態(tài)和力學(xué)量的表象

態(tài)和力學(xué)量的表象第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日在前三章中,描述體系狀態(tài)的波函數(shù)都是用坐標(biāo)(x,y,z)表示的,力學(xué)量算符也是在坐標(biāo)空間中的形式。實(shí)際上,描述體系狀態(tài)的波函數(shù)也可以用其它變量(如:動(dòng)量px,py,pz等)來表示,相應(yīng)地,力學(xué)量算符也表示為作用在這種波函數(shù)的算符。第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象，前三章所采用的表象是坐標(biāo)表象，下面將引入并討論其它表象。第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.表象的“基矢”

——基本力學(xué)量算符的本征函數(shù)系

§4.1表象的“基矢”和波函數(shù)的矩陣表示

第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日算符在自身表象（坐標(biāo)表象）中具有本征值x’的本征函數(shù)是以x為變量的δ函數(shù)。①坐標(biāo)算符

一維

三維

即坐標(biāo)算符在坐標(biāo)表象中的對(duì)應(yīng)于確定值的本征函數(shù)，是以坐標(biāo)為變量的δ函數(shù)

第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日②動(dòng)量和能量算符

一維

三維

動(dòng)能算符

與對(duì)易，故亦是動(dòng)能算符的本征函數(shù)，本征值為第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日③角動(dòng)量算符

第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日④能量算符

能量算符的本征函數(shù)的得出依賴于勢的具體表達(dá)形式

第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日一維無限深勢阱

一維諧振子

三維氫原子

第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.態(tài)在表象中的矩陣表示①坐標(biāo)表象任意波函數(shù)可按按坐標(biāo)的本征函數(shù)展開成立的條件所以

第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日是展開系數(shù)：以r’作連續(xù)變化的矩陣元?jiǎng)t：即在坐標(biāo)表象中的矩陣表示

第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日②動(dòng)量表象

完備系（各基矢）：動(dòng)量的本征函數(shù)則波函數(shù)可展開為展開系數(shù)為

——同一狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù)第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日特別：如果所描寫的狀態(tài)是具有動(dòng)量p’的自由粒子的狀態(tài)，即則——在動(dòng)量表象中，粒子具有確定動(dòng)量p’的波函數(shù)是以動(dòng)量p為變量的函數(shù)，即第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日③任一力學(xué)量Q的表象設(shè)Q具有分立的本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是按Q的本征函數(shù)展開設(shè)和都是歸一化的

第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日任意表象Q表象中的矩陣表示

Hermite矩陣歸一化條件第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日若力學(xué)量Q同時(shí)具有分立和連續(xù)本征值，則對(duì)應(yīng)的歸一化本征函數(shù)是則第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日*矩陣表示*Hermite矩陣*歸一化條件*由無限多個(gè)本征函數(shù)構(gòu)成了無限維函數(shù)空間

——Hilbert空間第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日

比較三維空間的矢量表示

②任一矢量可按基矢展開矢量表示為列矩陣或行矩陣

①取一個(gè)坐標(biāo)系，相當(dāng)取三個(gè)基矢：三個(gè)基矢正交歸一第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日例4.1

粒子處于一維無限深勢阱的基態(tài)

求在動(dòng)量和能量表象中的表示形式。第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日解：1.動(dòng)量表象：本征函數(shù)展開系數(shù)

第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.能量表象：本征函數(shù)

展開系數(shù)：即在自身表象中取形式

矩陣形式第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日例4.2在寬度為的一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的狀態(tài)由波函數(shù)

描寫，A為歸一化常數(shù)，求這個(gè)態(tài)在能量表象中的表示。解：歸一化有展開系數(shù)可求得為：第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日所以，這個(gè)態(tài)在一維無限深勢阱能量表象中

的表示為：第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日習(xí)題4.1求一維無限深勢阱中處于狀態(tài)的粒子的動(dòng)量分布概率。提示：無限深勢阱積分方法1：利用公式第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日有第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日積分方法2：積分方法3：用復(fù)數(shù)積分法第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日§4.2力學(xué)量算符和量子力學(xué)公式的矩陣表示1.力學(xué)量算符的矩陣表示設(shè)力學(xué)量算符作用于函數(shù)另一函數(shù)后得出,在坐標(biāo)表象中記為在Q表象中(為討論方便，設(shè)Q具有分立的本征值),第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日代入有其中為算符在Q表象中的表示(矩陣元)。第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日可用矩陣形式寫出為：簡記為第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日算符的矩陣表示有如下性質(zhì):①Hermite算符的矩陣表示是Hermite矩陣

②算符在其自身表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日習(xí)題4.2

求一維無限深勢阱中坐標(biāo)算符x和動(dòng)量算符在能量表象中的矩陣元。第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題4.3求一維坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符和任意算符在坐標(biāo)表象中的矩陣元。解：坐標(biāo)表象，本征矢為第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日習(xí)題4.3求線性諧振子Hamilton量在動(dòng)量表象中的矩陣元。第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.平均值公式的矩陣表示第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.Schr?dinger方程的矩陣表示將代入Schr?dinger方程:并以左乘等式兩邊,再對(duì)整個(gè)空間積分，得式中第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日4.本征值方程的矩陣表示或第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日此式為線性齊次方程組：其有非零解的條件是系數(shù)行列式等于0，即久期方程(4.20)第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日上式是關(guān)于的一元N次方程，可從此式解出N個(gè)λ，

將每個(gè)λ值分別代入(4.20)，求出即得本征函數(shù)i=1,2,3……

第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題4.5粒子在力學(xué)量Q的三個(gè)本征矢和張成的三維空間中運(yùn)動(dòng)，其能量算符形式為求的本征值和相應(yīng)的本征矢。解：設(shè)本征矢為矩陣形式的定態(tài)Schrodinger方程為、第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日久期方程為解得①由可解得②由可解得③由可解得第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日習(xí)題4.4設(shè)在H0表象中的矩陣表示為，其中，a和b為實(shí)數(shù)。求能量的本征值。第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日§4.3Dirac符號(hào)量子力學(xué)的規(guī)律可以在不同的表象中表述，但量子力學(xué)的規(guī)律和所選用的表象無關(guān).

量子力學(xué)中描寫態(tài)和力學(xué)量也可以不用具體表象，這種描寫方式由Dirac最先引入一組符號(hào)實(shí)現(xiàn)，稱之為Dirac符號(hào)。

Dirac符號(hào)體系的特點(diǎn)：1.與表象無關(guān)；2.運(yùn)算簡便。第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.Dirac符號(hào)微觀體系的狀態(tài)用一種矢量來表示，符號(hào)是︱〉,稱為右矢;表示某一確定的右矢A,用符號(hào)|A〉表示。微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種矢量來表示，符號(hào)是〈︱，,稱為左矢;表示某一確定的左矢B,用符號(hào)〈B︱表示。

右矢和左矢是兩種性質(zhì)不同的矢量，兩者不能相加。它們?cè)谕槐硐笾械南鄳?yīng)分量互為共軛復(fù)數(shù)。第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日如果右矢|A〉在Q表象中的分量為{a1,a2,...},可記為：則相應(yīng)的左矢〈A︱在Q表象中的分量為

，可記為：第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日右矢|B〉在Q表象中的分量為{b1,b2,...},可記為相應(yīng)的左矢〈B︱在Q表象中的分量為，可記為：第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日則歸一化條件可寫為：|A〉和〈B︱的標(biāo)積可寫為：顯然有：第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)有一組本征態(tài),對(duì)應(yīng)的本征值有分立部分Fi和連續(xù)部分,則的本征態(tài)的右矢和左矢寫為、，

和，相應(yīng)的正交歸一條件為如：坐標(biāo)x的本征矢量的正交歸一條件是：第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日動(dòng)量p的本征矢量的正交歸一條件是：事實(shí)上任何一個(gè)力學(xué)量的全部本征函數(shù)的右矢(或左矢)組成完全系,任何一個(gè)右矢(或左矢)可以用這組完全系來展開,稱這組完全系的右矢(或左矢)為F表象中的基右矢(或基左矢)。第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.從Dirac狄拉克符號(hào)進(jìn)入表象

進(jìn)入x表象:設(shè)

為表示某一狀態(tài)的右矢,這一狀態(tài)在x表象中用波函數(shù)描寫，就是在x表象中的分量，由于基矢組成完全系，所以可以按展開：以左乘上式兩邊，有（4.22）第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日對(duì)于任意的

（4.23）

由（4.21）及4.22)都有坐標(biāo)本征矢的封閉性第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日進(jìn)入Q表象：設(shè)的本征值Qn(n=1,2,...)組成分立譜，對(duì)應(yīng)的本征右矢是，則式中分別是和在Q表象中的分量，由上兩式有本征矢的封閉性第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日如果既有分立譜又有連續(xù)譜，則有第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日算符的Dirac符號(hào)表示：設(shè)算符作用在右矢上得到右矢式中是算符在Q表象中的矩陣元。此式即為的矩陣元的Dirac符號(hào)寫法。第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日特別地，平均值公式用Dirac符號(hào)可表為又當(dāng)是厄密算符時(shí)第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日§4.4線性諧振子與占有數(shù)表象

引入新的算符:由可以得出的對(duì)易關(guān)系為:（4.26）第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日將作用于諧振子哈密頓算符的第n個(gè)本征態(tài)，并用公式，得：而所以同樣可求得第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日若用Dirac符號(hào)，上兩式可寫為：由可知諧振子的能量以為單位改變，可將這個(gè)能量單位粒子?？醋饕粋€(gè)第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日據(jù)此，可以認(rèn)為：①本征態(tài)表示體系在這個(gè)態(tài)中有n個(gè)粒子；②表示對(duì)作用使其粒子數(shù)減少一個(gè)，態(tài)變?yōu)?，故稱為粒子的湮滅算符；③表示對(duì)作用使其粒子數(shù)增加一個(gè)，態(tài)變?yōu)椋史Q為粒子的產(chǎn)生算符。第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日又取n＝0，有：由式（4.26）可解得：第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日其中稱為粒子數(shù)算符，這是因?yàn)橐詾榛傅谋硐蠓Q為占有數(shù)表象。在這表象中表示算符的矩陣元可求得為而第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日習(xí)題4.5一維諧振子在t＝0時(shí)處于歸一化波函數(shù)所描述的態(tài)中，式中分別為n=0,2,4時(shí)一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求：①待定系數(shù)C；②t＝0時(shí)，體系能量的可能取值及相應(yīng)的概率；③t>0時(shí)，體系的狀態(tài)波函數(shù)。④t＝0與t>0時(shí)體系的。第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日習(xí)題4.6一維諧振子的哈密頓算符為若算符，滿足,引入無量綱算符，求：（1）

（2）將；用表示，并求出全部能級(jí)。第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日§4.5幺正變換在量子力學(xué)中,表象的適當(dāng)選取可以使問題的討論大大簡化。就象不同力學(xué)問題選取不同坐標(biāo)系可使討論簡化一樣。在具體討論問題時(shí)，常常需要從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象。

第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.基矢的表象變換設(shè)算符

的正交歸一本征函數(shù)系為

{|ak>,k=1,2,…}

算符

的正交歸一本征函數(shù)系為

{|bk>,k=1,2,…}

考察兩表象基矢之間的變換關(guān)系：設(shè)

，則變換算符U的形式為：

第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日同樣有

即

為幺正算符。

第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日變換算符

在A表象中的矩陣表示為：

即：

稱為由A表象到B表象的變換矩陣，有特點(diǎn)：

①矩陣元為A表象的基矢（左矢）與B表象的基矢（右矢）的內(nèi)積；第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日②第k列元素是B表象中的第k個(gè)基矢分別在A表象的各個(gè)基矢上的投影，或者說第k列元素是B表象中的第k個(gè)基矢分別在A表象中的矩陣表示。且有滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣，由幺正矩陣所表示的變換成為幺正變換。結(jié)論：

量子力學(xué)中，由一個(gè)表象到另一個(gè)表象的變換是幺正變換。第六十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．態(tài)矢量的表象變換

現(xiàn)將任意態(tài)矢分別在A、B表象中展開：其矩陣