安徽高中數(shù)學(xué)第一章1.2應(yīng)用舉例1.2.3解決有關(guān)測量角度的問題教案

1.2.3

解有測角的題項

內(nèi)課題

解有測角的題

修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重、難點教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)過程

一知與能能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題二過與法本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力．除了安排課本上的例6，還針對性地選擇了既典型性又具有啟發(fā)性的12道例題，強(qiáng)調(diào)知識的傳授更重能力的滲透．課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三．三情態(tài)與值培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神.教重根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系．教難活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題多媒體課件導(dǎo)新設(shè)置情境設(shè)問師前面?zhèn)儗W(xué)習(xí)了如測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化為已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題．然而在實際的生活,人們又會遇到新的問題，仍然需要用我們學(xué)過的解三角形的知識來解決，大家身邊有什么例子嗎？生像航，在浩瀚無的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向

生飛機(jī)天上飛行時如何確定地面上的目標(biāo)師實際活當(dāng)中像這的例子很多，今天我們接著來探討這方面的測量問題．推新【1幻燈片放映）如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東的方向航行67.5nmile后到海島,然后從B出,沿北偏東32°方向航行54.0n后達(dá)海島.如下次航行直接從A出到達(dá),此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需航行多少距離(角度確到距離精確到0.01nmile)合作究學(xué)生看圖思考．師要想決這個問題首先應(yīng)該搞懂“北偏東75°方向”．生這是位角．生這實上就是解斜角形，由方位角的概念可知，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所的角∠，可用余定理算出邊再根據(jù)正弦定理算出邊AB邊的夾角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．師根據(jù)家的回答，們已經(jīng)很清楚解題思路．下面請同學(xué)寫一下解題過程生：△中，=180°-75°+32°=137°根據(jù)余弦定理，AC22ABBC67.5254.067.554.0cos137根據(jù)正弦定,

ACsinCABsinABC

sinsinCAB113.15

≈0.325所以∠-∠答此應(yīng)該沿北偏東56.0°的向航行需要航行

師道題綜合運(yùn)用了正、余弦定理，體現(xiàn)了正、余弦定理在解斜角形中的重要地位．【2】某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相海的C處一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10海里時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海/時的速度沿著線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？合作究師你能根據(jù)題意畫方位圖？（在解斜三角形這一節(jié)里有好多都要把實際問題畫出平面示意圖，圖畫的好壞有時也會影響到解題，這是建立數(shù)學(xué)模型的一個重要方面）生如圖．師從圖看這道題的鍵是計算出三角形的各邊，還需要什么呢生引入間這個參變可以設(shè)時后追上走私船生如圖設(shè)該巡邏艇方經(jīng)過x小后在B處追上走私船，則CB=10x,=14x,=9,ACB=75°+45°=120°,由余弦定理，可得(14x)=9-2×9×10xs120°,∴化簡得32x-30x-27=0x=

或x=-

(舍去.所以10x又因為sin∠BAC=

153AB21214

,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′（鈍角不合題意，舍去）答巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13′方向去追，經(jīng)過1.4小時追趕上該走私船師這位學(xué)是用正、弦定理來解決的，我們能不能都用余弦定理來解

決呢？生同上得BC=15,AB在△ABC中，由余弦定理，得ACABBCcosCAB221∴∠CAB∴巡邏艇應(yīng)沿北偏東83°13′方向追趕，經(jīng)過1.4時追趕上該走私船．課練課本第18頁練習(xí)答：用余弦定理求得傾斜角約為方法導(dǎo)解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況1）知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．知識展1.如圖，海中小島A周圍38海內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在處得小島在的南偏東30°航30海里到C處C處測小島船的南偏東45°果船不改變航向續(xù)向南航行無礁的危險？解在△中，=30B，∠=180°45°=135°,∴由正弦定理知

∴.sinsinsin1530

∴

sin15

.∴到所在直線的距離為AC（6+152

（3+1≈40.98＞（里∴不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險．答不改變航向，繼續(xù)向南航行，觸礁的危險．2.如圖，有兩條相交成60°的直線XX、YY′，交點是O，、乙分別在O、Y上，初甲在離O點3千米A點乙在離點1千米的B點，后來兩人同時以每小時4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，（）初，兩人的距離是多少？（）包含t的式表示t小后兩人的距離；（）么時候兩人的距離最短？解1因甲、乙兩人起初的位置是A、，則=OA-2OBcos60°=3+1-2×3×1×

∴起初，兩人的距離是7千米．（）甲、乙兩人t小后的位置分別是、，則P=4t,當(dāng)

0≤

時，PQ=(3-4t)-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t-當(dāng)t＞

時PQ=(4t-3)+(1+4t)-2(4t-3)(1+4t)s120°=48t-24t+7,所以，=48t．（）=48t-24t+7=48(t-

)

∴當(dāng)t=

時，即在第15分末PQ最．答：在第15分鐘末，兩人的距最短．課小在實際問題（航海、測量等）的解決過程中，解題的一般步驟和方法，及正弦、余弦定理相關(guān)知識點的熟練運(yùn)用．應(yīng)用解三角形知識解決實際問題時，要分析和研究問題中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，應(yīng)該選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解．應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的解題步驟：①根據(jù)題意作出示意圖；②所涉及的三角形搞已知和未知③選合適的定理進(jìn)行求解④給出答案．布作課本第22頁習(xí)題1.2第9、10、11題解決有關(guān)測量角度的問題板書設(shè)例1

例2

課堂練習(xí)計教學(xué)反思

布置作業(yè)本