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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷
考生請注意:
1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。
2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的
位置上。
3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
22
1.已知雙曲線C:馬_與=1(?>0,。>0)的右焦點(diǎn)與圓M:(x—2>+y2=5的圓心重合,且圓”被雙曲
線的一條漸近線截得的弦長為20,則雙曲線的離心率為()
A.2B.72C.73D.3
2.如圖,AABC內(nèi)接于圓。,是圓。的直徑,DC=BE,DC"BE,DC上CB,DC上CA,AB=2EB=2,則
三棱錐E-ABC體積的最大值為()
3.已知等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S“,若Sg=16,4=1,則數(shù)列{q}的公差為()
3322
A.-B.一一C.-D.一一
2233
4.已知£=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-i),若Z//B,貝!![."=()
A.-7B.-3C.3D.7
5.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則().
正(主)視圖傅(左)視圖
俯視圖
A.20定S,且26e5B.2/定S,且2月eS
c.2V2GS.且2百任SD.2V2eS)且26Gs
6.已知名,是空間中兩個不同的平面,〃?,〃是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()
A.若mua,nu0,且a_L/7,則/w_L〃
B.若mua,nua,且加〃/7,“//£,則a///?
C.若m工a,nI/。,且a_L/7,則/〃_L〃
D.若根_La,〃///7,且e//〃,則〃
7,若命題二:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題二在邊長
為4的正方形二二二二內(nèi)任取一點(diǎn)二,則二二二二>90:的概率為二,則下列命題是真命題的是()
8
A.二八匚B.(「匚)A二C.二八(「二)D.二
8.已知。,b,c分別是△ABC三個內(nèi)角A,B,。的對邊,acosC4-V3csinA=Z?+c,則4=()
71
冗gc兀n2萬
A.—B.—C.—D.—
6433
9.已知復(fù)數(shù)2=(1+。(3-1)。為虛數(shù)單位),則z的虛部為()
A.2B.2zC.4D.4i
10.已知點(diǎn)A是拋物線V=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且滿足|例=加歸口,
若加取得最大值時,點(diǎn)P恰好在以4F為焦點(diǎn)的橢圓上,則橢圓的離心率為()
V5—1口V2—1
A.V3-1B.V2-1
2.2
11.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55
千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100h〃/日現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫
出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h
的頻率分別為()
頻率
「|SEF
。70758085W95100時速(km;h)
A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35
12.若雙曲線上—與=1的離心率e=Y7,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為()
4b-
A.273C.百
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.如圖,在平面四邊形---中;=4'則'=*六?=
14.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0),若/(x)在(0,1]上的最大值為一,則。=
2
15.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{4},則為)0=.
16.(5分)有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列,已知前三個和
尚的身高依次成等差數(shù)列,后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列,且前三個和尚的身高之和為45()cm,中間兩個和尚的
身高之和為315cm,則最高的和尚的身高是cm.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
2
17.(12分)在AABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。,b,Z?sinA=3csinB,a=3,cos^=~-
(I)求6的值;
(II)求cos(28-為的值.
x=m-\------1
2
18.(12分)已知直線/的參數(shù)方程為《L(,為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸建立極坐
f
Iy=——2
標(biāo)系,曲線。的極坐標(biāo)方程為夕2cos2夕+3225而。=12,且曲線。的左焦點(diǎn)尸在直線/上.
(I)求/的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程;
(II)求曲線。的內(nèi)接矩形的周長的最大值.
19.(12分)已知/(x)=Asin(3。)(A>0,0<4,網(wǎng)<9)過點(diǎn)嗚),且當(dāng)x.時,函數(shù)f(x)取得最
大值1.
(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移?個單位得到函數(shù)g(x),求函數(shù)g(x)的表達(dá)式;
6
JT
(2)在(1)的條件下,函數(shù)/z(x)=/(x)+g(x)+2cos2x-l,求/z(x)在[0,,]上的值域.
20.(12分)在銳角AABC中,仇c分別是角A,8,C的對邊,m=(2Z?-c,cosC),方=(a,cosA),且?!ㄕ?/p>
(1)求角A的大小;
(2)求函數(shù)y=2sin28+cos](-28)的值域.
21.(12分)已知變換7將平面上的點(diǎn)(1,;),(0,1)分別變換為點(diǎn)-2),設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為
(1)求矩陣加;
(2)求矩陣M的特征值.
22.(10分)設(shè)AABC的內(nèi)角的對邊分別為a/,c,已知2bcos6=acosC+ccosA.
(1)求B;
(2)若AABC為銳角三角形,求工的取值范圍.
a
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.A
【解析】
22
由已知,圓心M到漸近線的距離為可得G又0=2=。2+〃,解方程即可.
7777
【詳解】
由已知,c=2,漸近線方程為法土緲=0,因?yàn)閳AM被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2近,
lb2b,
所以圓心M到漸近線的距離為62To)2=6/=—=b故yjc2-h2
Ja2+/ca==1,
c
所以離心率為e=-=2.
a
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.
2.B
【解析】
根據(jù)已知證明8E1平面ABC,只要設(shè)AC=x,則BC=」4-X2(0<X<2>從而可得體積
VE_ABC=:次(4_巧,利用基本不等式可得最大值?
【詳解】
因?yàn)镈C=BE,DCI/BE,所以四邊形OCBE為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DC±CA,CBnC4=C,CBu平面
ABC,C4u平面ABC,
所以O(shè)C_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形中,AB=2EB=2,
設(shè)4C=x,則BC=14-%2(0<%<2),
所以5彼西=;AC-8C=3x,14—f,所
以/-例=:4,4_、=、JX2(4_X2)又因?yàn)?、?—尤2)<龍+:—無],當(dāng)且僅當(dāng)
(丫24一丫2、2
/(4-x2)<,即》=應(yīng)時等號成立,
I2,
所以化-曲)叱4
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長為X,
用建立體積V與邊長x的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.
3.D
【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.
【詳解】
依題意,S=8(qt.)=8(%t%)=]6,故/+。6=4,故/=3,故4="6二%=-2,故選:D.
822'33
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.
4.B
【解析】
由平行求出參數(shù)加,再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計算.
【詳解】
由a//B,得2m—(m+3)=0,則〃z=3,
b=(3,6),c=(1,-1)>所以6.c=3-6=-3?
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.
5.D
【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進(jìn)一步求出個各棱長.
【詳解】
根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,
如圖所示:
所以:AB=BC=CD=AD=DE=2,
AE=CE=2M,BE=7(2A/2)2+22=2^?
故選:D.
E
【點(diǎn)睛】
本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.
6.D
【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.
【詳解】
解:對于A,當(dāng)mua,nu°,且C,,則〃?與"的位置關(guān)系不定,故錯;
對于3,當(dāng)〃〃時,不能判定。//夕,故錯;
對于C,若機(jī)_La,〃///?,且。_L〃,則機(jī)與〃的位置關(guān)系不定,故錯;
對于。,由/a//△可得mJ■尸,又〃///7,則wJ_/7故正確.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體
模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.
7.B
【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為二]=上=4即命題二是錯誤,
則r二是正確的:在邊長為4的正方形二二二二內(nèi)任取一點(diǎn)二,若二二二二>90:的概率為二.=三士==,即命題二是
正確的,故由符合命題的真假的判定規(guī)則可得答案(「二)A二是正確的,應(yīng)選答案B。
點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真
假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計算
公式的運(yùn)用等知識與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。
8.C
【解析】
原式由正弦定理化簡得GsinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCwO,OvAv乃可求A的值.
【詳解】
解:由。cosC+V3csinA=h+c及正弦定理得sinAcosC+V3sinCsinA=sinfi+sinC*
因?yàn)锽=TT—A—C,所以sin8=sinAcosC+cosAsinC代入上式化簡得出sinCsinA=cosAsinC+sinC.
由于sinCwO,所以sin(A-5)=g.
jr
又0<A<〃,故人=一.
3
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.
9.A
【解析】
對復(fù)數(shù)z進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計算得到z=4+2i,從而得到虛部為2.
【詳解】
因?yàn)閦=(l+i)(3-i)=4+2"所以%的虛部為2.
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計算過程要注意產(chǎn)=-1.
10.B
【解析】
設(shè)P(x,y),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出根的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出機(jī)的最大值時的P點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢
圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.
【詳解】
設(shè)尸(x,y),因?yàn)锳是拋物線f=4),的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)尸為拋物線的焦點(diǎn),
所以A(0,T),下(0,1),
巾|PA|l(y+l)2+x2/(y+l『+4y
四|^(y-l)2+x2V(yT『+4y
\y2+2y+l
當(dāng)y=。時,m=L
*+11+-^—<11+4
當(dāng)y>。時,寸丁+2k1y+i+22+2rr
v>Vvy
當(dāng)且僅當(dāng)y=l時取等號,...此時p(i2,l),
\PA\=2y/2,\PF\=2,
???點(diǎn)P在以AF為焦點(diǎn)的橢圓上,2c=|A尸|=2,
由橢圓的定義得2a=|B4|+|P目=2忘+2,
c2c2rr
所以橢圓的離心率e=—=「=c6c=(2—l,故選B.
a2a2V2+2
【點(diǎn)睛】
本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn),一般求離心率
有以下幾種情況:①直接求出a,C,從而求出e;②構(gòu)造a,C的齊次式,求出e;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定
義來求解.
11.B
【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能
求行駛速度超過90km/h的頻率.
【詳解】
由頻率分布直方圖得:
在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率為0.06x5=0.3,
,在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)為:0.3x1000=300,
行駛速度超過90km/〃的頻率為:(0.05+0.02)x5=0.35.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
12.C
【解析】
根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得a,b,c的值;得漸近線方程后,由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.
【詳解】
雙曲線立一4=1的離心率《=立,
4b22
則。=2,e=?=¥,解得c=J7,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜S,0),
所以〃=二?==百,
則雙曲線漸近線方程為y二士日》,即、Qx±2y=(),
不妨取右焦點(diǎn),則由點(diǎn)到直線距離公式可得]=叵q=6,
V3+4
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點(diǎn)到直線距離公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13._7
【解析】
由題意得=+===_==+===+:,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【詳解】
由題意得三+三=(三三+三)+(三+三)=三_三,
zz+ff=(3z+ff)+(zz+ff)=ff+zf?
A;;
(Tz+zz).(zz+zf)=(ZL-zz).(zf+zz)=zz-iz=9-/d=-/
【點(diǎn)睛】
突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用三三表
示,然后再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解,這樣解題方便快捷.
14.a=—
2
【解析】
2x-2
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由/'(X)+。在上/可得/")在』]上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為
x(x-2)(0J(x)>0,(0
即可求出參數(shù)的值.
【詳解】
解:/(幻=Inx+ln(2-x)+ax定義域?yàn)?0,2)
y,U)=-+—!—■+</=2x-2
—/-----r+a
xx-2x(x-2)
?.?XG(0,11,?>()
2X-2
/,(x)=、+a>0
x(x-2)
???/(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
故/(x)在(0,1]上的最大值為f⑴=a=;
故答案為:—
2
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.
15.5252
【解析】
根據(jù)圖像歸納4=2+3+4+...+"+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.
【詳解】
根據(jù)圖像:q=2+3,々=2+3+4,故4=2+3+4+...+〃+2,
與(2+102)x101
故40G=2+3+4+…+102=^------f-------=5252.
故答案為:5252.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.
16.181.5
【解析】
依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為4cm,生cm,a3cm,第四個(最高)和尚的身高為qcm,則q+4+4=3%=450,解
得見=150,又見+4=315,解得%=165,又因?yàn)閍2,%,4成等比數(shù)列,則公比[吟=穹=11,故
a4=0,^=165x1.1=181.5.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(I)人="(II)&
18
【解析】
(I)根據(jù)正弦定理先求得邊c,然后由余弦定理可求得邊b;
(H)結(jié)合二倍角公式及和差公式,即可求得本題答案.
【詳解】
(I)因?yàn)閆?sinA=3csin
由正弦定理可得,ab=3bc,
又a=3,所以c=l,
所以根據(jù)余弦定理得,29+1-〃7/,
36
解得,b-V6;
2二
(n)因?yàn)閏osBn:;,所以Sin8=年,
33
cos28=2cos2B-\=-^-,sin28=2sinBcosB=±-^,
99
um萬、G,14044-
叫!Jcos(2B)=——cos2B+—sin2B=——x(——)+—x---=-------也--.
622292918
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用二倍角公式及和差公式求值,屬基礎(chǔ)題.
18.(I)曲線。的參數(shù)方程為:,為參數(shù));/的極坐標(biāo)方程為0(疝。一856?)=20;(D)16.
【解析】
(I)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(II)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.
【詳解】
22
(I)由題意:曲線C的直角坐標(biāo)方程為:—+^-=1,
124
所以曲線C的參數(shù)方程為,*=2逝?!?〃(夕為參數(shù)),
y=2sin6
因?yàn)橹本€/的直角坐標(biāo)方程為:x-y-m=O9
又因曲線C的左焦點(diǎn)為尸(―2萬,0),將其代入x-y-加=0中,得到加=—2、歷,
所以/的極坐標(biāo)方程為0(sine—cos。)=2夜.
(H)設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為(26cose,2sine),卜26cos6,2sin6),(2百cos6,-2sin。),
(-2石cos6,-2sin。)(0<,
所以橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為:873cos6+8sin8=16sin1+(J,
77"77"TT
所以當(dāng)e+==7時,即。=二時,橢圓c的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16.
【點(diǎn)睛】
本題考查了曲線的參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)
用,極徑的應(yīng)用,考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.
JI
19.(l)g(x)=sin(2x--);⑵
6
【解析】
試題分析:
⑴由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為/(X)=sin^2x+^,貝?。輌(x)=/1一=s山(2》一小.
⑵整理函數(shù)h(x)的解析式可得:MX)=2“2X+?],結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域?yàn)椋?1,2].
試題解析:
(1)由函數(shù)"X)取得最大值1,可得4=1,函數(shù)過jo,;]得s山0=;,解<3,。=/
71
=1=>--CD+--=---\-2k7r,keZ,0<69<4,:?co=2
<6662
=sin2T
(2)h^x)=\l3sin2x-¥cos2x=2sin[+,
T回生2、+臺去-冷心+作1,
-l<25zn[^2x+^<2,值域?yàn)閇—1,2].
71
20.(1)A=—;(2)2
3i
【解析】
(1)由向量平行的坐標(biāo)表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得cosA,進(jìn)而得到A;
⑵利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為y=l+sin128qj,根據(jù)B的范圍可確定28-看71的
6
范圍,結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.
【詳解】
(1)?/fnlln,.,.(2b-c)cosA-?cosC=0,
由正弦定理得:(2sin3-sinC)cosA—sinAcosC=0,
即2sinBcosA—sin(A+C)=2sin3cosA—sinB=0,
5ef0,—1,/.sinB0,cosA]_
2
又問嗚,乃
9A.=—
3
n7171
(2)在銳角AABC中,A=-一<5<一?
362
?1sin2B--cos2B=1+sinf2B--兀
-,?y2sinB+cosI--2B\=1-COS2B+—COS2B+—sin2B=1+—
322226
71n兀71An兀715413
:—<B<—/.一<2B----<——<sin2B<1,一<y<2,
6296669216J2-
二函數(shù)y=2sin28+cos]。一2'的值域?yàn)椤?2.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題;涉及到共線向量的坐標(biāo)表示、利用三角恒等變換
公式化簡求值、正弦定理邊化角的應(yīng)用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識.
3--
21.(1)M=2(2)1或6
-44_
【解析】
ab
(1)設(shè)用=根據(jù)變換可得關(guān)于a,4的方程,解方程即可得到答案;
ca
(2)求出特征多項(xiàng)式,再解方程,即可得答案;
【詳解】
_3
abb^Q
⑴設(shè)”c「則~2
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