不可壓縮流體動力學基礎

不可壓縮流體動力學根底1.平面流場的速度分布為ux=x2+,uy=2xy2+5y。求在點〔1,-1〕處流體微團的線變形速度，角變形速度和旋轉角速度。度，角變形速度和旋轉角速度。解:〔1〕線變形速度:0xduc=一=2x+yd解:〔1〕線變形速度:0xduc=一=2x+ydxduydy角變形速度:+2[dxdu、dy/旋轉角速度:將點〔1,-1〕1(dudu、云/代入可得流體微團的0=1x2.有旋流動的速度場為u=2y+32xu=2x+3y。試求旋轉角速度，角變形z速度和渦線方程。解:旋轉角速度:1(解:旋轉角速度:1(duduy_dz1(du1(dud1(dudu、dy/角變形速度:￡(duduz+y^dydz1(du1(dudu由d=77=d積分得渦線的方程為:OxOyOz

3.有旋流動的速度場為ux=c.y2+z2,uy=0,uz=0，式中c為常數(shù)，試求流場的渦量及渦線方程。解：流場的渦量為：dudududududux—zdzdxcz\：'y2+z2duducy頭—x————dxdy\；y2+z2旋轉角速度分別為：°-0xcz°—,-y2\：‘y2+z2cy2<y2+z2那么渦線的方程為：°y可得渦線的方程為：y2+c2-c4.求沿封閉曲線x2+y2=b2,z=0的速度環(huán)量?！?〕ux=Ax,uy=o；〔2〕ux=Ay,uy=0；〔3〕uy=°,u0-A/r。其中a為常數(shù)。解：〔1〕由封閉曲線方程可知該曲線時在z=0的平面上的圓周線。在z=0的平面上速度分布為：u-Ax,u-0渦量分布為：Q.-0根據(jù)斯托克斯定理得：「=JQdA-0〔2〕渦量分布為：Q=—Az根據(jù)斯托克斯定理得：「=jQdA=—A^b2〔3〕由于ur=0,UQ=A!r那么轉化為直角坐標為：u=——y=~——,u=--^r2b2yb2dudu2A那么Qzf—聲=后根據(jù)斯托克斯定理得：「，=jqdAz=2”5.試確定以下各流場是否滿足不可壓縮流體的連續(xù)性條件？答：不可壓縮流體連續(xù)性方程直角坐標：dududu+—+—z=0dydz〔1〕udududu柱面坐標：丁+M+荷+M=0〔2〕⑴u=kx,u=-ky,u=0代入⑴〔2〕u=y+z,u=z+x,u=x+y代入〔1〕〔3〕uk(x2+xy一y2),u=k(x2+y2),u=0代入〔〔〕〔4〕u=ksinxy,u=-ksinxy,u=0代入〔1〕〔5〕u=0,"廣kr,u=0〔6〕u=—-,u°=0,u=0代入〔2〕代入〔2〕〔7〕u=2rsin0cos0,u^=-2rsin20,u=0代入〔2〕6.流場的速度分布為ux=x2y,uy=_3y,uz=2z2。求〔3,dudududu解：a=—x+u—x+u—x+u—x=0+x2y,2xy-滿足滿足不滿足不滿足滿足滿足滿足1,2〕點上流體質點的加速度。3y-x2+0=2x3y2-3x2ydudududua-~dt^+u~dx^+u~^y+u—^y=9ydua——z-

zdtdududuc+u~dx+u~d^+u-^z-8z2將質點〔3,1,2〕代入a、a、a中分別得:xyz—9a=64.2y7.平面流場的速度分布為u=4t—點的加速度。解:du=x-dtdu+uxdxdu+uydyr=4+4t-I。求t=0時，在〔1,1〕點上流體質2x+——x2+y22+y2）一4y2x2+y2duduay—~dT+ux~dx~+uydy-0+4tx2+y2duduay—~dT+ux~dx~+uydy-0+4t--Ix2+y2J\J/2x+x2+y2—4xy2+y2當t=0時，將〔1，1〕代入得：a——1y解：z方向速度與時間無關，質量力：/—-gx8.設兩平板之間的距離為解：z方向速度與時間無關，質量力：/—-gxTOC\o"1-5"\h\z1dpd2u\o"CurrentDocument"運動方程：z方向：0—-—+u—pdzdx21dp

pdx積分：p=-pgx+f（z）d2u1dpp對z的偏導與x無關，z方向的運動方程可寫為一=——dy2hdz邊界條件：x=±h，u=0得：C1=0得：C1=0，cHdz牙1-G-)2

hh2dp?.u=—2hdz牙1-G-)2

h9.沿傾斜平面均勻地流下的薄液層，試證明:〔1〕流層的速度分布為u=〔2〕單位寬度上的流量為q=~~b3sin°。3口解：x方向速度與時間無關，質量力fx=gsin°，fy=—gcos91dpd2u運動方程：X方向：0=gsin°—8態(tài)+U-d—_①y方向：0=—gcos°——dp②Pdy②—積分p=—Pgycos°+f(x)y=bp=pp=—pgbcos9+f(x)...p=p+pg(h—y)cos°■/b=常數(shù)p與x無關d2u—pgsin°①可變?yōu)?—dy2Hpgsin°.1積分u=(2y2+qy+C2).C=—b?i,邊界條件：y=0,u=0；y=b,火=0dyC.C=—b?i,2...u=pgsin°y(2b—y)=2—(2by—y2)sin°2h2hQ=\budy=\b—(2by—y2)sin°dy=—b3sin°002h3h描繪出以下流速場解：流線方程：dx_dyuu〔a〕"廣4,u=3，代入流線方程，積分：y=3x+cJi~T

直線族〔b〕u=4,u=3x，代入流線方程，積分：＞=3X2+c

xy8vy/拋物線族〔c〕ux=4y，uy=°，代入流線方程，積分：y=c直線族〔d〕u=4y，u=3，代入流線方程，積分：x=：y2+c

xy3拋物線族〔e〕ux=4y，uy=—3x，代入流線方程，積分：3x2+4y2=c,代入流線方程，積分：X2+J2=c〔h〕u=4=°，代入流線方程，積分：y=c直線族〔i〕ux=4X2〔h〕u=4=°，代入流線方程，積分：y=c直線族〔i〕ux=4拋物線族〔j〕u^=4x,uy=°，代入流線方程，積分：y=c直線族〔k〕ux=4xy，uy=°，代入流線方程，積分：y=c直線族〔1〕u=cua=0由換算公式：u=ucos。一uasin0u=usin0+uacos0rr，0，xr0，yr0c^cx—0=c^cx—0=rrx2+y2，cycyu=F0=yrrx2+y2x代入流線方程積分：一=cy直線族ccxcycxcxr‘ux=0—rr=—xrr;?，uy=0+r尸x^代入流線方程積分：x代入流線方程積分：x2+y2=c同心圓在上題流速場中，哪些流動是無旋流動，哪些流動是有旋流動。如果是有旋流動，它的旋轉角速度的表達式是什么？du8〃duauyTOC\o"1-5"\h\z解：無旋流有：cx=cy〔或r=^〕8ydx80dr〔a〕，〔f〕，〔h〕，〔j〕，〔l〕，〔m〕為無旋流動，其余的為有旋流動1,徹.du、對有旋流動，旋轉角速度：3=二（二^:）〔d〕3=—2〔e〕3〔k〕3=—2x2dxdy〔b〕3=5〔c〕?=—2〔d〕3=—2〔e〕3〔k〕3=—2x解：勢函數(shù)p=fudx+udy流函數(shù)W=fudy一udx〔a〕p=f4dx+3dy=4x+3y=f4dy—3dx=—3x—4y〔e〕p=f4ydx+f—3xdy=fx4ydx+fy—3xdyxo0y0取(x0,y0)為(0,0)那么積分路線可選其中0,0—x,0:dy=0,y=0x,0—x,y:dx=0,x=xp=(fx0dx+fx—3xdy)+(fy4ydx+fy—3xdy)=(0+0)+(0—3xy)=—3xy0000

V=j4ydy-f-3xdx=2y2+—x22其他各題略13.流速場為(a)u=0,u=c，(b)u=0,〃q=32r時，求半徑為r和r的兩流線間流量的表達式。rDrrD12解：dQ=d，Vw=fu^rdD—fUqdr(a)V=—fCdr=—cInrr八、/,、，r:.Q=w2—V]=—cIn%—(—cInr)=clnf‘2①2r2(b)V=—f①2rdr=2①2...Q=w2-V1="(^2—弓)流速場的流函數(shù)是V=3x2y—y3。它是否是無旋流動？如果不是，計算它的旋轉角速度。證明任一點的流速只取決于它對原點的距離。繪流線w=2TOC\o"1-5"\h\z布/82V/解：=6xy=6y8x8x28va-a-82V/=3x2—3y2—匚=—6y8y8y2巡+8x2給=08y2是無旋流u==3x2—3巡+8x2給=08y2是無旋流x8yy8x???u=ux+u2=3(x2+y2)=3r2即任一點的流速只取決于它對原點的距離流線V=2即3x2y—y3=2用描點法：y2(3x2—y2)=2y=1,x=±1y=-1,x=±1.或y=2,x=±c\2y=一2,x=±v-\2〔圖略〕確定半無限物體的輪廓線，需要哪些量來決定流函數(shù)。要改變物體的寬度，需要變動哪些量。以某一水平流動設計的繞流流速場，當水平流動的流速變化時，流函數(shù)是否變化？解：需要水平流速v0，半無限物體的迎來流方向的截面A，由這兩個參數(shù)可得流量Q=v0A。改變物體寬度，就改變了流量。當水平流速變化時，w也變化W=vy+Qarctg-02兀x確定朗金橢圓的輪廓線主要取決于哪些量？試根據(jù)指定長度I=2m，指定寬度b=°.5m，設計朗金橢圓的輪廓線。解：需要水平流速%，一對強度相等的源和匯的位置土a以及流量Q。W=vy+-^(arctgarctg—-—)02兀x+ax一aclx2y2駐點在y=0,x=±二處，由l=2,b=0.5得橢圓輪廓方程：^―-—=121(0.25)2即：x2+16y2=1確定繞圓柱流場的輪廓線，主要取決于哪些量？R=2m，求流函數(shù)和勢函數(shù)。解：需要流速v0，柱體半徑RW=V0（r—^―）sin0■/R=2:.w=V0（r——）sin0小z,R\^=v（r+——）cosU■/R=2：.中=v0（r+^—）cos0等強度的兩源流，位于距原點為a的x軸上，求流函數(shù)。并確定駐點位置。如果此流速場和流函數(shù)為w=vy的流速場相疊加，繪出流線，并確定駐點位置。解：疊加前W=-^（arctg—y——+arctg—y—）2兀x+ax—a

_W_Q(x+a+x-a)尤dy2兀y2+(x+a)2y2+(x一a)2+y2+(x-a)2)一也=Q(—y—dx2兀y2+(x+a)2當x0uy-兀(+y2+(x-a)2)y=0u=^-(1)u=0x2兀x+ax一ay???駐點位置(0,0)疊加后W=vy+-^(arctg—y——+arctg—y—)2兀x+ax一a流速為零的條件：u-xdyy=0=v+1=02兀(x+a)2兀(x一a)1解得：x=即駐點坐標:-匚n一、Q一7Q2+(2a兀v)2,0-)‘-二[2兀v-匚n一、Q+寸Q2+(2。0)2,0」)19.強度同為60m2/s的源流和匯流位于x軸，各距原點為a=3m。計算坐標原點的流速。計算通過(0,4)點的流線的流函數(shù)值，并求該點流速。解：w=-^(arctgarctg——)2流速為零的條件：u-xdyy=0=v+1=02兀(x+a)2兀(x一a)1解得：x=即駐點坐標:-匚n一、Q一7Q2+(2a兀v)2,0-)‘-二[2兀v-匚n一、Q+寸Q2+(2。0)2,0」)19.強度同為60m2/s的源流和匯流位于x軸，各距原點為a=3m。計算坐標原點的流速。計算通過(0,4)點的流線的流函數(shù)值，并求該點流速。解：w=-^(arctgarctg——)2冗x+ax一adyIy=0,Q=60,a=3Q_2兀11i+—]2x+a

[x+a)=6.37m/su=0為了在(0,5)點產生10的速度，在坐標原點