設(shè)B=x,則∠A°x,∠C=建方程求解.舉反:【變式已,如圖,ABC中,C=∠∠ABD是AC邊上高求DBC的度數(shù)【答案】解:已知△ABC中∠C=∠ABC=2∠A設(shè)∠A=x則∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠C=2x=72°在△中BD是AC邊的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°-90°-72°=18°類二三形外3.()如圖,AB和CD交于交于點,求證:∠A+∠=∠B+∠.()圖,求證:D=∠+B+∠.【答案與解析】
解)如圖,在△中,∠是一個外角,由外角的性質(zhì)可得:COBA+∠,同理,在△中∠=B∠,所以∠+CB+∠D.()圖,延長線段BD交線段點E,在△中∠=∠A+∠B①;在△中∠=∠BEC+C②,將①代入②得,=∠AB+∠,即得證.【總結(jié)升華重要結(jié)論)”字形圖:A+∠C=∠+∠;()燕尾形圖”:∠∠+∠∠.舉反:【變式1疆設(shè)兵團)如∥,和BC相于,∠=40°,∠=,則∠等()A、40°、CD、【答案B【變式】如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的數(shù)為度【答案】如圖連接CE,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3,在△DCE中,∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°類三三形內(nèi)外綜
4.如圖,∠ABC=38°∠ACB=100°AD平分BACAE是BC邊的高,求∠的度數(shù).【思路點撥先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC度數(shù),由角平分線的定義得出∠的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠的度數(shù),由兩角互補的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【答案與解析】解:∵∠ABC=38°,∠ACB=100°(己知)∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°(三角形內(nèi)角和180°又∵AD平分BAC(己知∴∠BAD=21°,∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°(三角形的外角性質(zhì)又∵AE是BC邊的高,即∠,∴∠DAE=90°﹣59°=31°.【總結(jié)升華此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理,熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵.舉反:【變式】如圖所示,已知ABC中為角分線AD、BE、CF的點,過點P作⊥于,試說明∠與的小關(guān)系并說明理.【答案】解:∠BPD∠.由如下:∵AD、B
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