江蘇省2023年中考數(shù)學(xué)第一部分考點(diǎn)研究復(fù)習(xí)第三章函數(shù)第16課時(shí)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)（含解析）

PAGEPAGE1第三章函數(shù)第16課時(shí)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用〔建議答題時(shí)間：90分鐘〕1.(2022大連)如圖，拋物線y＝x2－3x＋eq\f(5,4)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E.(1)求直線BC的解析式；(2)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．第1題圖2.(2022寧波)如圖，拋物線y＝－x2＋mx＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA＋PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．第2題圖3.(2022安徽)如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)與B(6，0)．(1)求a、b的值；(2)點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A、B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x(2<x<6)．寫出四邊形OACB的面積S關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值．第3題圖4.(2022北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m－1(m>0)與x軸的交點(diǎn)為A、B.(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．①當(dāng)m＝1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；②假設(shè)拋物線在點(diǎn)A、B之間的局部與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．第4題圖5.(2022陜西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx＋5經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，3)和N(3，5)．(1)試判斷該拋物線與x軸交點(diǎn)的情況；(2)平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，且與y軸交于點(diǎn)B，同時(shí)滿足以A、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請(qǐng)你寫出平移過(guò)程，并說(shuō)明理由．第5題圖6.(2022上海)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－5(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，－5)，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝5OB，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)連接AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；(3)如果點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且∠BEO＝∠ABC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．第6題圖7.(2022益陽(yáng))如圖，頂點(diǎn)為A(eq\r(3)，1)的拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)B.(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)過(guò)B作OA的平行線交y軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D，求證：△OCD≌△OAB；(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PCD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．第7題圖答案〔精講版〕1.解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝eq\f(5,4)，∴C(0，eq\f(5,4))，當(dāng)y＝0時(shí)，x2－3x＋eq\f(5,4)＝0，∴(x－eq\f(5,2))(x－eq\f(1,2))＝0，解得x＝eq\f(5,2)或x＝eq\f(1,2)，∴A(eq\f(1,2)，0)，B(eq\f(5,2)，0)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋eq\f(5,4)，將B(eq\f(5,2)，0)代入得eq\f(5,2)k＋eq\f(5,4)＝0，解得k＝－eq\f(1,2)，∴直線BC的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4)；(2)設(shè)E(a，－eq\f(1,2)a＋eq\f(5,4))，那么D(a，a2－3a＋eq\f(5,4))(0＜a＜eq\f(5,2))，∴ED＝(－eq\f(1,2)a＋eq\f(5,4))－(a2－3a＋eq\f(5,4))＝－a2＋eq\f(5,2)a＝－(a－eq\f(5,4))2＋eq\f(25,16).將a＝eq\f(5,4)代入y＝a2－3a＋eq\f(5,4)中得y＝－eq\f(15,16).∴當(dāng)a＝eq\f(5,4)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\f(5,4)，－eq\f(15,16))．2.解：(1)把B(3，0)代入拋物線解析式，得0＝－32＋3m＋3解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；(2)如解圖，連接BC交拋物線的對(duì)稱軸l于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)PA＋PC的值最小．第2題解圖設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，由題知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1.把點(diǎn)(3，0)，(0，3)分別代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋b,3＝b))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3))，∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1＋3＝2.答：當(dāng)PA＋PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)．3.解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)與B(6，0)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝4a＋2b,0＝36a＋6b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2),b＝3))；第3題解圖①(2)如解圖①，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D(2，0)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，CF⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F，那么S△OAD＝eq\f(1,2)OD·AD＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CE＝eq\f(1,2)×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝eq\f(1,2)BD·CF＝eq\f(1,2)×4×(－eq\f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋6x，那么S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.∴S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S＝－x2＋8x(2<x<6)．∵S＝－(x－4)2＋16，∴當(dāng)x＝4時(shí)，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為16.【一題多解】解法一：由(1)知，y＝－eq\f(1,2)x2＋3x，如解圖②，連接AB，那么S＝S△AOB＋S△ABC，其中S△AOB＝eq\f(1,2)×6×4＝12，設(shè)直線AB解析式為y1＝k1x＋b1，將點(diǎn)A(2，4)，B(6，0)代入，易得y1＝－x＋6，過(guò)點(diǎn)C作直線l⊥x軸交AB于點(diǎn)D，∴C(x，－eq\f(1,2)x2＋3x)，D(x，－x＋6)，∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝eq\f(1,2)·CD·(x－2)＋eq\f(1,2)·CD·(6－x)＝eq\f(1,2)·CD·4＝2CD，其中CD＝－eq\f(1,2)x2＋3x－(－x＋6)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－6，∴S△ABC＝2CD＝－x2＋8x－12，∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，即S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S＝－x2＋8x(2<x<6)，∴當(dāng)x＝4時(shí)，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為16.解法二：∵點(diǎn)C在拋物線上y＝－eq\f(1,2)x2＋3x上，∴C(x，－eq\f(1,2)x2＋3x)，第3題解圖如解圖③，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，0)，∴S＝S△OAD＋S梯形ADEC＋S△CEB＝eq\f(1,2)×2×4＋eq\f(1,2)(4－eq\f(1,2)x2＋3x)(x－2)＋eq\f(1,2)(6－x)(－eq\f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋8x，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，∴當(dāng)x＝4時(shí)，四邊形OACB的面積S取最大值，最大值為16.4.解：(1)將拋物線的表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝m(x－1)2－1，那么拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)；(2)①當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x，因此A、B的坐標(biāo)分別為(0，0)和(2，0)，那么線段AB上的整點(diǎn)有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個(gè)；②拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，那么由線段AB之間的局部及線段AB所圍成的區(qū)域的整點(diǎn)縱坐標(biāo)只能為－1或0，∴即要求AB線段上(含AB兩點(diǎn))必須有5個(gè)整點(diǎn)；又∵拋物線表達(dá)式為y＝mx2－2mx＋m－1，第4題解圖令y＝0，那么mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1－eq\f(1,\r(m))，0)、(1＋eq\f(1,\r(m))，0)，即5個(gè)整點(diǎn)是以(1，0)為中心向兩側(cè)分散，∴點(diǎn)A在(－1，0)與(－2，0)之間包括(－1，0)，∴－2<1－eq\f(1,\r(m))≤－1，即2≤eq\f(1,\r(m))<3，∴eq\f(1,9)<m≤eq\f(1,4).5.解：(1)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋5＝3,9a＋3b＋5＝5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，∴拋物線的解析式為y＝x2－3x＋5.對(duì)于方程x2－3x＋5＝0，∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，第5題解圖∴拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)．(2)如解圖，∵△AOB是等腰直角三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B在y軸上，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B1(0，2)或B2(0，－2)．設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋mx＋n.①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B1(0，2)時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝2,4－2m＋n＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝2))，∴平移后的拋物線解析式為y＝x2＋3x＋2＝(x＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4).∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(3,2)，－eq\f(1,4))．而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(11,4))，∴將原拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線；②當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B2(0，－2)時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－2,4－2m＋n＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝－2)).∴平移后的拋物線解析式為y＝x2＋x－2＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(9,4).∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,4))．而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(11,4))，∴將原拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線．【一題多解】解法一：由(1)得平移前的拋物線表達(dá)式為y＝(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(11,4).∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，點(diǎn)B在y軸上，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B1(0，2)或B2(0，－2)．設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y＝(x－eq\f(3,2)＋m)2＋eq\f(11,4)＋n.①當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B1(0，2)時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔－2－\f(3,2)＋m〕2＋\f(11,4)＋n＝0,〔－\f(3,2)＋m〕2＋\f(11,4)＋n＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝－3)).∴將原拋物線向左平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線．②當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B2(0，－2)時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔－2－\f(3,2)＋m〕2＋\f(11,4)＋n＝0,〔－\f(3,2)＋m〕2＋\f(11,4)＋n＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝－5)).∴將原拋物線向左平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線．解法二：設(shè)平移后拋物線表達(dá)式為y＝(x－m)2＋n.∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，點(diǎn)B在y軸上，∴B1(0，2)或B2(0，－2)．①當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B1(0，2)時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔－2－m〕2＋n＝0,〔－m〕2＋n＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,2),n＝－\f(1,4))).∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(3,2)，－eq\f(1,4))．而原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(11,4))，∴將原拋物線向左平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線．②當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B2(0，－2)時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔－2－m〕2＋n＝0,〔－m〕2＋n＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2),n＝－\f(9,4))).∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,4))．而原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(11,4))，∴將原拋物線向左平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線．6.解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－5與y軸交于點(diǎn)C，∴C(0，－5)，∴OC＝5，∵OC＝5OB，∴OB＝1，又∵點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，∴B(－1，0)，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，－5)和點(diǎn)B(－1，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b－5＝－5,a－b－5＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－4))，∴這條拋物線的表達(dá)式為y＝x2－4x－5；第6題解圖(2)由y＝x2－4x－5，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－9)，連接AC，如解圖，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，－5)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，－5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×5＝10，S△ACD＝eq\f(1,2)×4×(9－5)＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝18；(3)連接BE，BG，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，如解圖．∵S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×CH＝10，AB＝eq\r([4－〔－1〕]2＋〔－5〕2)＝5eq\r(2)，∴CH＝2eq\r(2)，在Rt△BCH中，∠BHC＝90°，BC＝eq\r(〔0－1〕2＋〔－5〕2)＝eq\r(26)，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝3eq\r(2)，∴tan∠CBH＝eq\f(CH,BH)＝eq\f(2,3).在Rt△BOE中，∠BOE＝90°，tan∠BEO＝eq\f(BO,EO)，∵∠BEO＝∠ABC，∴eq\f(BO,EO)＝eq\f(2,3)，得EO＝eq\f(3,2)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，eq\f(3,2))．7.(1)解：∵拋物線頂點(diǎn)為A(eq\r(3)，1)，設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－eq\r(3))2＋1，∵拋物線過(guò)原點(diǎn)(0，0)，∴0＝a(eq\r(3))2＋1，∴a＝－eq\f(1,3)，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x.(2)證明：令y＝0，得0＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x，∴x＝0(舍)，或x＝2eq\r(3)，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(