高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)

z2iz2i22az|22復(fù)1．復(fù)數(shù)的念：（1）虛數(shù)單i；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形，(a,b∈R)；（3）復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)。2．復(fù)數(shù)集

數(shù)復(fù)數(shù)abi,R)

數(shù)有理數(shù)數(shù)(b0)數(shù)理數(shù)(不循環(huán)小)純虛數(shù)(a0)虛數(shù)(b0)非純虛數(shù)a3．復(fù)數(shù)b∈R)由兩部分組成，實(shí)數(shù)ab別稱為復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部，1與i別是實(shí)數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)，當(dāng)b0時(shí)，a+bi是虛數(shù)，其中且b≠0時(shí)稱為純虛數(shù)。應(yīng)特別注意，僅是數(shù)a+bi為純虛數(shù)的必要條件，若則a+bi=0是實(shí)數(shù)。4．復(fù)數(shù)的則運(yùn)算若兩個(gè)復(fù)數(shù)，，（1）加法；（2）減法z2=(a1a2)+(b1－b2)i；（3）乘法－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；z(ab)ab)i1222（4）除法：；（5）四則運(yùn)算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。（6）特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：①(n為整數(shù))的周期性運(yùn)算；②(1±i)=±；1③若ω+i則ω，ω+ω2=0.5．共軛復(fù)與復(fù)數(shù)的模（1）若z=a+bi則

a

，

z

為實(shí)數(shù)，

z

為純虛數(shù)(b≠0).（2）復(fù)數(shù)的模|,且+b.根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a,b,c,R，兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di相等規(guī)定為a+bi=c+di.由這個(gè)定義得到a+bi=0

ab

.兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。4．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是a－bi，若兩復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則它們所表示的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。若，則實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)共軛，表示點(diǎn)落在實(shí)軸上。5．復(fù)數(shù)的法、減法、乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本上沒(méi)有區(qū)別，最主要的是在運(yùn)算中將i=－1結(jié)合到實(shí)際運(yùn)算過(guò)程去。

+b2m22如+b2m22

26．復(fù)數(shù)的法是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi≠的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)的商。由于兩共軛數(shù)的積數(shù)，數(shù)的法可以過(guò)將分母實(shí)化到即bi()()bcic()(c)c

.7．復(fù)數(shù)的模的幾何意義是指表示復(fù)數(shù)a+bi的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（二）典型例題講解1．復(fù)數(shù)的念例1．實(shí)取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)－1)i是（1）實(shí)數(shù)？）虛數(shù)？3）純虛數(shù)？（4）對(duì)應(yīng)的Z在第三象限？解：復(fù)數(shù)－1)i中，因m所以，m－1都是實(shí)數(shù)，它們分別是的實(shí)部和虛部，∴（1時(shí)，z實(shí)數(shù)；（2）m1，z是虛數(shù)；（3）當(dāng)（4）當(dāng)

mmmm

時(shí)，即m=－1時(shí)，z是純虛數(shù)；時(shí)，即m<－1時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z第三象限。例2．已知(2x－－－，其中x,y，求y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組

5，得x=,例4．當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝（3）是純虛數(shù)．

m

－；1）是實(shí)數(shù)；2是虛數(shù)；解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法．（1）為實(shí)數(shù)，則虛m2+3m－10=0即

m225

，解得，∴時(shí)，為實(shí)數(shù)。（2）為虛數(shù)，則虛m2+3m－100，即

2

，

mm解得m≠2且m≠±5.當(dāng)≠且≠±時(shí)，z虛數(shù)．，1解得m=－,∴當(dāng)m=－時(shí)，z為純虛數(shù)．詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時(shí)相應(yīng)必須具備的條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一要求．例5．計(jì)算i＋＋i3+……+i2005.解：此題主要考查in周期性．i＋＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……i2004)＋i2005=(i－1－(i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝

|1022logx(1logy)i5522|1022logx(1logy)i55222n,N

詮釋：本題應(yīng)抓住的周期及合理分組．例8．使不等m2(m2－3m)i＜(m2－＋3)i＋10成立的實(shí)m＝解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．∵m2－－3m)i＜－4m＋＋且虛數(shù)不能比較大小，m2或m，解或∴m=3.當(dāng)m3，原不等式成立．詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時(shí)必須都為實(shí)數(shù)這一條件。

.例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且

logxy)i22

，求z．解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對(duì)數(shù)方程的解法．∵22，∴

2xxlog2

，∴

xyxy

，解

,∴＝2＋或z＝1＋．詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對(duì)數(shù)方程）例．已知x為純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且2x－1＋i＝－(3－y)i，求、y值．解：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，實(shí)數(shù)與i運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，方程組的解法．設(shè)x＝ti(t∈R，且≠），則2x－1＋i＝－(3－y)i化為2ti1＋＝y(tǒng)－(3－，即(＋1)i－1=y－(3－，∴,∴y=－1,t=－,∴x=i.2．復(fù)數(shù)的則運(yùn)算例1．計(jì)算：)

2n（1）

)

2(

，n∈N+；3())6（2）若ω=－i，ω，計(jì)算；2)(52i)(5i

3i)(2i)（3）；（4）……+100i99.解：（1

)2n)2(

[

)

22

]

2

2i)

n

ink（2）

(

3)6

)

6

(

i3i)22

)

6

6

)

6

]

333222=2.333222（3）由于

ii

,

ii

,2)(52i)(5i

∴

3i)(2i)

i5i)|5i2（4）……+100i99……=(1+2i－3－4i)+(5+6i－－……－－－2－2i)=－5050i.例2．已知復(fù)滿足－，∈R，求解：設(shè)z=x+yi,y∈R，則4z+=z+

yi)4x4yxxy)izz2yx22y2

，4∵∈，∴

y

x

2

yy

2

，又－∴(x2)2+y2=4,聯(lián)立解得，當(dāng)y=0,x=4或x=0舍去x=0,因此時(shí)，當(dāng)y≠0時(shí),

xy

,z=1±,∴綜上所得，i，z3=1－i.例3．設(shè)為虛數(shù)，求證z+為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|=1.證明：設(shè)b∈，b≠0)于是z+

1aa))ia2a2a21

,所以b≠0,(z+)∈R－=0a2+b2=1例4．復(fù)數(shù)滿足(z+1)(z|2，且為純虛數(shù)，求解：設(shè)z=x+yi(x,y，則(z+1)(+1)=|z|2+z+zz|2，∴z，=－1，－2

(z1)(z2x(zz2

2

y

2

|z

為純虛數(shù)，

1

1∴

x2+y2－1=0,y=,∴－+i或－i.例5．復(fù)數(shù)滿足(－10i)z－34i，解：設(shè)z=x+yi(x,y，則(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi)－，

∴,解得12122aiiibb整∴,解得12122aiiibby34y

,∴z=4+i.例6．設(shè)是虛數(shù)，=z+是實(shí)數(shù)，且－ω<2，1（1）求z|值及z的部的取值范圍；（）設(shè)u=，求證u為純虛數(shù)；（3）求ω－的最小值。解：（1設(shè)(a,∈b≠0)，則ω=

(a

a

2

ab)b)ia

，由于ω是實(shí)數(shù)且b≠0，∴1即，由ω=2a,－1<ω∴z的實(shí)部a的取值范圍是(－,1（2）=

12bi1bi(1)2

1，由于∈(－,1),b≠0，∴u純虛數(shù)。（3）ω－u2=2a+

b12aa(1)2(1)2aa

1a]a

,1由于∈(－,，∴則ω－u22×2－3=1，1當(dāng)a+1=即a=0時(shí)，上式取等號(hào)，所以ω－u2最小值為1.i例7．證明：＝1．解：此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、模的定義，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等．設(shè)z＝＋bi，b，則ii

ibia)ii(1)i

a2(1)a2(1)

.解2：∵

i

i，∴=

)i

.詮釋：此題抓住模的定義或共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解．例8．(2002年高考)已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，求實(shí)數(shù)，b使

＝(a2z)2．解：此題主要考查共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的相等．∵z＝1＋i，∴az+2b＝(a＋2b)＋2b)i，(a2z)2＝＋44(a＋2)i=(a2＋＋4(a＋．∴

ab2aa

或，解得

111或2111或21例9．若復(fù)滿足z=(t∈R)，求的對(duì)點(diǎn)Z軌跡方程．解：此題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，點(diǎn)的軌跡方程的求法等．1設(shè)z＝x＋yi(x,y∈，∵=

(1)12i(1)(1)212

，xty∴，消去參數(shù)t得x2＋y2=1且x≠－．∴所求方程為x2＋y21（x≠－1）．詮釋：解此題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件，從而得到參數(shù)方程，消去參數(shù)，或者利用模的定義和性質(zhì)，求出|即可．例．已知復(fù)數(shù)z滿＝5，且(4i)z是虛數(shù)，求z．解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，模的定義及計(jì)算．設(shè)z＝x＋yix,y∈R）∵＝5，∴＋y2＝25,又(＋＋4i)(x＋yi)＝(3x＋3y)i是純虛數(shù)，∴

，聯(lián)立三個(gè)關(guān)系式解得

yy

，∴＋3i或z＝－43i．詮釋：解此題應(yīng)抓住純虛數(shù)的