中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之線段最值之瓜豆原理

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)線段和差最值系列之瓜豆原理兩個動點(diǎn)，一個動點(diǎn)隨著另一個動點(diǎn)的運(yùn)動而運(yùn)動，通過找到兩動點(diǎn)的軌跡，求線段最值.瓜豆原理說的是“種瓜得瓜，種豆得豆”，兩點(diǎn)運(yùn)動的軌跡性質(zhì)一樣.一．軌跡之圓篇引例1：如圖，P是圓O上一個動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動圖可知點(diǎn)Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．引例2：如圖，P是圓O上一個動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動點(diǎn)”．此類問題的必要條件：兩個定量主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點(diǎn)即可確定從動點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．例1：如圖，點(diǎn)P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點(diǎn)M是圓P上的動點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_______．【分析】M點(diǎn)為主動點(diǎn)，C點(diǎn)為從動點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn)．考慮C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡：取BP中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡．當(dāng)A、C、O三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段OA上時，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O，利用兩點(diǎn)間距離公式求得OA，再減去OC即可．最小值為.二．軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線BC上一動點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動時，求Q點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．【模型總結(jié)】必要條件：主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3,0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動點(diǎn)，C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動時，求OP的最小值．【分析】求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌跡，根據(jù)△ABP是等邊三角形且B點(diǎn)在直線上運(yùn)動，故可知P點(diǎn)軌跡也是直線．取兩特殊時刻：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時，作出P點(diǎn)位置P1；（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點(diǎn)位置P2．連接P1P2，即為P點(diǎn)軌跡．根據(jù)∠ABP=60°可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以O(shè)P=．練習(xí)題1.如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為________．2.如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．3.△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為_____________．4.如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)F運(yùn)動的路徑長是________．5.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線段ON上的一個動點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動時，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)N時，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是________．6.如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．7.如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個動點(diǎn)A，連接AO并延長交圖像的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，點(diǎn)C始終在函數(shù)的圖像上運(yùn)動，若tan∠CAB=2，則k的值為（）A．2 B．4 C．6 D．88.如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點(diǎn)P是△ABC邊上一動點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC邊上運(yùn)動一周時，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為________．9.如圖所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點(diǎn)P，使AD=PD，則PB的取值范圍為___________．10．如圖，線段AB＝2，點(diǎn)C為平面上一動點(diǎn)，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為．11.如圖，⊙O的直徑AB=2，C為⊙O上動點(diǎn)，連接CB，將CB繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90?得到CD，連接OD，則OD的最大值為________12.如圖，在ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC邊上，BC=5，CD=2，點(diǎn)E是邊AC所在直線上的一動點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為____13.已知邊長為6的等邊△ABC中，E是高AD所在直線上的一個動點(diǎn)，連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，當(dāng)線段DF長度的最小值時，DE的長度為．14．如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE與CF交于點(diǎn)D．（1）若∠BAC＝74°，則∠BDC＝；（2）如圖2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于點(diǎn)M，求證：DM＝DE；（3）如圖3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線BC上，連接MG，將線段GM繞點(diǎn)G逆時針旋轉(zhuǎn)90°得GN，NG＝MG，連接DN，當(dāng)DN最短時，直接寫出∠MGC的度數(shù)．15.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆