-新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何2.1空間中的點直線與空間向量學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE8空間中的點、直線與空間向量新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解直線的方向向量，并能利用方向向量判定直線的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、直觀想象2.能用向量方法解決直線與直線所成角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用數(shù)學(xué)運算一場正規(guī)的足球賽事需要有裁判執(zhí)法才能進(jìn)行．在比賽過程中，裁判員除了說一些必要的語言外，他們更多的借助專用的手勢來把控整場比賽．比如，直接任意球要求裁判單臂側(cè)平舉，明確批示踢球方向；間接任意球要求裁判單臂上舉，掌心向前，此手勢應(yīng)持續(xù)到球踢出后，并被場上其他隊員觸及或成死球時為止．這一規(guī)定有著明確的方向性和細(xì)節(jié)要求，必須進(jìn)行專業(yè)培訓(xùn)才能掌握．在不同領(lǐng)域有不同的“語言”，研究空間中的直線及其夾角也可以先提煉出與之有關(guān)聯(lián)的“向量語言”來進(jìn)行．[問題](1)一個定點和兩個定方向向量能否確定一個平面？(2)怎樣用向量來表示直線在空間中的位置？(3)怎樣用向量來表示平面在空間中的位置？知識點直線的方向向量1．定義：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量．2．兩直線平行與垂直的判定如果v1是直線l1的一個方向向量，v2是直線l2的一個方向向量，則(1)v1∥v2?l1∥l2，或l1與l2重合；(2)l1⊥l2?v1·v2＝0．3．空間中兩條直線所成的角設(shè)v1，v2分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，如圖①②所示，則θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，sinθ＝sin_〈v1，v2〉或cosθ＝|cos_〈v1，v2〉|．4．異面直線與空間向量(1)設(shè)v1，v2分別是空間中直線l1與l2的方向向量．若l1與l2異面，則v1與v2的關(guān)系為v1與v2不平行；若v1與v2不平行，則l1與l2的位置關(guān)系為相交或異面；(2)公垂線段：一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．則稱MN為l1與l2的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離．eq\a\vs4\al()空間中兩直線所成角的范圍設(shè)空間中兩直線l1，l2所成角的大小為θ，兩直線的方向向量分別為v1，v2.由θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，sinθ＝sin〈v1，v2〉或cosθ＝|cos〈v1，v2〉|，可知0≤θ≤eq\f(π,2).兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量的夾角一定相等嗎？提示：不一定相等，若兩異面直線的方向向量夾角〈v1，v2〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時等于異面直線所成角，若〈v1，v2〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，則異面直線所成角為π－〈v1，v2〉．1．已知空間直線l上兩點A(3，－2，1)，B(1，3，1)，則直線l的一個方向向量為________(寫出一個即可).答案：(2，－5，0)2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，則直線AB與直線A1D1所成的角為________，直線AB與直線CD1答案：90°45°空間中點的位置確定[例1]已知O是坐標(biāo)原點，A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5).(1)若eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))，求P點的坐標(biāo)；(2)若P是線段AB上的一點，且AP∶PB＝1∶2，求P點的坐標(biāo)．[解](1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1，1，5)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－3，－1，5)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(2，2，0)＝(1，1，0)，∴P點的坐標(biāo)為(1，1，0).(2)由P是線段AB上的一點，且AP∶PB＝1∶2，知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up7(→))．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－3，y－4，z)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(2－x，5－y，5－z)，故(x－3，y－4，z)＝eq\f(1,2)(2－x，5－y，5－z)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝\f(1,2)（2－x），,y－4＝\f(1,2)（5－y），,z＝\f(1,2)（5－z），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝\f(13,3)，,z＝\f(5,3)．))因此P點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(13,3)，\f(5,3))).eq\a\vs4\al()求空間點的坐標(biāo)此類問題常轉(zhuǎn)化為向量的共線、向量的相等解決，設(shè)出待求的點的坐標(biāo)，利用已知條件列出關(guān)于待求點的坐標(biāo)為未知數(shù)的方程或方程組，再求解即可．[跟蹤訓(xùn)練]已知點A(2，4，0)，B(1，3，3)，如圖，以eq\o(AB,\s\up7(→))的方向為正方向，在直線AB上建立一條數(shù)軸，P，Q為數(shù)軸上的兩點，且分別滿足條件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求點P和點Q的坐標(biāo)．解：(1)由已知，得eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(AP,\s\up7(→))，即eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→))＝2(eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))．設(shè)點P坐標(biāo)為(x，y，z)，則上式換用坐標(biāo)表示，得(x，y，z)＝eq\f(2,3)(2，4，0)＋eq\f(1,3)(1，3，3)，即x＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(8,3)＋eq\f(3,3)＝eq\f(11,3)，z＝0＋1＝1.因此，P點的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1)).(2)因為AQ∶QB＝2∶1，所以eq\o(AQ,\s\up7(→))＝－2eq\o(QB,\s\up7(→))，eq\o(OQ,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－2(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OQ,\s\up7(→)))，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))，設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x′，y′，z′)，則上式換用坐標(biāo)表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q點的坐標(biāo)是(0，2，6).利用向量法求異面直線的夾角(或余弦值)[例2](鏈接教科書第32頁例3)如圖，點M，N分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中點，求：(1)MN和CD′所成角的大小；(2)MN和AD所成角的大小．[解]法一：設(shè)正方體棱長為1，分別以eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(圖略)，則C(0，1，0)，D′(0，0，1)，A(1，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，D(0，0，0)，∴eq\o(CD′,\s\up7(→))＝(0，－1，1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(－1，0，0)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2))).(1)∵cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(CD′,\s\up7(→)),|eq\o(MN,\s\up7(→))|·|eq\o(CD′,\s\up7(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝60°，即MN和CD′所成角為60°.(2)∵cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→)),|eq\o(MN,\s\up7(→))||eq\o(AD,\s\up7(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×1)＝eq\f(\r(2),2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝45°，即MN與AD所成角為45°.法二：設(shè)正方體的棱長為1.eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(B′N,\s\up7(→))－eq\o(B′M,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))＝eq\o(DD′,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))．(1)∵eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(CD′,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))))·(eq\o(DD′,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))2＝eq\f(1,2)，|eq\o(MN,\s\up7(→))|·|eq\o(CD′,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1，∴cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD′,\s\up7(→))〉＝60°，即MN和CD′所成角為60°.(2)∵eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))2＝eq\f(1,2)，|eq\o(MN,\s\up7(→))|·|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),2).∴cos〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)，∴〈eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝45°，即MN與AD所成角為45°.eq\a\vs4\al()求異面直線所成的角的方法(1)基底法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，我們經(jīng)常采用取定基底的方法，這是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求向量a，b的夾角時，關(guān)鍵是求出a·b及|a|與|b|，一般是把a，b用基底表示出來，再求有關(guān)的量；(2)坐標(biāo)法：根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡單．[跟蹤訓(xùn)練]已知四面體OABC的各棱長均為1，D是棱OA的中點，則異面直線BD與AC所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(2),8)解析：選Ceq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))，于是|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝1，且eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))))·(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,4)，于是cos〈eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→)),|eq\o(BD,\s\up7(→))||eq\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×1)＝－eq\f(\r(3),6)，故異面直線BD與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),6).利用空間向量處理平行與垂直問題[例3](鏈接教科書第30頁例1、第32頁例2、第35頁例4)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G，G1分別是棱CC1，BC，CD，A1B1(1)AD1⊥G1G(2)AD1∥EF；(3)A1G⊥DF[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.(1)因為eq\o(AD1,\s\up7(→))＝b＋c，eq\o(G1G,\s\up7(→))＝eq\o(G1A1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－c＋b＋eq\f(1,2)a＝b－c，所以eq\o(AD1,\s\up7(→))·eq\o(G1G,\s\up7(→))＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，所以eq\o(AD1,\s\up7(→))⊥eq\o(G1G,\s\up7(→))，所以AD1⊥G1G.(2)因為eq\o(AD1,\s\up7(→))＝b＋c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up7(→))，所以EF∥AD1.(3)因為eq\o(A1G,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝－c＋b＋eq\f(1,2)a，eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)b，所以eq\o(A1G,\s\up7(→))·eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c＋b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)b2＝0，所以eq\o(A1G,\s\up7(→))⊥eq\o(DF,\s\up7(→))，所以A1G⊥DF.eq\a\vs4\al()1．要證兩直線垂直，由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0可知，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可．2．要證兩直線平行，可求出兩直線的方向向量，只要證明這兩個向量滿足a＝λb即可．[跟蹤訓(xùn)練]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是CC1，A1C1，(1)AB1∥GE，AB1⊥EF；(2)直線GF與直線BA1不平行．證明：如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中點坐標(biāo)公式得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).(1)∵eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(1，0，1)，eq\o(GE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴eq\o(AB1,\s\up7(→))＝2eq\o(GE,\s\up7(→))，eq\