2021-2022學(xué)年山東省東營市廣饒縣高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2021級(jí)高一下學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，進(jìn)而求出.【詳解】，故故選：B2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知命題，，那么命題p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】命題是特稱命題，其否定為全稱命題，需修改量詞，否定原命題的結(jié)論，即可得到命題的否定.【詳解】解：命題，的否定是：，.故選：C4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷a、b、c的大小.【詳解】由，所以.故選：A5.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6.高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達(dá)110個(gè)，為數(shù)學(xué)家中之最．對(duì)于高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，表示實(shí)數(shù)的非負(fù)純小數(shù)，即，如，．若函數(shù)（，且）有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有個(gè)交點(diǎn)的問題，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，求出的解析式，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合即可得參數(shù)的取值范圍．【詳解】函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有個(gè)交點(diǎn)．而，畫出函數(shù)的圖象，易知當(dāng)時(shí)，與圖象最多有1個(gè)交點(diǎn)，故，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合題意可得，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D．7.已知且，函數(shù)，滿足時(shí)，恒有成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知函數(shù)在區(qū)間R上為增函數(shù)，則f(x)在x＝1左右兩側(cè)均為增函數(shù)，且左側(cè)在x＝1出函數(shù)值小于或等于右側(cè)在x＝1出函數(shù)值.【詳解】由題可知函數(shù)在區(qū)間R上為增函數(shù)，則，解可得.故選：D.8.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則的對(duì)稱中心為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合為奇函數(shù)得，再解方程即可得答案.【詳解】解：由題設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為點(diǎn)，則，所以，即，因?yàn)?，所以，，所以恒成立，所以，解得，所以函?shù)的對(duì)稱中心為點(diǎn)故選：C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根式的運(yùn)算及根式與指數(shù)互化判斷A、B；應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷C、D.【詳解】A：，故錯(cuò)誤；B：，故正確；C：，故正確；D：，故錯(cuò)誤.故選：BC.10.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)互為互斥事件的是（）A.至少有一個(gè)白球和全是白球 B.至少有一個(gè)白球和全是紅球C.恰有一個(gè)白球和恰有2個(gè)白球 D.至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球【答案】BC【解析】【分析】需要區(qū)分互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別，再結(jié)合發(fā)生事件的特點(diǎn)逐一判斷即可．【詳解】互斥事件不一定是對(duì)立事件，可類比為集合中互無交集的幾個(gè)子集，而對(duì)立事件一定是互斥事件且滿足兩事件概率之和為1；對(duì)A：至少有一個(gè)白球包括：一個(gè)紅球一個(gè)白球和兩個(gè)白球兩種情況，全是白球指的是：兩個(gè)白球，顯然兩個(gè)事件不是互斥事件，不符合題意；對(duì)B：至少一個(gè)白球包括：一紅一白和兩個(gè)白球，顯然至少有1個(gè)白球和全是紅球是互斥事件和對(duì)立事件，符合題意；對(duì)C：恰有1個(gè)白球和恰有兩個(gè)白球顯然是互斥事件，但不是對(duì)立事件，事件還包括：恰有兩個(gè)紅球，符合題意；對(duì)D：至少一個(gè)白球包括：一紅一白和兩個(gè)白球，至少一個(gè)紅球包括：一紅一白和兩個(gè)紅球，兩事件不互斥，不符合題意；故選：BC11.下列說法中，正確的有（）A.若，則B.若，則C.若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為2D.若，，，則的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可以說明A正確；利用中間值驗(yàn)證B錯(cuò)誤；利用基本不等式加上恒成立可以說明C正確；巧用“”可以說明D正確.【詳解】，，左右兩邊同時(shí)乘以得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，，要使恒成立，則，故實(shí)數(shù)m的最大值為2，故C正確；，，，故的最小值為4，故D正確.故選：ACD12.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：圓O的圓心在原點(diǎn)，若函數(shù)的圖像將圓O的周長和面積同時(shí)等分成兩部分，則這個(gè)函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則（）A.對(duì)于圓O，其“太極函數(shù)”有1個(gè)B.函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”C.函數(shù)不是圓O的“太極函數(shù)”D.函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，只需判斷所給函數(shù)的奇偶性即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，圓O，其“太極函數(shù)”不止1個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為奇函數(shù)，故根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，也是奇函?shù)，故為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，故函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故正確.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)A，則A坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】令，函數(shù)值是一個(gè)定值，與參數(shù)a無關(guān)，即可得到定點(diǎn).【詳解】令，則，，所以函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)為.故答案為：14.求方程的解所在區(qū)間是________.【答案】【解析】【分析】令，利用零點(diǎn)存在定理即得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵,∴函數(shù)在存在零點(diǎn).故答案為：.15.某樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3．若該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為_______．【答案】2【解析】【分析】先由數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式求得，再根據(jù)方差的公式計(jì)算．【詳解】解：由題可知樣本的平均值為1，，解得，樣本的方差為．故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式、方差公式，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，，使在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造，研究其在上有兩個(gè)零點(diǎn)的情況下的取值范圍即可.【詳解】由題設(shè)，為增函數(shù)且定義域?yàn)?，要使在上的值域?yàn)?，∴，易知：，∴與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)根且恒成立即，∴對(duì)于，有，可得，故答案為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求集合B與；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交運(yùn)算求.（2）由題設(shè)可知，結(jié)合已知列不等式求參數(shù)a的范圍.【小問1詳解】由，則或，得．當(dāng)時(shí)，集合，所以；【小問2詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則，又，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1），奇函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得定義域；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；（2）將化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到，解不等式結(jié)合函數(shù)的定義域可得答案.【小問1詳解】由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又,所以函數(shù)奇函數(shù)；【小問2詳解】因?yàn)?，所以不等式可化為，因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集為．19.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）已知在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）求在上的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分、和，三種情況討論，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不等式，即，解得或，即不等式的解集為.【小問2詳解】解：由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為，要使得在上單調(diào)遞增，則滿足，所以的取值范圍為.【小問3詳解】解：由函數(shù)，可得圖象開口向上，且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，在上遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以最小值為，綜上可得，在上的最小值為.20.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A、B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76

78

86

95

66

97

78

88

82

76

89

B地區(qū)：

73

83

62

51

91

46

53

73

64

82

93

48

95

81

74

56

54

76

65

79

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度的平均值及分散程度（不要求算出具體值，給出結(jié)論即可）：（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分

低于70分

70分到89分

不低于90分

滿意度等級(jí)

不滿意

滿意

非常滿意

記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）0.44【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)和莖葉圖的定義，可做出莖葉圖，通過圖中的數(shù)據(jù)的分散程度，可得結(jié)論；（Ⅱ）事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”，分為兩種情況：第一種情況是：“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”，同時(shí)“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”；第二種情況是“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為非常滿意”，同時(shí)“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”，分別求出其概率，再運(yùn)用概率的加法公式可得值；【詳解】（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散．（Ⅱ）記表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”；表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)非常滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”．則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，．．由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為，，，．故，，，故．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖和特征數(shù)，求互斥事件和獨(dú)立事件的概率，關(guān)鍵在于將事件分成相互獨(dú)立互斥事件，分別求其概率，再運(yùn)用概率的加法公式，屬于中檔題．21.已知函數(shù)（a＞0且）是偶函數(shù)，函數(shù)（a＞0且）．（1）求b的值；（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a＝2時(shí)，若，使得恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，由f（－x）＝－f（x），即對(duì)恒成立求解；（2）由有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有解，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝p（x）圖象與直線y＝a有交點(diǎn)求解；（3）根據(jù)，使得成立，由求解.【小問1詳解】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以，都有f（－x）＝－f（x），即對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，所以．【小問2詳解】因?yàn)橛辛泓c(diǎn)即有解，即有解．令，則函數(shù)y＝p（x）圖象與直線y＝a有交點(diǎn)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，無解；當(dāng)a＞1時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋捎薪?，可得a＞0，此時(shí)a＞1，綜上可知，a的取值范圍是；【小問3詳解】，當(dāng)時(shí)，，由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，因?yàn)?，使得成立，所有，即?duì)任意的恒成立，設(shè)，所以當(dāng)t＞1時(shí)，恒成立，即，對(duì)t＞1恒成立，設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以m≥0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．22.“春節(jié)”期間，某商場進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動(dòng)：優(yōu)惠方案1：一次購買商品的價(jià)格，每滿60元立減5元；優(yōu)惠方案2：在優(yōu)惠1之后，再每滿400元立