中考數(shù)學(xué)一輪知識復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點(diǎn)24 圖形的變換（基礎(chǔ)鞏固） (含詳解)

考向24圖形的變換【知識梳理】考點(diǎn)一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。椒ㄖ笇?dǎo)：（1）平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等．方法指導(dǎo)：（1）要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；（2）“對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點(diǎn)二、軸對稱變換1．軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，也叫做這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn).

軸對稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形.

2．軸對稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.

3．軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，過關(guān)鍵點(diǎn)作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點(diǎn)的對稱點(diǎn)．

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點(diǎn)即得所作圖形.考點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)變換1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn).

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點(diǎn).

４．中心對稱與中心對稱圖形

中心對稱：

把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心對稱的對稱點(diǎn)．

中心對稱圖形：

把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫中心對稱圖形.

5．中心對稱作圖步驟

①連結(jié)決定已知圖形的形狀、大小的各關(guān)鍵點(diǎn)與對稱中心，并且延長至2倍，得到各點(diǎn)的對稱點(diǎn).

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點(diǎn)即得所作圖形.方法指導(dǎo)：圖形變換與圖案設(shè)計(jì)的基本步驟

①確定圖案的設(shè)計(jì)主題及要求；

②分析設(shè)計(jì)圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機(jī)組合；

④對圖案進(jìn)行修飾，完成圖案.【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、選擇題1.以下圖形：平行四邊形、矩形、等腰三角形、線段、圓、菱形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）.A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．3個(gè)2．有以下現(xiàn)象：①溫度計(jì)中，液柱的上升或下降；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動(dòng)；③鐘擺的擺動(dòng)；④傳送帶上瓶裝飲料的移動(dòng)，其中屬于平移的是（）.A．①③B．①②C．②③D．②④3.在圖形的平移中，下列說法中錯(cuò)誤的是（）.A．圖形上任意點(diǎn)移動(dòng)的方向相同；B．圖形上任意點(diǎn)移動(dòng)的距離相同C．圖形上可能存在不動(dòng)點(diǎn)；D．圖形上任意對應(yīng)點(diǎn)的連線長相等4.如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列圖形可由△OBC平移得到的是（）.

A.△OCDB.△OABC.△OAFD.△OEF5.如圖，△ABC的面積為2，將△ABC沿AC方向平移到△DFE，且AC=CD，則四邊形AEFB的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．126.如圖所示，△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，△EDC是由△ADB旋轉(zhuǎn)180°所得，則AB邊的取值范圍是（）．A．l＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜19二、填空題7.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線翻折后得△AGE，那么△AGE與四邊形AECD重疊部分的面積是．8.如圖，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，現(xiàn)將△ACB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AC1B1，則陰影部分的面積為_______.

9.如圖，一張矩形紙片，要折疊出一個(gè)最大的正方形紙，小明把矩形的一個(gè)角沿折痕翻折上去，使AB邊和AD邊上的AF重合，則四邊形ABEF就是一個(gè)最大的正方形，他的判定方法是________．10.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2cm，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CE．若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)B1重合，則AC＝cm．11.如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長線上的點(diǎn)B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段B′F的長為．12.如圖,為矩形ABCD的中心，將直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板使兩直角邊始終與相交，交點(diǎn)分別為.如果，則與的關(guān)系式為.三、解答題13.如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處．（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形？（不需說明理由）（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的長．14.把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）.(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=，△GKH的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由.15.如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊:對折、展平,得折痕EF(如圖①);沿GC折疊,使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處(如圖②)；展平,得折痕GC(如圖③);沿GH折疊,使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處(如圖④);沿GC′折疊(如圖⑤)；展平,得折痕GC′、GH(如圖⑥).(1)求圖②中∠BCB′的大??；(2)圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎?請說明理由.16.已知矩形紙片，.將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.（1）如果折痕FG分別與AD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（1）），求DE的長.（2）如果折痕FG分別與CD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（2）），的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長.答案與解析一．選擇題1．【答案】A．2．【答案】D.【解析】①溫度計(jì)中液柱的上升或下降改變圖形的大小，不屬于平移；

②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動(dòng)屬于平移；

③鐘擺的擺動(dòng)是旋轉(zhuǎn)，不屬于平移；

④傳送帶上瓶裝飲料的移動(dòng)符合平移的性質(zhì)，屬于平移．3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】由題意可得平移的距離是2AC，AC=CD，連接FC，S△BFC=2S△ABC，S△ABC=S△FDC=S△FDE=2，∴四邊形AEFB的面積為10.6．【答案】D.【解析】∵△ADB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，得到△EDC，∴AB=EC,AD=DE，而AD=7，∴AE=14，

在△ACE中，AC=5，

∴AE-AC＜EC＜AC+AE，

即14-5＜EC＜14+5，∴9＜AD＜19．二．填空題7．【答案】2-2．【解析】在邊長為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC邊上的高，故AE=，

由折疊易得△ABG為等腰直角三角形，

∴S△ABG=BA?AG=2，S△ABE=1，∴CG=2BE-BC=2-2，

∴CO=OG=2-，∴S△COG=3-2，

∴重疊部分的面積為2-1-（3-2）=2-2．8．【答案】SKIPIF1<0.【解析】S陰影=S扇形ABB1=SKIPIF1<0．9．【答案】對角線平分內(nèi)角的矩形是正方形.10．【答案】4cm.【解析】∵AB=2cm，AB=AB1∴AB1=2cm，

∵四邊形ABCD是矩形，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°

∵AE=CE，∴AB1=B1C，∴AC=4cm．11.【答案】．【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FD=90°，∵S△ABC=AC?BC=AB?CE，∴AC?BC=AB?CE，∵根據(jù)勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=，ED=AE=，∴DF=EF﹣ED=，∴B′F=．故答案為：．12．【答案】.三.綜合題13．【解析】解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根據(jù)相似的傳遞性，△AMP∽△CQD；（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，∵sin∠DMF==，∴設(shè)DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x=（舍）或x=2，∴AB=6．14．【解析】(1).在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變．

證明：連接CG，KH，

∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點(diǎn)，

∴CG=BG，CG⊥AB，

∴∠ACG=∠B=45°，

∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，

∴∠BGH=∠CGK，

在△BGH與△CGK中，

∴△BGH≌△CGK（ASA），

∴BH=CK，S△BGH=S△CGK．

∴S四邊形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4，

即：S四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化；

（2）∵AC=BC=4，BH=x，

∴CH=4-x，CK=x．

由S△GHK=S四邊形CHGK-S△CHK，

得y=4-x（4-x），

∴y=x2-2x+4．

由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，

∴0＜x＜4；

（3）存在．

根據(jù)題意，得x2-2x+4=×8，

解這個(gè)方程，得x1=1，x2=3，

即：當(dāng)x=1或x=3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的．15．【解析】（1）由折疊的性質(zhì)知：B′C=BC，

在Rt△B′FC中，

∵cos∠B′CF===，

∴∠B′CF=60°，

即∠BCB′=60°；

（2）根據(jù)題意得：GC平分∠BCC′，

∴∠GCB=∠GCC′=∠BCB′=30°，

∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°，

由折疊的性質(zhì)知：GH是線段CC′的對稱軸，

∴GC′=GC，

∴△GCC′是正三角形．16.【解析】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，，∠D=90°．

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得EF=AF=．

∴DF=AD-AF=．在Rt△DEF中，DE=．

（2）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AO=EO．

取AD的中點(diǎn)M，連接MO．則MO=DE，MO∥DC．

設(shè)DE=x，則MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．

延長MO交BC于點(diǎn)N，則ON