平面向量的基本定理及坐標表示

關(guān)于平面向量的基本定理及坐標表示第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三問題提出1.向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？2.怎樣理解向量的數(shù)乘運算λa？

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三3.平面向量共線定理是什么？4.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對斜面的壓力為F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？GF1F2非零向量a與向量b共線存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三5.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學理論.第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三平面向量基本定理和正交分解及坐標表示第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三探究（一）：平面向量基本定理

思考1：給定平面內(nèi)任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考2：如圖，設(shè)OA，OB，OC為三條共點射線，P為OC上一點，能否在OA、OB上分別找一點M、N，使四邊形OMPN為平行四邊形？MNOABCP第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對應向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三探究(二):平面向量的正交分解及坐標表示

[0°，180°]思考1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量a和b，作a，b，如圖.為了反映這兩個向量的位置關(guān)系，稱∠AOB為向量a與b的夾角.你認為向量的夾角的取值范圍應如何約定為宜？baabABO第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考2：如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？ba第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？BaiOjAP第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考4：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a＝xi＋yj.我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示.那么x、y的幾何意義如何？aixyOjxy第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考5：相等向量的坐標必然相等，作向量a，則(x，y)，此時點A是坐標是什么？AaixyOjA(x,y)第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三理論遷移

例1如圖，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.e1e2COA－2.5e1B3e2第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三例2如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標.2452abcd－4－2－5－2xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)作業(yè)1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時又是向量坐標表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點.2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關(guān)系的一個幾何量，平行向量的夾角是0°或180°，垂直向量的夾角是90°.第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三3.向量的坐標表示是一種向量與坐標的對應關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義.將向量的起點平移到坐標原點，則平移后向量的終點坐標就是向量的坐標.第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三2.3.3平面向量的坐標運算2.3.4平面向量共線的坐標表示第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三問題提出1.平面向量的基本定理是什么？

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐標表示向量的基本原理是什么？設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a＝xi＋yj，則a＝(x，y).第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三3.用坐標表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運算轉(zhuǎn)化為坐標運算，為向量的運算拓展一條新的途徑.我們需要研究的問題是，向量的和、差、數(shù)乘運算，如何轉(zhuǎn)化為坐標運算，對于共線向量如何通過坐標來反映等.第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的坐標運算及向量共線的坐標表示第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三探究（一）：平面向量的坐標運算

思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考2：根據(jù)向量的坐標表示，向量a＋b，a－b，λa的坐標分別如何？a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考3：如何用數(shù)學語言描述上述向量的坐標運算？兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三oxyBA思考4：如圖,已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標如何？一般地，一個任意向量的坐標如何計算？

＝(x2－x1，y2－y1).任意一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標.第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三思考6：若向量a=(x，y)，則|a|如何計算？若點A(x1,y1)，B(x2，y2)，則如何計算？AaxyO第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三探究（二）：平面向量共線的坐標表示

思考1：如果向量a，b共線（其中b≠0），那么a，b滿足什么關(guān)系？思考2：設(shè)a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共線（其中b≠0），則這兩個向量的坐標應滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？a＝λb.向量a，b（b≠0）共線第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三axyObABCD思考3：如何用解析幾何觀點得出上述結(jié)論？向量a，b（b≠0）共線第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三理論遷移

例1已知a=(2,1),

b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標.

a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－