離散數(shù)學(xué)高等教育出版社配套屈婉玲耿市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

主要內(nèi)容集合基本概念屬于、包括冪集、空集文氏圖等集合基本運算并、交、補、差等集合恒等式集合運算算律、恒等式證實辦法第二部分集合論第六章集合代數(shù)1第1頁第1頁6.1集合基本概念1.集合定義集合沒有準(zhǔn)確數(shù)學(xué)定義理解：由離散個體構(gòu)成整體稱為集合，稱這些個體為集合元素常見數(shù)集：N,Z,Q,R,C等分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)集合2.集合表示法

枚舉法----通過列出全體元素來表示集合

謂詞表示法----通過謂詞概括集合元素性質(zhì)實例：枚舉法自然數(shù)集合N={0,1,2,3,…}謂詞法S={x|x是實數(shù)，x21=0}2第2頁第2頁元素與集合1.集合元素含有性質(zhì)無序性：元素列出順序無關(guān)相異性：集合每個元素只計數(shù)一次擬定性：對任何元素和集合都能擬定這個元素是否為該集合元素任意性：集合元素也能夠是集合2．元素與集合關(guān)系從屬關(guān)系：或者3．集合樹型層次結(jié)構(gòu)dA,aA3第3頁第3頁集合與集合集合與集合之間關(guān)系：,=,?,,,定義6.1ABx(xAxB)定義6.2A=BABBA定義6.3ABABABA?Bx(xAxB)思考：和定義注意和是不同層次問題4第4頁第4頁空集、全集和冪集1．定義6.4

空集：不含有任何元素集合實例：{x|xRx2+1=0}定理6.1空集是任何集合子集。證對于任意集合A，

A

x(xxA)T(恒真命題)

推論

是惟一3.定義6.6

全集E：包括了所有集合集合全集含有相對性：與問題相關(guān)，不存在絕正確全集2.定義6.5

冪集：P(A)={x|xA}實例：P()={},P({})={,{}}計數(shù)：假如|A|=n，則|P(A)|=2n.5第5頁第5頁6.2集合運算初級運算集合基本運算有定義6.7

并

AB={x|xA

xB}

交

AB={x|xA

xB}

相對補

AB={x|xA

xB}定義6.8

對稱差

AB=(AB)(BA)定義6.9

絕對補

A=EA

6第6頁第6頁文氏圖集合運算表示ABABABABABABABA–BAB~A7第7頁第7頁幾點闡明并和交運算能夠推廣到有窮個集合上，即A1A2…An

={x|xA1xA2…xAn}A1A2…An

={x|xA1xA2…xAn}A

B

AB=

AB=

AB=A8第8頁第8頁廣義運算1.

集合廣義并與廣義交

定義6.10廣義并A={x|z(zA

xz)}廣義交

A={x|z(zAxz)}實例{{1},{1,2},{1,2,3}}={1,2,3}

{{1},{1,2},{1,2,3}}={1}

{{a}}={a}，{{a}}={a}

{a}=a，{a}=a9第9頁第9頁關(guān)于廣義運算闡明2.廣義運算性質(zhì)(1)=，無意義(2)單元集{x}廣義并和廣義交都等于x

(3)廣義運算減少集合層次（括弧減少一層）(4)廣義運算計算：普通情況下能夠轉(zhuǎn)變成初級運算{A1,A2,…,An}=A1A2…An{A1,A2,…,An}=A1A2…An

3.引入廣義運算意義能夠表示無數(shù)個集合并、交運算，比如{{x}|xR}=R這里R代表實數(shù)集合.10第10頁第10頁運算優(yōu)先權(quán)要求1類運算：初級運算,,,，優(yōu)先順序由括號擬定2類運算：廣義運算和運算，運算由右向左進行混合運算：2類運算優(yōu)先于1類運算例1

A={{a},{a,b}}，計算A(AA).解：A(AA)={a,b}({a,b}{a})=(ab)((ab)a)=(ab)(ba)=b11第11頁第11頁有窮集合元素計數(shù)1.文氏圖法2.包括排斥原理定理6.2設(shè)集合S上定義了n條性質(zhì)，其中含有第i條性質(zhì)元素構(gòu)成子集Ai,那么集合中不含有任何性質(zhì)元素數(shù)為

推論

S中至少含有一條性質(zhì)元素數(shù)為12第12頁第12頁實例例2求1到1000之間（包括1和1000在內(nèi)）既不能被5和6整除，也不能被8整除數(shù)有多少個？解辦法一：文氏圖定義下列集合：

S={x|xZ1x1000}A={x|xSx可被5整除}B={x|xSx可被6整除}C={x|xSx可被8整除}

畫出文氏圖，然后填入相應(yīng)數(shù)字，解得N=1000－(200+100+33+67)=60013第13頁第13頁實例辦法二|S|=1000|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=166,|C|=1000/8=125|AB|=1000/lcm(5,6)=1000/33=33|AC|=1000/lcm(5,8)=1000/40=25|BC|=1000/lcm(6,8)=1000/24=41|ABC|=1000/lcm(5,6,8)=1000/120=8

=1000(200+166+125)+(33+25+41)8=60014第14頁第14頁6.3集合恒等式集合算律1．只涉及一個運算算律：互換律、結(jié)合律、冪等律互換AB=BAAB=BAAB=BA結(jié)合(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)冪等AA=AAA=A15第15頁第15頁集合算律2．包括兩個不同運算算律：分派律、吸取律與與分派A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)吸取A(AB)=AA(AB)=A16第16頁第16頁集合算律3．涉及補運算算律：DM律，雙重否認律

D.M律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)(BC)=BC(BC)=BC雙重否認A=A17第17頁第17頁集合算律4．涉及全集和空集算律：

補元律、零律、同一律、否認律E補元律AA=AA=E零律A=AE=E同一律A=AAE=A否認=EE=18第18頁第18頁集合證實題證實辦法：命題演算法、等式置換法命題演算證實法書寫規(guī)范(下列X和Y代表集合公式)(1)證XY任取x，xX…

xY

(2)證X=Y辦法一分別證實XY和YX辦法二任取x，xX…

xY注意：在使用辦法二格式時，必須確保每步推理都是充分必要19第19頁第19頁集合等式證實辦法一：命題演算法例3證實A(AB)=A（吸取律）證任取x,xA(AB)

xAxAB

xA(xAxB)

xA

因此得A(AB)=A.例4證實AB=AB證任取x,x

AB

xAxB

xAxB

xAB

因此得AB=AB20第20頁第20頁等式代入法辦法二：等式置換法例5假設(shè)互換律、分派律、同一律、零律已經(jīng)成立，證實吸收律.證A(AB)=(AE)(AB)（同一律）=A(EB)（分派律）=A(BE)（互換律）=AE（零律）

=A（同一律）21第21頁第21頁包括等價條件證實例6證實AB

AB=B

AB=A

AB=

①②③④證實思緒：擬定問題中含有命題：本題含有命題①,②,③,④擬定命題間關(guān)系（哪些命題是已知條件、哪些命題是要證實結(jié)論）：本題中每個命題都能夠作為已知條件，每個命題都是要證實結(jié)論擬定證實順序：①②，②③，③④，④①按照順序依次完畢每個證實（證實集合相等或者包括）22第22頁第22頁證實證實AB

AB=B

AB=A

AB=

①②③④證①②顯然BAB，下面證實ABB.任取x，

xAB

xAxB

xBxB

xB因此有ABB.綜合上述②得證.②③A=A(AB)

A=AB(由②知AB=B，將AB用B代入)23第23頁第23頁③④假設(shè)AB,即xAB，那么知道xA且xB.而xB

xAB

從而與AB=A矛盾.④①假設(shè)AB不成立，那么x(xAxB)

xAB

AB與條件④矛盾.證實24第24頁第24頁第六章習(xí)題課主要內(nèi)容集合兩種表示法集合與元素之間從屬關(guān)系、集合之間包括關(guān)系區(qū)別與聯(lián)系特殊集合：空集、全集、冪集文氏圖及有窮集合計數(shù)集合,,,,等運算以及廣義,運算集合運算算律及其應(yīng)用25第25頁第25頁基本要求純熟掌握集合兩種表示法能夠判別元素是否屬于給定集合能夠判別兩個集合之間是否存在包括、相等、真包括等關(guān)系純熟掌握集合基本運算（普通運算和廣義運算）掌握證實集合等式或者包括關(guān)系基本辦法26第26頁第26頁練習(xí)11．判斷下列命題是否為真(1)(2)(3){}(4){}(5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}(6){a,b}{a,b,c,{a,b}}(7){a,b}{a,b,{{a,b}}}(8){a,b}{a,b,{{a,b}}}解(1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為真，其余為假.27第27頁第27頁辦法分析(1)判斷元素a與集合A從屬關(guān)系是否成立基本辦法：把a作為整體檢查它在A中是否出現(xiàn)，注意這里a可能是集合表示式.(2)判斷AB四種辦法若A,B是用枚舉方式定義，依次檢查A每個元素是否在B中出現(xiàn).若A,B是謂詞法定義，且A,B中元素性質(zhì)分別為P和Q,那么“若P則Q”意味AB，“P當(dāng)且僅當(dāng)Q”意味Ａ=Ｂ．通過集合運算判斷AB，即AB=B,AB=A,AB=三個等式中有一個為真.通過文氏圖判斷集合包括（注意這里是判斷，而不是證實28第28頁第28頁練習(xí)22．設(shè)S1={1,2,…,8,9}，S2={2,4,6,8}

S3={1,3,5,7,9}S4={3,4,5}

S5={3,5}擬定在下列條件下X是否與S1,…,S5中某個集合相等？假如是，又與哪個集合相等？（1）若XS5=（2）若XS4但XS2=（3）若XS1且X

?S3（4）若XS3=（5）若XS3且X?S129第29頁第29頁解答解(1)和S5不交子集不含有3和5，因此X=S2.(2)S4子集只能是S4和S5.由于與S2不交，不能含有偶數(shù)，因此X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和S5都是S1子集，不包括在S3子集含有偶數(shù)，因此X=S1,S2或S4.(4)XS3=意味著X是S3子集，因此X=S3或S5.(5)由于S3是S1子集，因此這樣X不存在.30第30頁第30頁練習(xí)33.判斷下列命題真假，并闡明理由.（1）AB=A

B=（2）A(BC)=(AB)(AC)（3）AA=A（4）假如AB=B，則A=E.（5）A={x}x，則xA且x

A.31第31頁第31頁解題思緒先將等式化簡或恒等變形.查找集合運算相關(guān)算律，假如與算律相符，結(jié)果為真.注意下列兩個主要充要條件AB=A

AB=

AB=

AB

AB=BAB=A假如與條件相符，則命題為真.假如不符合算律，也不符合上述條件，能夠用文氏圖表示集合，看看命題是否成立.假如成立，再給出證實.試著舉出反例，證實命題為假.32第32頁第32頁解答解(1)B=是AB=A充足條件，但不是必要條件.當(dāng)B不空但是與A不交時也有AB=A.(2)這是DM律，命題為真.(3)不符合算律，反比如下：A={1}，AA=，但是A.(4)命題不為真.AB=B充足必要條件是BA，不是A=E.(5)命題為真，由于x既是A元素，也是A子集33第33頁第33頁練習(xí)44．證實AB=AC

AB=AC

B=C解題思緒分析命題：含有3個命題：

AB=AC,AB=AC,

B=C①②③證實要求前提：命題①和②結(jié)論：命題③證實辦法：恒等式代入反證法利用已知等式通過運算得到新等式34第34頁第34頁解答辦法一：恒等變形法B=B(BA)=B(AB)=B(AC)=(BA)(BC)=(AC)(BC)=(AB)C

=(AC)C=C

辦法二：反證法.假設(shè)B

C，則存在x(xB且xC),或存在x(xC且xB).不妨設(shè)為前者.若x屬于A，則x屬于AB但x不屬于AC，與已知矛盾；若x不屬于A，則x屬于AB但x不屬于AC，也與已知矛盾.35第35頁第35頁解答辦法三：利用已知等式通過運算得到新等式.由已知等式①和②能夠得到(AB)(AB)=(AC)(AC)即

AB=AC

從而有A(AB)=A(AC)依據(jù)結(jié)合律得(AA)B=(AA)C

由于AA