第11講 相似多邊形與相似三角形的判定-2022年九年級數(shù)學暑假課（北師大版）

第11講相似多邊形與相似三角形的判定

【學習目標】

1、能通過生活中的實例認識圖形的相似，能通過觀察直觀地判斷兩個圖形是否相似；

2、探索相似圖形的性質(zhì)，知道兩相似多邊形的主要特征，并根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否

相似，并會運用性質(zhì)進行相關的計算，提高推理能力.

3、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；

4、進一步探索相似三角形的判定及其應用，提高運用“類比”思想的自覺性，提高推理能力.

【基礎知識】

一.相似圖形

(1)相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

(2)相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

(3)相似三角形

對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

二.相似多邊形的性質(zhì)

(1)如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形.

(2)相似多邊形對應邊的比叫做相似比.

(3)全等多邊形的相似比為I或相似比為1的相似多邊形是全等形.

(4)相似多邊形的性質(zhì)為：

①對應角相等；

②對應邊的比相等.

三.相似三角形的判定

(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時

要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

(3)兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

【考點剖析】

相似圖形（共4小題）

1.（2021秋?漳州期末）下列說法正確的是（）

A.任意兩個菱形都相似

B.任意兩個正方形都相似

C.任意兩個等腰三角形都相似

D.任意兩個矩形都相似

2.（2021秋?汨羅市期中）用同一張底片洗出的兩張照片，一張為2寸，另一張為6寸，則這兩張照片上

的圖象的相似比是.

3.（2020秋?邵東市期末）下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有

的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圓都相似.其中說法正確的序號是.

4.在下列兩組圖形中，每組的兩個三角形相似，根表示已知數(shù).試分別確定a、x的值.

二.相似多邊形的性質(zhì)（共3小題）

5.（2021秋?旬邑縣期末）如圖，四邊形ABCQs四邊形AHCT）,.

（1）/B=°.

（2）求邊x,y的長度.

6.（2020春?海淀區(qū)校級期末）兩個相似多邊形的最長邊分別為4c加和6cm它們的周長之和為40c/〃，面

積之差為15c/,求較小多邊形的周長與面積.

7.（2020?余干縣模擬）如圖，一個矩形廣場的長為100m,寬為80〃?，廣場外圍兩條縱向小路的寬均為15",

如果設兩條橫向小路的寬都為xm,那么當x為多少時，小路內(nèi)、外邊緣所圍成的兩個矩形相似.

三.相似三角形的判定（共7小題）

8.（2022?未央?yún)^(qū)校級開學）如圖，四邊形ABEG、GEFH、”FCD都是正方形，請你在圖中找出一對相似

比不等于1的相似三角形，并說明理由.

9.（2021秋?東昌府區(qū)校級月考）已知RtZ\ABC和RtZvV8'C中，NC=NC'=90°,CD、C1D'

分別是兩個三角形斜邊上的高，且=,求證：XABCs小B'C.

10.（2020秋?耒陽市期末）如圖，AB*AE=AD-AC,且Nl=/2,求證：/XABC^^ADE.

11.（2021秋?武功縣期中）如圖，己知NBAC=NEAD,AB=24,AC=48,AE=\1,AO=34,求證：△

ABCs^AED.

12.（2020秋?金川區(qū)期末）已知，如圖，△ABC中，AB=4,8c=8,。為BC邊上一點，BD=2.求證:

叢ABDsACBA.

13.（2020?江西一模）如圖，在正方形ABC。中，點E是A。的中點，點尸在CD上，且CD=4￡＞凡連

接EF、BE.

求證：AABES^DEF.

14.（2020?余干縣模擬）如圖，BD、4c相交于點P,連接BC、AD,且N1=N2,求證：AADPs^BCP.

【過關檢測】

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?準格爾旗期末）如圖，下列條件不能判定△ACD與△ABC相似的是（）

A.B.C.ZADC=ZACBD.ZACD=ZB

2.（2022春?欽北區(qū)校級月考）如圖，把AABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AQE（C與E重合），當點。剛好落在

8c上時，連接CE,設AC、OE相交于點凡則圖中相似三角形的對數(shù)是（）

A.3對B.4對C.6對D.8對

3.（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，在三角形紙片A8C中，AB=9,AC=6,BC=U,沿虛線剪下的涂色部

分的三角形與aABC相似的是（）

A.B.

C.D.

4.（2021秋?灤州市期末）如圖，已知Nl=/2,那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABCsAWE

的是（）

A.NC=NEB./B=NADEC.D.

5.（2021秋?三明期末）下列各組圖形中，不一定相似的是（）

A.任意兩個等腰直角三角形

B.任意兩個等邊三角形

C.任意兩個矩形

D.任意兩個正方形

6.（2021秋?贊皇縣期末）如圖，有甲，乙、丙三個矩形，其中相似的是（）

A.甲與丙B.甲與乙

C.乙與丙D.三個矩形都不相似

二.填空題（共7小題）

7.（2021秋?雁塔區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD?四邊形A'B'C'D',相似比為3：4,其中四邊形

ABC。的周長為18M，則四邊形A'B'CD'的周長為cm.

8.（2021秋?泉州期末）如圖，NA=NB=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在邊AB上取點P,使得△以。

馬APBC相似，則滿足條件的AP長.

9.（2021秋?金塔縣期末）在△ABC和△OEF中，NA=N￡>=105°,AC=4cm,AB=6cm,DE=3c/n,

則DF=時，ZxABC與ADEF相似.

10.（2021秋?船營區(qū)校級期末）已知：如圖，若使△ABCsAWE成立，則需條件（只添一種即

可）.

11.（2021秋?永年區(qū)期中）如圖，已知：ZACB^ZADC=90°,AD=2,CD=,當AB的長為時，

△ACB與△AOC相似.

12.（2021秋?秦淮區(qū)期末）將一張長方形紙片對折，若得到的小長方形與原長方形相似，則原長方形的長

與寬的比是.

13.（2022?通州區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點。在AB上（不與點A,8重合），連接CD只需添加

一個條件即可證明△ACD與AABC相似，這個條件可以是（寫出一個即可）.

三.解答題（共7小題）

14.（2021秋?東港區(qū)校級期末）如圖，△AOE與△ABC有公共頂點A,ZBAD^ZCAE.

（1）請你寫一個適當?shù)臈l件，使則需添加的條件可以是或,并選擇其

中之一證明.

（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，請說明理由.

15.（2020春?肇源縣期末）如圖，在△ABC和△ADE中，==,點8、D、E在一條直線上，求證：△ABD

s/viCE.

16.（2021秋?六盤水月考）如圖，四邊形A8C￡）s四邊形4BICIQI,ZA=80°,ZB=75°,ZC=125°,

求x,ZD\.

17.（2021秋?濱湖區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCDs四邊形E/GH,求角a、0的大小和EF的長度x.

18.（2020秋?新樂市期中）如圖，在△ABC中，點。在AB邊上，ZA