常微分方程期末試題參考答案

2222一、填空（每空分，共分。1、方

dd

x

2

y

2

滿解的在唯性定條件的區(qū)域是面．2.方程組

dYd

(

n

的何一解的象是

維空中的條積曲線3．

f(xy

連是保方程

dydx

(y

初唯一充

條．t4．方組的點(diǎn)(0,0)的型是xt

中．程

12

(y

2

的解是

1CxC2

26．變可離方

M

的分因是

7階線性齊次微分方程兩解

(x)

,

(x)

成其基解組充要件線無8．方

的本解是

exex二、選擇（每小題3分，共分。9．一線微分程

dd

(x)y)

的分因是（A（A

p()d

（）

q(x)d

（C

p(x)dx

（D）

q(x)dx10．分方

lnyxlny)d0

是B）（A）分離量方（B線方程（）微分方程（D貝努方程．方程(

－x+y(x－所有數(shù)解（C

(A)

(B)

()

,

D

,

12．

階性非次微方程所有解（D1/

xyxy（）成一線性間（B構(gòu)成一

維性空（）構(gòu)成一個(gè)

維性空D不能成一線性空間13．程

22

（D

）解．（）一個(gè)（B）有數(shù)（）只有兩個(gè)（D）三、計(jì)算（每小題分，共分14．方程

的通解xx解令

dydy，dxdx

，是，

uu,dx

所原方的通為

Cx1

2

,yx15．方程

dy

3

x)dy

的解解取

3

lnx則

y

1

，是原程為微分程所原方的通為14lnxC即4

1

dx

1

16．方程y

的解解令

，到

p2xp

2

（*），端同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)，整得

，取

2

得

,代（*得解

取

dpdx

0得

,代*得方得通為

2

Cx

2/

17．方程

y

x

的解解對(duì)應(yīng)齊次程的征方程為

，特根為

，

故次方的通為

y2

因

不特征。所，設(shè)齊次方程的特解為y()Ae代原方，得e

x

e

即

A

110

，故方程通解

Ce1

3x

1e10

5x18．方程

y

x

7sin)

的解解先求對(duì)應(yīng)其次程：

0

，有，

0,

;y1

x

x因數(shù)

不特征，故方程有形如yxxsinx

的解。將式代原方，由

y

x

oi

y

x

ysinx

故

sinx或

xxBxsi

3/

12121比上述式兩的

,

的數(shù)，得

A因，

A.故y

x

xx

所通解

y

x

x1sinx

x

Ce

x19．方程

dYdx

的基本組解方程的特多項(xiàng)為

，特征是

i

，么屬

1

的征向

i

，屬

2

的征向

。則程的本解為

ixix

ex

，其基本組為

而

i

121i因所求基本組為12ix

ex3

3tetsin5x1itsin5

四、應(yīng)用（每小題分，共分20）函數(shù)

f(t

at

的普拉變換（2）求初值問題

x

的4/

2eee;ee2eee;ee由1）知，解）

at

dt

dtsts0

1a（2）設(shè)

拉變換可分得到X

2s故

X

12使部分式法可得sss1ss故求的值解

x

t

。得分

評(píng)卷教師

五、證明（每小題分，共10分21

．明：任意

x

及足條

y

的

y

，程(y12y

的足條

yx)的y(x

在(

上在。證由

f(y

(y12y

f(,y)

(2yx2)yy2)2在平面連續(xù)所以方程在全平面上滿足解的存在唯一定理解的展定理?xiàng)l．又然

0