第二章-簡單線性回歸

何謂簡潔線性回來模型只有兩個變量的線性回來模型，稱為簡潔線性回來模型，也叫做雙變量模型，或者一元線性回來模型。模型形式為：第一節(jié)回來分析和回來方程本節(jié)主要介紹：1.1經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系。1.2相關(guān)關(guān)系：分類、度量。1.3回來分析：概念、回來線、回來函數(shù)1.4總體回來函數(shù)1.5隨機(jī)擾動項1.6樣本回來函數(shù)1.1經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系確定的函數(shù)關(guān)系：y＝f（x）不確定性的統(tǒng)計關(guān)系——相關(guān)關(guān)系y＝f（x）＋u（u為隨機(jī)變量）沒有關(guān)系變量間的函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系在確定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。1.2相關(guān)關(guān)系1.2.1分類：只有兩個變量：簡潔相關(guān)；三個及三個以上：多重相關(guān)（復(fù)相關(guān)）；線性相關(guān)、非線性相關(guān)；正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、不相關(guān)正相關(guān)（我國人均消費(fèi)函數(shù)）Y為我國人均消費(fèi)X為我國人均國民收入相關(guān)系數(shù)：0.982004006008001000120005001000150020002500YX負(fù)相關(guān)Y與X的相關(guān)系數(shù)：

-0.9220304050607080010203040YX不相關(guān)（不解除存在曲線相關(guān)）相關(guān)系數(shù)為：4.24E-18-60-40-200204060-60-40-200204060YX1.2.2線性相關(guān)程度的度量

——線性相關(guān)系數(shù)總體相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)：運(yùn)用相關(guān)系數(shù)要留意：簡潔線性相關(guān)包含了其他變量的影響。X,Y都是隨機(jī)變量，相關(guān)系數(shù)只說明其線性相關(guān)程度，不說明其非線性關(guān)系，也不反映他們之間的因果關(guān)系；樣本相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的樣本估計量；相關(guān)系數(shù)具有對稱性，即；相關(guān)系數(shù)取值區(qū)間[-1，1]。1.3回來分析和相關(guān)分析1.3.1回來分析是對一個應(yīng)變量對若干說明變量依存關(guān)系的探討；其目的是：由固定的說明變量去估計和預(yù)料應(yīng)變量的平均值等。1.3.2回來函數(shù)、回來線應(yīng)變量Y的條件期望隨著說明變量X的變更而有規(guī)律地變更。把這種變更關(guān)系用函數(shù)表示出來，就是回來函數(shù)：回來函數(shù)在坐標(biāo)系中用圖形表示出來就是回來線。它表示了應(yīng)變量和說明變量之間的平均關(guān)系。回來線圖示YX概率密度函數(shù)f(Yi)PRFx1xiXk留意：一般地，在重復(fù)抽樣中說明變量被假定為固定的。所以回來分析中，說明變量一般當(dāng)作非隨機(jī)變量處理。由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回來分析關(guān)切的是依據(jù)說明變量的已知或給定值，考察被說明變量的總體均值，即當(dāng)說明變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關(guān)的被說明變量全部可能出現(xiàn)的對應(yīng)值的平均值。例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要探討該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即假如知道了家庭的月收入，能否預(yù)料該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。1.4總體回來函數(shù)

為達(dá)到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出。（1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；（2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)該例中：E(Y|X=800)=561分析：描出散點(diǎn)圖發(fā)覺：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回來線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費(fèi)支出Y（元）

概念：在給定說明變量Xi條件下被說明變量Yi的期望軌跡稱為總體回來線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回來曲線（populationregressioncurve）。稱為（雙變量）總體回來函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。相應(yīng)的函數(shù)：回來函數(shù)（PRF）說明被說明變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨說明變量X變更的規(guī)律。含義：

函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。例2.1中，將居民消費(fèi)支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時:

為一線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回來系數(shù)（regressioncoefficients）。。1.4.2總體回來函數(shù)的表現(xiàn)形式條件均值形式，如隨機(jī)設(shè)定形式。對于確定的，Y的各個個別值分布在的四周，其差令為，則：對上例，有也即：1.5隨機(jī)擾動項1、引入隨機(jī)擾動項的目的2、隨機(jī)擾動項代表模型中省略了的全部次要因素的綜合作用3、依據(jù)中心極限定理隨機(jī)擾動項聽從正態(tài)分布4、通常模型由隨機(jī)方程組成5、隨機(jī)擾動項產(chǎn)生的緣由為什么要引入隨機(jī)擾動項模型中引入反映不確定因素影響的隨機(jī)擾動項μ的目的在于使模型更符合客觀經(jīng)濟(jì)活動實際。干擾項是從模型中省略下來而又集體地影響著Y地全部變量地替代物簡潔線性需求函數(shù)——不行能應(yīng)有盡有地引入全部影響變量我們以最簡潔的線性需求函數(shù)為例進(jìn)行分析。Qd=b0+b1X1理論分析和實踐閱歷表明，某種商品需求量不僅趨近于價格，而且趨近于替代商品的價格X2，消費(fèi)者收入X3和消費(fèi)者偏好X4等等。將全部對需求量有影響的個變量引入方程：Qd=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4++bkXk即使如此也還可能有其他次要因素影響需求量，譬如社會風(fēng)尚，心理變更甚至天氣等等。總之，不行能巨細(xì)無遺地全部都引入。次要因素的綜合效應(yīng)是不能忽視的未引入的這些隨機(jī)變量有的可以度量，有些不行以度量，在實際觀測中，有時發(fā)生影響有時又不發(fā)生影響，記為隨機(jī)變量Zi（i=1,2,…,m）。從個別意義上，這些次要因素可能是不重要的，但全部這些的綜合效應(yīng)是不能忽視的。否則，模型將與實際不符。于是將它們也引入模型。必需另外找尋解決問題的思路全部變量引入明顯是不必要的。計量經(jīng)濟(jì)學(xué)將這些或者次要，或者偶然的，或者不行測度的變量用一個隨機(jī)擾動項μ來概括，需求函數(shù)：這是一個隨機(jī)方程。μ是隨機(jī)變量Zj的線性組合，也是一個隨機(jī)變量。它代表全部未列入模型的那些次要因素的綜合影響。由中心極限定理μ聽從正態(tài)分布進(jìn)一步分析μ相當(dāng)于諸隨機(jī)變量Zj的均值因此，由中心極限定理，無論Zj原來的分布形式如何，只要它們相互獨(dú)立，m足夠大，就會有μ趨于正態(tài)分布。而且正態(tài)分布簡潔易用，且數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中探討的成果很多，可以借鑒。隨機(jī)擾動項產(chǎn)生的緣由（1）人類行為和客觀現(xiàn)象的隨機(jī)性。引入μ的根本緣由，乃是經(jīng)濟(jì)活動是人類參與的，而人類行為的內(nèi)在隨機(jī)性確定了不行能像科學(xué)試驗?zāi)菢泳_。此外還有社會環(huán)境和自然環(huán)境的隨機(jī)性。（2）模型省略了變量。被省略的變量包含在隨機(jī)擾動項μ中。核心變量與周邊變量（3）測量與歸并誤差。測量誤差致使視察值不等于實際值，匯總也存在誤差。（4）數(shù)學(xué)模型形式設(shè)定造成的誤差。比如由于相識不足或者簡化，將非線性設(shè)定成線性模型。（5）數(shù)據(jù)的欠缺（6）糟糕的替代變量（7）理論的模糊性隨機(jī)擾動項產(chǎn)生的緣由1.6樣本回來函數(shù)（SRF）問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？假如可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？問：能否從該樣本估計總體回來函數(shù)PRF？回答：能例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，總體的信息往往無法駕馭，現(xiàn)實的狀況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。核樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回來線。該線稱為樣本回來線（sampleregressionlines）。記樣本回來線的函數(shù)形式為：稱為樣本回來函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）。這里將樣本回來線看成總體回來線的近似替代則留意：樣本回來函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回來模型：同樣地，樣本回來函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式：由于方程中引入了隨機(jī)項，成為計量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回來模型（sampleregressionmodel）。▼回來分析的主要目的：依據(jù)樣本回來函數(shù)SRF，估計總體回來函數(shù)PRF。留意：這里PRF可能恒久無法知道。即，依據(jù)估計1.6.2對樣本回來函數(shù)的說明每次抽樣都能夠獲得一個樣本，就可以擬合一條樣本回來線，所以樣本回來線隨抽樣波動而變更，可以有多條。樣本回來線不是總體回來線，只是未知總體回來線的近似。SRF1SRF2XY1.6.3殘差定義：那么有：對上例，有：回來分析的思路樣本樣本回來函數(shù)的參數(shù)

確定方法得出總體回來函數(shù)的參數(shù)近似看成是SRF1：PRF2：（視察參數(shù)的對應(yīng)估計關(guān)系）其次節(jié)簡潔線性回來模型的最小二乘估計（OLS）本節(jié)主要介紹：2.1簡潔線性回來模型的基本假定2.2一般最小二乘法（OLS）2.3OLS回來線的性質(zhì)2.4最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)

2.1簡潔線性回來的基本假定2.1.1為什么要做基本假定參數(shù)估計量是隨機(jī)變量，只有在確定的假設(shè)條件下，所作出的估計才具較好的統(tǒng)計性質(zhì)。只有對隨機(jī)擾動項的分布作出假定，才能確定所估計參數(shù)的分布的性質(zhì)，也才可能進(jìn)行假設(shè)檢驗和區(qū)間估計。2.1.2假定的兩個方面：

（1）關(guān)于變量和模型的基本假定是非隨機(jī)的，或者雖然是隨機(jī)的，但是與是不相關(guān)的；無測量誤差；變量和函數(shù)形式設(shè)定正確。假定的兩個方面：

（2）關(guān)于隨機(jī)擾動項也稱高斯假定、古典假定假定1零均值：假定2同方差：假定3無自相關(guān)：假定4隨機(jī)擾動項與不相關(guān)。即：假定5聽從正態(tài)分布，即：留意：正態(tài)性假定（5）不影響對參數(shù)的點(diǎn)估計，所以可不列入基本假定，且依據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本容量無窮大時，的分布趨近于正態(tài)分布。但此假定對確定所估計參數(shù)的分布性質(zhì)是須要的，2.1.3Y的分布性質(zhì)由于，所以的分布性質(zhì)就確定了的分布性質(zhì)。對的一些假定可以等價地表示為對的假定：零均值：同方差：無自相關(guān)：正態(tài)性：2.2一般最小二乘法（OLS）基本思想數(shù)學(xué)過程估計結(jié)果2.2.1最小二乘法的基本思想縱向距離是Y的實際值與擬合值之差，稱為擬合誤差或殘差。差異大擬合不好，差異小擬合好。殘差可正可負(fù)，為克服加總時正負(fù)相消，將其平方后相加，得殘差平方和，“最好”直線就是使誤差平方和最小的直線。于是求最好擬合直線問題轉(zhuǎn)換為求殘差平方和最小，可以運(yùn)用求極值的原理求解。三種距離YX縱向距離橫向距離距離A為實際點(diǎn)，B為擬合直線上與之對應(yīng)的點(diǎn)SRF返回YX0******△**△****Y7Y9Min數(shù)學(xué)形式2.2.2最小二乘法的數(shù)學(xué)過程詳見課本2.2.3OLS估計結(jié)果的離差形式離差形式：OLS估計結(jié)果的離差形式：（樣本回來函數(shù)的離差形式：）2.2.4幾個有用的結(jié)果可以用到以后計算、證明過程中：2.3OLS回來線的性質(zhì)1.回來線過樣本均值點(diǎn)2．殘差和為零3．Y的真實值和擬合值有共同均值4．殘差與自變量不相關(guān)5．殘差與擬合值不相關(guān)

2.3.1回來線過樣本均值由，知：即樣本均值點(diǎn)滿足回來線方程SRFYX2.3.2殘差和為零由OLS數(shù)學(xué)過程干脆可得。且易推出殘差的平均數(shù)也等于零。2.3.3Y的真實值和擬合值有共同的均值性質(zhì)4、52.3.4殘差與自變量不相關(guān)（Residualsareunrelatedwithindependentvariable）2.3.5估計殘差與擬合值不相關(guān)（Residualsareunrelatedwithfittedvalueof）

樣本回來直線性質(zhì)總結(jié)殘差和=0均值相等擬合值與殘差不相關(guān)自變量與殘差不相關(guān)過樣本均值2.4最小二乘估計量的性質(zhì)當(dāng)模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性：（1）線性性，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；（3）有效性，即它是否在全部線性無偏估計量中具有最小方差。（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一樣性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在全部的一樣估計量中具有最小的漸近方差。

這三個準(zhǔn)則也稱作估計量的小樣本性質(zhì)。擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。

當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時，需進(jìn)一步考察估計量的大樣本或漸近性質(zhì)：2.4.1線性：最小二乘估計量是關(guān)于Yi的線性函數(shù)留意同2.2.42.4.2無偏性由2.2.4，知：2.4.3有效性證明太繁雜，略。以下只給出其方差：2.4.4參數(shù)的分布、殘差方差的估計由上，知：擾動項的方差通過樣本估計為：其中，n為樣本容量。OLS參數(shù)估計量的有效性指的是：在一切線性、無偏估計量中，OLS參數(shù)估計量的方差最小。所有參數(shù)估計量線性參數(shù)估計量無偏參數(shù)估計量最小二乘參數(shù)估計量3、最大似然法最大似然法(MaximumLikelihood,ML)，也稱最大或然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理動身發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)。基本原理：當(dāng)從模型總體隨機(jī)抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)當(dāng)使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。ML必需已知隨機(jī)項的分布。3.1、估計步驟Yi的分布Yi的概率函數(shù)

Y的全部樣本觀測值的聯(lián)合概率—似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)

對數(shù)似然函數(shù)極大化的一階條件結(jié)構(gòu)參數(shù)的ML估計量3.2、探討在滿足一系列基本假設(shè)的狀況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大似然估計量與一般最小二乘估計量是相同的。但是，分布參數(shù)的估計結(jié)果不同。第四節(jié)回來系數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗本節(jié)主要介紹：簡潔線性回來系數(shù)的分布及其標(biāo)準(zhǔn)化?；貋硐禂?shù)的區(qū)間估計回來系數(shù)的假設(shè)檢驗擾動項方差的區(qū)間估計。4.1回來系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化4.2回來系數(shù)的區(qū)間估計區(qū)間估計區(qū)間估計的概念、步驟應(yīng)用：

1、已知擾動項方差，對進(jìn)行區(qū)間估計

2、擾動項方差未知，對進(jìn)行區(qū)間估計大樣本下/小樣本下4.2.1區(qū)間估計的概念所謂區(qū)間估計就是以確定的牢靠性給出被估計參數(shù)的一個可能的取值范圍。具體作法是找出兩個統(tǒng)計量1(x1,…,xn)與2(x1,…,xn)，使P(1<<2)=1-(1,2)稱為置信區(qū)間，1-稱為置信系數(shù)（置信度），稱為冒險率（測不準(zhǔn)的概率）或者顯著水平，一般取5%或1%。對區(qū)間估計的形象比方我們常常說某甲的成果“或許80分左右”，可以看成一個區(qū)間估計。（某甲的成果為被估計的參數(shù)）P(1<<2)=或許的精確程度（1-）

如：P(75<<85)=95%=1-5%“大概80分左右”冒險率（也叫顯著水平）下限上限置信系數(shù)1－4.2.2區(qū)間估計的步驟：1)找一個含有該參數(shù)的統(tǒng)計量;要求該統(tǒng)計量：分布已知含待估參數(shù)除了待估參數(shù)外，其余為已知量。2)構(gòu)造一個概率為的事務(wù);3)通過該事務(wù)解出該參數(shù)的區(qū)間估計.4.2.3已知擾動項方差，對

的區(qū)間估計4.2.4未知擾動項方差，對的

區(qū)間估計（1）大樣本下

可以用代替，有所以仍按已知方差作區(qū)間估計，只不過把區(qū)間估計中的隨機(jī)擾動的方差換成其估計值。（2）小樣本下區(qū)間估計，統(tǒng)計量選擇小結(jié)4.2.5擾動項方差的區(qū)間估計對擾動項的區(qū)間估計運(yùn)用的統(tǒng)計量為：其余步驟相同4.3回來系數(shù)的假設(shè)檢驗基本概念：假設(shè)檢驗，原假設(shè)/備擇假設(shè)置信水平假設(shè)檢驗的步驟應(yīng)用：的假設(shè)檢驗（方差已知/方差未知）方差的假設(shè)檢驗4.3.1假設(shè)檢驗的概念定義：稱對任何一個隨機(jī)變量未知的分布類型或參數(shù)的假設(shè)為統(tǒng)計假設(shè)，簡稱假設(shè)。檢驗該假設(shè)是否正確稱為假設(shè)檢驗。在統(tǒng)計假設(shè)，如H0:p=0.5（稱為原假設(shè)）H1:p0.5（稱為備擇假設(shè)）是假設(shè)檢驗中小概率事務(wù)發(fā)生的概率，也稱為置信水平。

4.3.2假設(shè)檢驗的步驟：Step1:分析問題，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；Step2:選擇和計算統(tǒng)計量U：在原假設(shè)成立時，U的分布已知；含有要檢驗的參數(shù)；各個參數(shù)應(yīng)當(dāng)都是已知的、可求的。Step3：構(gòu)造小概率事務(wù)：Step4：推斷小概率事務(wù)是否發(fā)生：Step5：下結(jié)論：若小概率事務(wù)發(fā)生，拒絕原假設(shè)H0；選擇備擇假設(shè)H1。否則，原假設(shè)成立。假設(shè)檢驗的具體操作步驟

（已知方差，檢驗為例）1、提出零假設(shè)H0：H1：3、確定顯著水平，如=0.05，查表得相應(yīng)的臨界值/24、推斷和下結(jié)論：若|U|/2，拒絕H0；若|U|</2,接受H0；（推斷區(qū)域圖示）5、依據(jù)結(jié)論，作出經(jīng)濟(jì)學(xué)上的說明。4.3.3假設(shè)檢驗中統(tǒng)計量的選擇4.3.4回來系數(shù)假設(shè)檢驗及意義回來系數(shù)的假設(shè)檢驗，往往是檢驗

檢驗的意義：檢驗該系數(shù)是否顯著，進(jìn)而檢驗對應(yīng)的說明變量是否對應(yīng)變量有說明作用。第五節(jié)擬合優(yōu)度的度量本節(jié)主要內(nèi)容：4.1總變差（總平方和）的分解4.2可決系數(shù)4.3可決系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的關(guān)系4.4自由度的分解問題的提出由最小二乘法所得直線的確能夠?qū)@些點(diǎn)之間的關(guān)系加以反映嗎？對這些點(diǎn)之間的關(guān)系或趨勢反映到了何種程度？于是必需經(jīng)過某種檢驗或者找出一個指標(biāo)，在確定牢靠程度下，依據(jù)指標(biāo)值的大小，對擬合的優(yōu)度進(jìn)行評價。5.1總離差1、總平方和、回來平方和、殘差平方和2、總平方和的分解5.1.1總平方和（總變差）、回來平方和、殘差平方和的定義TSS度量Y自身的差異程度；ESS度量因變量Y的擬合值自身的差異程度，是總變差中由模型說明白的變差；RSS度量實際值與擬合值之間的差異程度，是總變差中沒有得到說明的變差。5.1.2平方和分解：TSS＝ESS＋RSS正交分解平方和分解的意義TSS=ESS+RSS被說明變量Y總的變動（差異）=說明變量X引起的變動（差異）+除X以外的因素引起的變動（差異）假如X引起的變動在Y的總變動中占很大比例，那么X可以很好地說明白Y；否則，X不能很好地說明Y。5.2可決系數(shù)（或稱判定系數(shù)）目的：企圖構(gòu)造一個不含單位，可以相互進(jìn)行比較，而且能直觀推斷擬合優(yōu)劣的指標(biāo)。可決系數(shù)的定義：指標(biāo)含義：可決系數(shù)越大，自變量對因變量的說明程度越高，自變量引起的變動占總變動的百分比高。視察點(diǎn)在回來直線旁邊越密集?？蓻Q系數(shù)（續(xù)）可決系數(shù)只是說明列入模型的全部說明變量對應(yīng)變量的聯(lián)合的影響程度，不說明模型中單個說明變量的影響程度。可決系數(shù)取值范圍：[0,1]對時間序列數(shù)據(jù)，可決系數(shù)達(dá)到0.9以上是很平常的；但是，對截面數(shù)據(jù)而言，能夠有0.5就不錯了?？蓻Q系數(shù)達(dá)到多少為宜？沒有一個統(tǒng)一的明確界限值；若建模的目的是預(yù)料應(yīng)變量值，一般需考慮有較高的可決系數(shù)。若建模的目的是結(jié)構(gòu)分析，就不能只追求高的可決系數(shù)，而是要得到總體回來系數(shù)的可信任的估計量。可決系數(shù)高并不確定每個回來系數(shù)都可信任；5.3可決系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的聯(lián)系數(shù)值上，可決系數(shù)等于應(yīng)變量與說明變量之間簡潔相關(guān)系數(shù)的平方:可決系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的區(qū)分5.4自由度的分解（1）什么是自由度（2）對應(yīng)于平方和分解的自由度的分解自由度是指變量可以自由取值得個數(shù)，例如我們要測量學(xué)生的身高X，隨機(jī)抽取10名學(xué)生，假如沒有任何限制，則X可以自由取值10個值，自由度為10；但是假如我們限定10各同學(xué)的平均身高，那么隨機(jī)抽取9名后，最終一名的身高則不能隨意取值了，此時自由度削減一個，為10-1=9。這也是為什么我們在統(tǒng)計學(xué)里說修正的樣本方差（除以n-1）為總體方差的無偏估計量。4.4.1什么是自由度模型中樣本值可以自由變動的個數(shù)，稱為自由度自由度=樣本個數(shù)—樣本數(shù)據(jù)受約束條件（方程）的個數(shù)例如，樣本數(shù)據(jù)個數(shù)為n，它們受k個方程的約束（系數(shù)矩陣秩為k），那么，自由度df=n-k在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對于一個包含k個說明變量的回來方程而言，待估計的參數(shù)個數(shù)為k+1（包括常數(shù)項），在我們依據(jù)最小殘差平方和求偏導(dǎo)的過程中，會得到（k+1）個方程構(gòu)成的方程組，這k+1個方程事實上構(gòu)成了對殘差的k+1個限制條件，所以凡是涉及到殘差構(gòu)成的統(tǒng)計量，自由度就會削減k+1個，例如顯著性檢驗中的t檢驗和f檢驗的自由度等。例:TSS、RSS、ESS的自由度4.4.2對應(yīng)于平方和分解的自由度的分解TSS=ESS+RSSn-11n-