（浙江專用）2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1第7講函數(shù)的圖象學(xué)案

PAGE1-第7講函數(shù)的圖象最新考綱1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；2.會(huì)運(yùn)用根本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，并運(yùn)用函數(shù)的圖象解簡(jiǎn)單的方程(不等式)問題.知識(shí)梳理1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up10(縱坐標(biāo)不變),\s\do12(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬f(1,a)〔a>0〕倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁(A>0)倍))y＝Af(x).(4)翻轉(zhuǎn)變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方局部翻折到上方),\s\do5(x軸及上方局部不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)局部翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)局部去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.診斷自測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到.()(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.()(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝f(|x|)的圖象與y＝|f(x)|的圖象相同.()(4)假設(shè)函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，那么函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.()解析(1)y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(－1－x)，故(1)錯(cuò).(2)兩種說法有本質(zhì)不同，前者為函數(shù)自身關(guān)于y軸對(duì)稱，后者是兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，故(2)錯(cuò).(3)令f(x)＝－x，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，兩函數(shù)圖象不同，故(3)錯(cuò).答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱，那么f(x)的解析式為()A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1解析依題意，與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當(dāng)于y＝e－x向左平移1個(gè)單位的結(jié)果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.答案D3.(2022·浙江卷)函數(shù)y＝sinx2的圖象是()解析∵y＝sin(－x)2＝sinx2，且x∈R，∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A項(xiàng)和C項(xiàng)；當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，sinx2＝sineq\f(π2,4)≠1，排除B項(xiàng)，只有D滿足.答案D4.假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x∈[－2，2]的圖象如下圖，那么當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)＋f(－x)＝________.解析由于y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.答案05.假設(shè)關(guān)于x的方程|x|＝a－x只有一個(gè)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖象，如下圖.由圖象知當(dāng)a>0時(shí)，方程|x|＝a－x只有一個(gè)解.答案(0，＋∞)6.(2022·紹興調(diào)研)函數(shù)f(x)＝2x，假設(shè)函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，那么g(x)＝________；假設(shè)把函數(shù)f(x)的圖象向左移1個(gè)單位，向下移4個(gè)單位后，所得函數(shù)的解析式為h(x)＝________.解析∵g(x)的圖象與函數(shù)f(x)＝2x關(guān)于x軸對(duì)稱，∴g(x)＝－2x，把f(x)＝2x的圖象向左移1個(gè)單位，得m(x)＝2x＋1，再向下平移4個(gè)單位，得h(x)＝2x＋1－4.答案－2x2x＋1－4考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象【例1】作出以下函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.解(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，保存y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)圖象中x≥0的局部，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x>0局部關(guān)于y軸的對(duì)稱局部，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象，如圖①實(shí)線局部.(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的局部沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位即得，如圖③.(4)∵y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，得圖象如圖④.規(guī)律方法畫函數(shù)圖象的一般方法(1)直接法.當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的根本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.(2)圖象變換法.假設(shè)函數(shù)圖象可由某個(gè)根本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.【訓(xùn)練1】分別畫出以下函數(shù)的圖象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.解(1)∵y＝|lgx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0<x<1.))∴函數(shù)y＝|lgx|的圖象，如圖①.(2)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其圖象如圖②.考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)【例2】(1)(2022·全國(guó)Ⅰ卷)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2，2]的圖象大致為()(2)(2022·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，那么y＝f(x)的圖象大致為()解析(1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函數(shù)，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除選項(xiàng)A，B.設(shè)g(x)＝2x2－ex，x≥0，那么g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C，應(yīng)選D.(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，圖象不會(huì)是直線段，從而排除A，C.當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2).∵2eq\r(2)<1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，從而排除D，應(yīng)選B.答案(1)D(2)B規(guī)律方法(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.【訓(xùn)練2】(1)(2022·安徽“江南十校〞聯(lián)考)函數(shù)y＝log2(|x|＋1)的圖象大致是()(2)(2022·臨沂一模)a是常數(shù)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)(1－a)x2－ax＋2的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如下圖，那么函數(shù)g(x)＝|ax－2|的圖象可能是()解析(1)y＝log2(|x|＋1)是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝log2(x＋1)是增函數(shù)，且過點(diǎn)(0，0)，(1，1)，只有選項(xiàng)B滿足.(2)由f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)(1－a)x2－ax＋2，得f′(x)＝x2＋(1－a)x－a，根據(jù)y＝f′(x)的圖象知－eq\f(1－a,2)>0，∴a>1.那么函數(shù)g(x)＝|ax－2|的圖象是由函數(shù)y＝ax的圖象向下平移2個(gè)單位，然后將x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到的，應(yīng)選D.答案(1)B(2)D考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用(多維探究)命題角度一研究函數(shù)的零點(diǎn)【例3－1】f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))那么函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.解析由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1作出函數(shù)y＝f(x)的圖象.由圖象知y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，y＝1與y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).因此函數(shù)y＝2f2(x)－3f(答案5命題角度二求不等式的解集【例3－2】函數(shù)f(x)是定義在[－4，4]上的偶函數(shù)，其在[0，4]上的圖象如下圖，那么不等式eq\f(f〔x〕,cosx)<0的解集為________.解析當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，y＝cosx>0.當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))時(shí)，y＝cosx<0.結(jié)合y＝f(x)，x∈[0，4]上的圖象知，當(dāng)1＜x<eq\f(π,2)時(shí)，eq\f(f〔x〕,cosx)<0.又函數(shù)y＝eq\f(f〔x〕,cosx)為偶函數(shù)，∴在[－4，0]上，eq\f(f〔x〕,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))，所以eq\f(f〔x〕,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))命題角度三求參數(shù)的取值或范圍【例3－3】(2022·杭州五校聯(lián)盟診斷)假設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么稱(P，Q)是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組〞(點(diǎn)組(P，Q)與(Q，P)看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組〞).函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－1，x>0，,－ln〔－x〕，x<0))有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組〞，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(－∞，0) B.(0，1) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.(0，＋∞)解析依題意，“伙伴點(diǎn)組〞的點(diǎn)滿足：都在y＝f(x)的圖象上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.可作出函數(shù)y＝－ln(－x)(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)y＝lnx(x>0)的圖象，使它與直線y＝kx－1(x>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2即可.當(dāng)直線y＝kx－1與y＝lnx的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(m，lnm)，又y＝lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝eq\f(1,x)，那么km－1＝lnm，k＝eq\f(1,m)，解得m＝1，k＝1，可得函數(shù)y＝lnx(x>0)的圖象過(0，－1)點(diǎn)的切線的斜率為1，結(jié)合圖象可知k∈(0，1)時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).答案B規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：圖象的左右范圍對(duì)應(yīng)定義域，上下范圍對(duì)應(yīng)值域，上升、下降趨勢(shì)對(duì)應(yīng)單調(diào)性，對(duì)稱性對(duì)應(yīng)奇偶性.(2)研究方程根的個(gè)數(shù)或由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.(3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.【訓(xùn)練3】(1)(2022·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝2x＋a的圖象關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，且f(－2)＋f(－4)＝1，那么a＝()A.－1 B.1 C.2 D.4(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如下圖，那么不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________.解析(1)設(shè)(x，y)是函數(shù)y＝f(x)圖象上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)，由y＝f