高中數(shù)學第2章推理與證明22直接證明與間接證明222間接證明知識導航學案蘇教版1-2

2.2.2

間證知梳1.不直接從命題的條件逐步推命題成立不直接證明的方法稱______________（indirectproof).______________就是一種常用的間接證明方.2.反法：一般地，假設原命題成經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而明了原題成立，這樣的證明法叫做______________（reducationtoabsurdity).3.反法的證明過程為“否定—______________——______________”.4.反法的一般步驟：（）設——________________________________________________________.（）謬——________________________________________________________.（）真——________________________________________________________.知導通過本節(jié)課的學習認反證法證明問題中的重要作用會用反證法證有關命題，并且要注意根據(jù)題目的類型，合理選擇運用證明問題的方法，學會尋找問題中的矛盾，正確推理疑突1.對證法的理解：從假設結(jié)論不成立入手推出與已知條件假設公或顯然成立的事實”等相矛盾的結(jié)果，從而判定假設錯誤，結(jié)論成立，這種方法叫做反證.反證法證題的特征：是通過導出矛盾、歸結(jié)為謬誤，而使命題得.反證法的原理是“否定之否定等于肯定”反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導出矛盾，從而說明原結(jié)論正.即證明命題的逆否命題成立否定結(jié)論結(jié)的反面一一否定能漏定個反面之反證法稱為歸謬法，否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法注意用反證法解題否結(jié)論”在推理論證中作為已知使用，導出矛盾是指在假設的前提下，邏輯推理結(jié)果與“已知條件、假設、公理、定理或顯然成立的事實”等相矛.反證法適宜證明存在性一性有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的一些數(shù)學問題用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“＜”；“≤”的反面為“＞”；“＞”的反面為“≤”；“＜”的反面為“≥”；“≠”的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“＞”及“＜”.反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”.其中一否定是指“否定結(jié)假二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設”反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設”反證法不是去直接證明結(jié)論而先否定結(jié)論在定結(jié)論的基礎上運用演繹推理導出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實.2.應反證法證明數(shù)學命題的一步驟：（）設：假設命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；（）謬：從反設和已知條件出發(fā)，應用正確的推理方法，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié).（）真：由矛盾結(jié)果、斷定反設不真，從而肯定原結(jié)論成.常見的主要矛盾有：①與數(shù)學公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論相矛盾；1

②與臨時假設矛盾；③與公認的事實或自相矛盾等.典精【例1】如2-2-4所，、圓的兩條相交弦、且不全為直徑.求證：AB、CD不能互相平分思分：證AB與不能相平分，從正面來證明難很大，所以正難則反，采用反證法，假設AB與CD相互平分，可找出存在的矛.圖2-2-4證：設ABCD互相分，連結(jié)、、、BD則ACBD為平四邊.所以：∠ACB=∠ADB,∠CBD.因為四邊形ACBD為內(nèi)接四邊形，所以∠ACB+∠ADB=180°，∠CBD=180°.因此，∠ACB=90°，∠CAD=90°.所以，對角線AB、CD均直徑，與已知矛.因此，、不能相平分.綠通：證法的關鍵是，在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾以是與已知條件矛盾；或與假設矛盾；或與定義、定理、公理、事實矛盾.反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，英國近代數(shù)學家哈代曾經(jīng)這樣稱贊它：“??歸謬（反證法是學最有力的一件武器起象棋開局時犧牲一子以取得優(yōu)勢的讓棋法，它還要高.象棋對者不外乎犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學家索性把全局拱手讓予對方！”.黑陷：利用反證法證明問題時一定要分清題的條件和結(jié)論設時要對結(jié)論進行否定.【變式訓練】如2-2-5所，在△中AB＞AD為BC邊的高線AM是BC邊的中線，求證：點不在段CD上圖2-2-5證明（反證法）假設M在段CD上，則BD＜BM=CMDC,且=BD+AD,AC=AD+CD,所以AB=BD+AD＜+AD＜CD+AD=AC,即＜AC,AB＜這與AB＞AC矛，所以點M不線段CD上.【例2】若a、、均實數(shù)，且-2y+

,b=y-2x+,c=z-2x+2

,2

求證：、、中至少有一個大思分題否定形式出不存在交等至少??”都??”，“都不??”“有??”“至多??”等指示性語句在直接方法很難證明時可采用反證法證：設、、c都不于，即≤0，b，c≤0，則a+b+c≤0,而a+b+c=x-2y+

+y-2x++z-2x+26

=(x-1)+(z-1)π-3∵-3＞，且(x-1)+(y-1)+(z-1)∴a+b+c＞這與a+b+c矛，因此，、、中至少有一個大綠通：利用反證法證明時的實質(zhì)是證明它的逆否命題成立證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般表現(xiàn)形式是：或者是A，或者非A即在同一討論過程中A和非A有個且僅有一個是對的，不能有第三種情形出.【變式訓練】已知a、、是一組勾股數(shù)，即a+b=c求證：、、不可能都是奇數(shù)證：設、、c都是.∵a、、是一組勾股,∴a+b=c①∵a、、都是奇數(shù),∴a、、也都是奇,∴a+b偶數(shù)，這樣①式的左邊是偶數(shù)，右邊是數(shù)，產(chǎn)生矛.∴a、、不可能都是奇數(shù)【例3】(2006年北京高考卷，理在列{a}中，若,a是整數(shù)，且a=｜a-a｜?{}“絕對差數(shù)列”.（）出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項（）“絕對差數(shù)列”{a}中a=3,a數(shù)列b}滿足=a+a+a,n=1,2,3?判斷當n→∞時，與b的極限是存在，如果存在，求出其極限值；（）何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的思分：題以提出一個新概念的方式來考查數(shù)列的概念及極限問題，背景新.解1a=3,a=1,a=2,a=1,a=0,a=1,a=1,a=0,a=1（答案不惟一（）解因為在絕對差數(shù){}，=3a，所以自第20項開，該數(shù)列是a=3，a=0,a=3,a=3,a=3,a=3,a=0,?第20項始，每三個相鄰的項周期地取值3，，所以當→∞時a的值不存.當n≥20時，b=a+a+a=6.所以limn→∞b=6.（）證：據(jù)定義，數(shù){a}必在有限項后出現(xiàn)零項，證如下（用反證法假設{a}中沒有零項，由于a=a-a｜所以對于任意的n都有a≥1,從而當a＞時a-a≤a-1(n≥3);當a＜時a-a≤a-1(n≥3).即a的值么比a至小1，么比a至少小1.3

令C

a(aa)n2n2na(aa)nn2

n=1,2,3?則0＜≤C-1(n=2,3,4,?由于a是定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項＜，這與＞（n=1,2,3,?矛盾，從而a}必有零項.若第一次出現(xiàn)的零項為第n項記=A(A≠0)則自第n開始，每三個相鄰的項同期地取值0，、，

aaa

0nnn

k=0,1,2,3?所以絕對數(shù){a}中有無窮多個零的.綠通：用反證法證題時用的主要矛盾為假設矛盾與數(shù)學公理定理公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾，與公認的事實相矛.【變式訓練】(2004年太原模，20)知：f(x)=x+px+q(1)求證：f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)求證：|f(1)|、、中至少有一個不小于證1）=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.

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.(2)假設f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中少有一個不小于

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不成立，則假設f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都于

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,則|＜而＞=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,這與＜相矛.因此假設不成立，從而原命題成立，|f(1)||f(2)|、|f(3)|中少有一個不小于

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.問探問題：反證法與直接證法相比較，反證法具有哪些特點呢？探究：反證法與直接證法相比較，就會發(fā)現(xiàn)反證法具有如下特點：①從推理論證的前提看，反證法增加了“反設”這個新的條件，下述情況常采用反證.在一門學科開始的階段一些最基本的性質(zhì)的證明于些基本性質(zhì)予以成立的條件簡明扼要，同時可使用的定理甚少，所以直接證明很困.另外在目中含有“至多??或“至少