2019屆高考數(shù)學總復習考前三個月考前回扣3三角函數(shù)與平面向量理

回扣3三角函數(shù)與平面向量1．正確記憶六組引誘公式kπ關于“2±α，k∈Z”的三角函數(shù)值與α角的三角函數(shù)值的關系口訣：奇變偶不變，符號看象限．2．三角函數(shù)恒等變換“四大策略”常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．弦、切互化：一般是切化弦．(4)靈巧運用協(xié)助角公式sinα＋cosα＝2＋2sin(α＋φ)此中tanφ＝b.ababa3．三種三角函數(shù)的性質函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象在ππ－2＋2kπ，2＋2kπ在[－π＋2π，2π](k∈Z)上單一遞加；在(k∈Z)上單一遞加；在單一性錯誤!(k∈Z)上單一在[2kπ，π＋2kπ](k遞加π3π∈Z)上單一遞減2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上單一遞減對稱中心：(kπ，0)(k對稱中心：kπ對稱性π＋π對稱中心：2，0∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ，0(k∈Z)；22(k∈Z)kπ(k∈Z)對稱軸：x＝kπ(k∈Z)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的圖象“五點法”作圖設z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相應的x的值與y的值，描點、連線可得．由三角函數(shù)的圖象確立分析式時，一般利用五點中的零點或最值點作為解題打破口．圖象變換向左φ＞0或向右φ<0y＝sin(x＋φ)y＝sinx―――――――――→平移|φ|個單位長度1橫坐標變成本來的ωω＞0――――――――――――→縱坐標不變縱坐標變成本來的AA＞0倍―――――――――――→橫坐標不變5．正弦定理及其變形

倍y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．abcsinA＝sinB＝sinC＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.abcsinA＝，sinB＝，sinC＝.2R2R2Ra∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.6．余弦定理及其推論、變形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.b2＋c2－a2a2＋c2－b2推論：cos＝，cos＝，A2bcB2ac222a＋b－c變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.7．面積公式111S△ABC＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC.8．平面向量的數(shù)目積(1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.9．兩個非零向量平行、垂直的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.10．利用數(shù)目積求長度(1)若a＝(x，y)，則|a|＝a·a＝x2＋y2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則→＝22.|AB|x2－x1＋y2－y111．利用數(shù)目積求夾角若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ為a與b的夾角，1122則cosθ＝a·bx1x2＋y1y22.＝222|a||b|1122x＋yx＋y12．三角形“四心”向量形式的充要條件設O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則→→→a(1)O為△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝2sinA.(2)O為△ABC的重心→→→?OA＋OB＋OC＝0.→→→→→→(3)O為△ABC的垂心?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.→→→(4)O為△ABC的心里?aOA＋bOB＋cOC＝0.1．利用同角三角函數(shù)的平方關系式求值時，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號．2．在求三角函數(shù)的值域(或最值)時，不要忽視x的取值范圍．3．求函數(shù)f(x)＝sin(ω＋φ)的單一區(qū)間時，要注意A與ω的符號，當ω<0時，需把Axω的符號化為正當后求解．4．三角函數(shù)圖象變換中，注意由y＝sinωx的圖象變換得y＝sin(ωx＋φ)時，平移量為φω，而不是φ.5．在已知兩邊和此中一邊的對角時，要注意查驗解能否知足“大邊對大角”，防止增解．6．要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向隨意，其實不是沒有方向；0與隨意非零向量平行．7．a·b＞0是〈a，b〉為銳角的必需不充分條件；a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必需不充分條件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________.3答案2分析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋3cos45°sin15°＝sin60°＝.22．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________．答案2由題意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°分析1－tan18°tan27°，tan18°＋tan27°即1－tan18°tan27°＝1，因此tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，因此(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017·江蘇泰州中學期中)向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a2b|＝________.答案31分析a·b＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝2，|a|＝|b|＝1，因此|a－2b|＝a2＋4b2－4a·b＝1＋4－2＝3.22π4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，C＝3，則△ABC的面積是________．答案332分析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①∵C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，11333∴S△ABC＝2absinC＝2×6×2＝2.5．已知兩點A(1,0)，B(1,1)，O為坐標原點，點C在第二象限，且∠→AOC＝135°，設OC＝→→－OA＋λOB(λ∈R)，則λ的值為__________．1答案2分析由∠AOC＝135°知，點C在射線y＝－x(x＜0)上，設點C的坐標為(a，－a)，a＜0，1則有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝2.16．已知a，b為同一平面內的兩個向量，且a＝(1,2)，|b|＝2|a|，若a＋2b與2a－b垂直，則a與b的夾角為________．答案π15225分析|b|＝2|a|＝2，而(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a－2b＋3a·b＝0，因此a·b＝－2，a·b進而cos〈a，b〉＝|a||b|＝－1，因此〈a，b〉＝π.7．已知函數(shù)f(x)＝3sinπωx－(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完整相6π同，若x∈0，2，則f(x)的取值范圍是________．3答案－2，3分析由兩個三角函數(shù)圖象的對稱中心完整同樣可知，兩函數(shù)的周期同樣，故ω＝2，π因此f(x)＝3sin2x－6，那么當x∈0，ππ≤2x－π5π，2時，－66≤61π，故∈3sinf(x).26128．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動點E和F分別在線→→→1→→→段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝9λDC，則AE·AF的最小值為__________．29答案18分析方法一在梯形中，＝2，＝1，∠＝60°，可得＝1，→＝→＋λ→，ABCDABBCABCDCAEABBC→＝→＋1→(λ>0)，AFAD9λDC→→→→·∴AE·AF＝(AB＋λBC)

→1→→·→＋→·1→＋λ→·→＋λ→·1→＝AD＋9λDC＝ABADAB9λDCBCADBC9λDC21×cos60°＋2×1×1＋λ×1×1×cos60°＋λ×1×1×1×cos120°＝＋λ＋9λ9λ9λ22172λ17292λ22918≥29λ·2＋18＝18，當且僅當9λ＝2，即λ＝3時，獲得最小值為18.方法二以點A為坐標原點，AB所在的直線為x軸成立平面直角坐標系，則B(2,0)，C3，3，D1，3.2222→→→1→又BE＝λBC，DF＝9λDC，1313則E2－2λ，2λ，F(xiàn)21＋9λ，2，λ＞0，→→2－11131721172129∴AE·AF＝2λ＋9λ＋4λ＝18＋9λ＋2λ≥18＋29λ·2λ＝18，λ＞0，當且221僅當9λ＝2λ，2即λ＝時取等號，3→→29故AE·AF的最小值為18.9．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋π2x－π3－3sin6.求函數(shù)f(x)的最小正周期和單一增區(qū)間；(2)當x∈－π，π時，試求f(x)的最值，并寫出獲得最值時自變量x的值．63解(1)由題意知，f(x)＝－sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋2π，32π因此f(x)的最小正周期為T＝2＝π.當－π2＋2kπ≤2x＋2π3≤π2＋2kπ(k∈Z)時，f(x)單一遞加，解得x∈7ππ12＋kπ，－12＋kπ(k∈Z)，因此f(x)的單一增區(qū)間為－7π＋kπ，－π＋kπ(k∈Z)．1212(2)由于x∈－π，ππ2π4π63，因此3≤2x＋3≤3，2πππ當2x＋3＝2，即x＝－12時，f(x)獲得最大值2，當2x＋2π＝4π，即x＝π時，f(x)獲得最小值－3.33310．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB0.求角B的大??；若a＝2，b＝7，求△ABC的面積．解(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，