赫爾《期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品》教材精講(曲率、時間與Quanto調(diào)整)【圣才出品】

圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學(xué)習(xí)平臺第29章曲率、時間與Quanto調(diào)整考慮三種調(diào)整，即曲率調(diào)整、時間調(diào)整和Quanto調(diào)整。29.1曲率調(diào)整附錄29A證明，債券收益率的期望值可以由以下近似式表示（29-1）G′——函數(shù)G的一階偏導(dǎo)數(shù)G"——函數(shù)G的二階偏導(dǎo)數(shù)ET——在一個對于P（t，T）為遠期風(fēng)險中性世界里的期望值σy——遠期收益率的波動率當(dāng)假設(shè)債券收益率的期望為債券收益率期望值與遠期收益率之間的差為該表達式被稱為曲率調(diào)整（convexityadjustment）。29.1.1應(yīng)用1：利率在時間T提供本金L按時間T與T*之間利率所產(chǎn)生的利息。注意：這里假設(shè)利息是在時間T支付。在時間T，考慮產(chǎn)品的現(xiàn)金流為LRTτ，其中τ=T*-T，RT——T與T*之間的零息利率（按1/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學(xué)習(xí)平臺時間段τ復(fù)利）。變量RT可以被看成是在時間T*到期的零息債券在時刻T的收益率，這個債券價格與其收益率之間的關(guān)系式為由式（29-1），或（29-2）R0——T與T*之間的遠期利率σR——遠期利率的波動率因此，這個產(chǎn)品的價值為【例29-1】考慮一個衍生產(chǎn)品，它在3年后提供的收益等于那時的1年期零息利率（按年復(fù)利）乘以1000美元。假設(shè)所有期限的零息利率均為每年10%，按年復(fù)利。而相應(yīng)的從第三年到第四年之間的遠期利率的波動率為20%。這時R0=0.10、σR=0.20、T=3、τ=1和P（0，3）=1／1.103=0.7513。衍生產(chǎn)品價值為即75.95美元（不做曲率調(diào)整的價格為75.13美元）。29.1.2應(yīng)用2：互換利率【例29-2】考慮以下產(chǎn)品，它在3年后提供的收益等于那時的3年期的互換利率乘以2/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學(xué)習(xí)平臺100美元。假設(shè)互換的支付是按年進行，對所有期限的零息利率均為12%，按年復(fù)利。3年后的3年期的互換波動率為22%（由互換期權(quán)隱含得出）。我們將互換利率近似為一個票息為12%債券上的收益率，于是相應(yīng)的函數(shù)G（y）為遠期收益率y0=0.12G'（y0）=-2.4018和G"（y0）=8.2546由式（29-1）得出，因此，在對這個產(chǎn)品定價時，假設(shè)遠期互換利率為12.36%即這個產(chǎn)品價值為8.80美元（在沒有任何調(diào)整的情況下，產(chǎn)品價值為8.54美元）。29.2時間調(diào)整考慮以下情形，觀察一個市場變量的時間為T，但這一觀察值卻用于計算發(fā)生在之后的時間T*的收益。定義：VT——V在時間T的取值；ET（VT）——在一個關(guān)于P（t，T）為遠期風(fēng)險中性的世界里VT的期望值；ET*（VT）——在一個關(guān)于P（t，T*）為遠期風(fēng)險中性的世界里VT的期望值。從計價單位P（t，T）轉(zhuǎn)移到計價單位P（t，T*）時，計價單位比率（見27.8節(jié)）為3/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學(xué)習(xí)平臺這是在T與T*之間的零息債券遠期價格。定義：σV——V的波動率；σW——W的波動率；ρVw——V和W的相關(guān)系數(shù)。由式（27-35），知道由于計價單位的變化導(dǎo)致V的增長率增加αV，其中（29-3）用T與T*之間的遠期利率來表達。定義R——T與T*之間的遠期利率，其復(fù)利頻率為m；σR——R的波動率。W與R之間滿足W的波動率與R的波動率之間的關(guān)系可以通過伊藤引理得出因此式（29-3）變?yōu)槠渲笑裋R=-ρVw是V與R之間的瞬時相關(guān)系數(shù)。假設(shè)R為其初值常數(shù)R0，波動率均為常數(shù)，因此在時間0可以得到（29-4）4/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學(xué)習(xí)平臺【例29-3】考慮一個產(chǎn)品，它在6年后提供的收益等于在5年所觀察到的股指價值。假如一個5年期合約的股指遠期值為1200，股指波動率為20%，在第5年與第6年之間遠期利率的波動率為18%，并且兩者之間的相關(guān)系數(shù)為-0.4。進一步假設(shè)零息利率曲線呈水平狀，年復(fù)利利率為8%。分析：T=5、T*=6、m=1、R0=0.08、ρVR=-0.4、σV=0.20和σR=0.18，于是或ET*（VT）=1.00535ET（VT）。已知ET（VT）=1200。于是，ET*（VT）=1200×1.00535=1206.42。由式（27-20）得出，衍生產(chǎn)品的價值為1206.42×P（0，6），其中P（0，6）=1／1.086=0.6302所以，衍生產(chǎn)品的價值為760.25。29.3QUANTOQuanto或交叉貨幣衍生產(chǎn)品（cross-currencyderivative）：是涉及兩種貨幣的金融產(chǎn)品，其收益由一種貨幣來度量，但以另一種貨幣來支付。Quanto的典型例子是在CME交易的日經(jīng)225指數(shù)（以日元計算），但合約以美元交割?？紤]一個在時間T提供貨幣X中收益的Quanto，假設(shè)收益依賴于一個在時間T觀察的貨幣Y上的變量V的值。定義：PX（t，T）——以貨幣X度量，在時間T付出一個X貨幣單位的零息債券在時間t的價值；PY（t，T）——以貨幣Y度量，在時間T付出一個Y貨幣單位的零息債券在時間t的價值；5/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學(xué)習(xí)平臺VT——V在時間T的取值；EX（VT）——在一個對PX（t，T）為遠期風(fēng)險中性世界里VT的期望值；EY（VT）——在一個對PY（t，T）為遠期風(fēng)險中性世界里VT的期望值。從計價單位PY（t，T）轉(zhuǎn)換到計價單位PX（t，T）的比率為S（t）——時間t的即期匯率（每X單位貨幣所對應(yīng)的Y貨幣的數(shù)量）W（t）——期限為T的遠期匯率。定義：σW——W的波動率；σV——V的波動率；ρVW——V與W之間的瞬時相關(guān)系數(shù)。由式（27-35），計價單位的變化會使V的增長率增加αV倍，其中（29-5）假設(shè)波動率和相關(guān)系數(shù)均為常數(shù)，則或作為近似（29-6