材料力學課件 壓桿穩(wěn)定

壓桿的穩(wěn)定問題壓桿的穩(wěn)定問題壓桿工程中的穩(wěn)定性問題壓桿壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題桁架中的壓桿壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題液壓缸頂桿液壓缸頂桿壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題火箭發(fā)射架中的壓桿壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題高壓輸電線路保持相間距離的受壓構件壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題壓桿穩(wěn)定性實驗壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題工程構件穩(wěn)定性實驗壓桿的穩(wěn)定問題工程中的穩(wěn)定性問題壓桿的穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定的基本概念不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法結論與討論臨界應力與臨界應力總圖兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡壓桿的穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念壓桿的平衡構形、平衡路徑及其分叉壓桿從直線平衡構形（狀態(tài)）到彎曲平衡（狀態(tài)）構形的轉變過程，稱為“屈曲”。由于屈曲，壓桿產(chǎn)生的側向位移，稱為屈曲位移?；蚍Q為失穩(wěn)ΔFPFPFP分叉點FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑隨著壓力增加，在某一個力時會出現(xiàn)分叉點，平衡路徑開始出現(xiàn)分叉的那一點。分叉載荷（臨界載荷）—分叉點對應的載荷。用FPcr表示壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念壓桿的平衡構形、平衡路徑及其分叉平衡路徑的分叉點ΔFPFPFP判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學準則壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念平衡構形—壓桿的兩種平衡構形(equilibriumconfiguration)FP<FPcr:

直線平衡構形，或稱為：穩(wěn)定平衡在擾動作用下，直線平衡構形轉變?yōu)閺澢胶鈽嬓?，擾動除去后，能夠恢復到直線平衡構形，則稱原來的直線平衡構形是穩(wěn)定的。FP>FPcr:彎曲平衡構形(在擾動作用下)在擾動作用下，直線平衡構形轉變?yōu)閺澢胶鈽嬓?，擾動除去后，不能恢復到直線平衡構形，則稱原來的直線平衡構形是不穩(wěn)定的。

ΔFPFP判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學準則壓桿的穩(wěn)定問題的基本概念當壓縮載荷大于一定的數(shù)值時，在任意微小的外界擾動下，壓桿都要由直線的平衡構形轉變?yōu)閺澢钠胶鈽嬓?，這一過程稱為屈曲（buckling）或失穩(wěn)（loststability）。對于細長壓桿，由于屈曲過程中出現(xiàn)平衡路徑的分叉，所以又稱為分叉屈曲（bifurcationbuckling）。

穩(wěn)定的平衡構形與不穩(wěn)定的平衡構形之間的分界點稱為臨界點（criticalpoint）。對于細長壓桿，因為從臨界點開始，平衡路徑出現(xiàn)分叉，故又稱為分叉點。臨界點所對應的載荷稱為臨界載荷（criticalload）或分叉載荷（bifurcationload），用FPcr

表示。

細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性線性理論認為，細長壓桿在臨界點以及臨界點以后的平衡路徑都是隨遇的，即：載荷不增加，屈曲位移不斷增加。很多情形下，屈曲將導致構件失效，這種失效稱為屈曲失效（failurebybuckling）。由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災難性后果，因此工程設計中需要認真加以考慮。兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性假設壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)。考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡：M(x)=FPw(x)假設壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0根據(jù)“線性代數(shù)”知識，上述方程中A、B的系數(shù)不全為零的條件是方程組系數(shù)行列式等于零：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性由此得到臨界載荷最小臨界載荷兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性得到屈曲位移函數(shù)w=Asinkx+Bcoskx其中A為未定常數(shù)。這表明屈曲位移是不確定的量。這與開始推導公式時假設壓桿處于任意微彎狀態(tài)是一致的。兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學平衡方法得到的平衡微分方程和邊界條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達式亦因此而異，但基本分析方法和分析過程卻是相同的。對于細長桿，這些公式可以寫成通用形式：這一表達式稱為歐拉公式。其中l(wèi)為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度(effectivelength)；

為反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長度系數(shù)（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波長度與兩端鉸支壓桿初始屈曲時的正弦半波長度的比值確定。不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性一端自由，一端固定

＝2.0兩端固定＝0.5一端鉸支，一端固定

＝0.7兩端鉸支

＝1.0不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響細長壓桿臨界點平衡的穩(wěn)定性臨界應力與臨界應力總圖臨界應力與長細比的概念三類不同壓桿的不同失效形式三類壓桿的臨界應力公式臨界應力總圖與P、s值的確定

問題的提出：4根材料和直徑相同，但是長度不同、支承不同的壓桿

能不能應用歐拉公式計算四根壓桿的臨界載荷？

四根壓桿是不是都會發(fā)生彈性屈曲？臨界應力與臨界應力總圖臨界應力與長細比的概念臨界應力與臨界應力總圖前面已經(jīng)提到歐拉公式只有在彈性范圍內才是適用的。這就要求在分叉載荷即臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構形時，其橫截面上的正應力小于或等于材料的比例極限

其中稱為σcr臨界應力(criticalstress)；

σp為材料的比例極限。臨界應力與長細比的概念臨界應力與臨界應力總圖對于某一壓桿，當分叉載荷FP尚未算出時，不能判斷壓桿橫截面上的應力是否處于彈性范圍；當分叉載荷算出后，如果壓桿橫截面上的應力超過彈性范圍，則還需采用超過比例極限的分叉載荷計算公式。這些都會給計算帶來不便。能否在計算分叉載荷之前，預先判斷哪一類壓桿將發(fā)生彈性屈曲？哪一類壓桿將發(fā)生超過比例極限的非彈性屈曲？哪一類不發(fā)生屈曲而只有強度問題？回答當然是肯定的。為了說明這一問題，需要引進長細比（slenderness）的概念。

臨界應力與長細比的概念臨界應力與臨界應力總圖長細比是綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對壓桿分叉載荷影響的量，用表示，由下式確定：

其中，I為壓桿橫截面的慣性半徑：從上述二式可以看出，長細比反映了壓桿長度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對壓桿承載能力的綜合影響。臨界應力與長細比的概念臨界應力與臨界應力總圖用長細比表示的細長桿臨界應力公式三類不同壓桿的不同失效形式臨界應力與臨界應力總圖

細長桿—長細比大于或等于某個極限值p時，壓桿將發(fā)生彈性屈曲。這時，壓桿在直線平衡構形下橫截面上的正應力不超過材料的比例極限，這類壓桿稱為細長桿。

粗短桿—長細比小于極限值s時，壓桿不會發(fā)生屈曲，但將會發(fā)生屈服。這類壓桿稱為粗短桿。

長中桿—長細比小于p，但大于或等于另一個極限值s時，壓桿也會發(fā)生屈曲。這時，壓桿在直線平衡構形下橫截面上的正應力已經(jīng)超過材料的比例極限，截面上某些部分已進入塑性狀態(tài)。這種屈曲稱為非彈性屈曲。這類壓桿稱為中長桿。

臨界應力與臨界應力總圖需要特別指出的是，細長桿和中長桿在軸向壓縮載荷作用下，雖然都會發(fā)生屈曲，但這是兩類不同的屈曲：第一，從平衡路徑看，細長桿的軸向壓力超過臨界力后(圖8－1)，平衡路徑的分叉點即為臨界點。這類屈曲稱為分叉屈曲。中長桿在軸向壓縮載荷作用下，其平衡路徑無分叉和分叉點，只有極值點，這類屈曲稱為極值點屈曲(limitedpointbuckling)。

三類壓桿的臨界應力公式對于細長桿，臨界應力為

臨界應力與臨界應力總圖三類壓桿的臨界應力公式對于中長桿，由于發(fā)生了塑性變形，理論計算比較復雜，工程中大多采用直線經(jīng)驗公式計算其臨界應力，最常用的是直線公式：

其中a和b為與材料有關的常數(shù)，單位為MPa。

臨界應力與臨界應力總圖三類壓桿的臨界應力公式對于粗短桿，因為不發(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服(韌性材料)，故其臨界應力即為材料的屈服應力:

臨界應力與臨界應力總圖臨界應力總圖與P、s值的確定根據(jù)三種壓桿的臨界應力表達式，在坐標系中可以作出關系曲線，稱為臨界應力總圖(figuresofcriticalstresses)

細長桿中長桿粗短桿臨界應力與臨界應力總圖臨界應力總圖與P、s值的確定（細長桿）（中長桿）（粗短桿）根據(jù)臨界應力總圖中所示之關系，可以確定區(qū)分不同材料三類壓桿的長細比極限值。

令細長桿的臨界應力等于材料的比例極限(圖中的B點)，得到

若令中長桿的臨界應力等于屈服強度(圖中的A點)，得到。臨界應力與臨界應力總圖例題

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；2.已知：

d=160mm、E=206GPa,

求：二桿的臨界載荷

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大；

1.分析:

哪一根壓桿的臨界載荷比較大：

從臨界應力總圖可以看出，對于材料相同的壓桿，長細比越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計算壓桿的長細比，長細比小者，臨界載荷大。例題2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.首先計算長細比，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細長桿，都可以采用歐拉公式。例題例題二者都屬于細長桿，都可以采用歐拉公式。對于兩端鉸支的壓桿對于兩端固定的壓桿壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法本章前面幾節(jié)所討論的壓桿，都是理想化的，即壓桿必須是直的，沒有任何初始曲率；載荷作用線沿著壓桿的中心線；由此導出的歐拉臨界載荷公式只適用于應力不超過比例極限的情形。工程實際中的壓桿大都不滿足上述理想化的要求。因此實際壓桿的設計都是以經(jīng)驗公式為依據(jù)的。這些經(jīng)驗公式是以大量實驗結果為基礎建立起來的本章討論。

穩(wěn)定性設計內容安全因數(shù)法與穩(wěn)定性安全條件穩(wěn)定性設計過程穩(wěn)定性設計內容壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法穩(wěn)定性設計（stabilitydesign）一般包括：確定臨界載荷當壓桿的材料、約束以及幾何尺寸已知時，根據(jù)三類不同壓桿的臨界應力公式，確定壓桿的臨界載荷。

穩(wěn)定性安全校核當外加載荷、桿件各部分尺寸、約束以及材料性能均為已知時，驗證壓桿是否滿足穩(wěn)定性設計準則。

壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法安全因數(shù)法與穩(wěn)定性安全條件為了保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，設計中，必須使桿件所承受的實際壓縮載荷（又稱為工作載荷）小于桿件的臨界載荷，并且具有一定的安全裕度。壓桿的穩(wěn)定性設計一般采用安全因數(shù)法與穩(wěn)定系數(shù)法。本書只介紹安全因素法。采用安全因數(shù)法時，穩(wěn)定性安全條件一般可表示為

nwnst壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法安全因數(shù)法與穩(wěn)定性安全條件安全因數(shù)法nw

nst工作安全因數(shù)臨界應力

工作應力

nst規(guī)定安全因數(shù)壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法穩(wěn)定性設計過程根據(jù)上述設計準則，進行壓桿的穩(wěn)定性的設計，首先必須根據(jù)材料的彈性模量與比例極限E、σP，計算出長細比的極限值p

和s

，再根據(jù)壓桿的長度l、橫截面的慣性矩I和面積A，以及兩端的支承條件μ，計算壓桿的實際長細比λ。然后比較壓桿的實際長細比值與極限值，判斷屬于哪一類壓桿，選擇合適的臨界應力公式，確定臨界載荷。最后，計算壓桿的工作安全因數(shù)，并驗算是否滿足穩(wěn)定性設計準則。對于簡單結構，則需應用受力分析方法，首先確定哪些桿件承受壓縮載荷，然后再按上述過程進行穩(wěn)定性計算與設計。

例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8校核:穩(wěn)定性是否安全。正視圖俯視圖例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法解：壓桿在正視圖平面內，兩端約束為鉸支,屈曲時橫截面將繞z軸轉動：y=yl/iy,Iz=bh3/12Iy=hb3/12z=132.6y=99.48z=zl/iz,壓桿在俯視圖平面內，兩端約束為固定端,屈曲時橫截面將繞y軸轉動：因此，壓桿將在正視圖平面內屈曲。例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法工作安全因數(shù)：z=132.6z=zl/iz,因此，壓桿將在正視圖平面內屈曲。nw>[n]st=1.8壓桿的穩(wěn)定性是安全的例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法已知：圖所示的結構中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為

d＝20mm，二者材料均為

Q235鋼。結構受力如圖中所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。強度安全因數(shù)ns＝1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st＝1.8。校核:此結構是否安全。例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法解：在給定的結構中共有兩個構件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題。現(xiàn)分別校核如下：

1、大梁AB的強度校核大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險截面，其上的彎矩和軸力分別為

例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法解：1、大梁AB的強度校核由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的

Wz=102cm3=102103mm3；A＝21.5cm2＝21.5102mm2

由此得到梁內最大應力例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法解：1、大梁AB的強度校核由此得到梁內最大應力Q235鋼的許用應力

max略大于[]，但（max一[]）100％/[]＝0.7％＜5％，工程上仍認為是安全的。

例題壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法解：2、

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力

因為是圓截面桿,故慣性半徑

又因為兩端為球鉸約束＝1.0，所以

壓桿CD為細長桿例題需采用歐拉公式計算其臨界應力于是，壓桿的工作安全因數(shù)

這一結果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。上述兩項計算結果表明，整個結構的強度和穩(wěn)定性都是安全的。

壓桿穩(wěn)定性設計的安全因數(shù)法結論與討論穩(wěn)定設計的重要性影響壓桿承載能力的因素提高壓桿承載能力的主要途徑穩(wěn)定設計中需要注意的幾個重要問題要正確應用歐拉公式結論與討論穩(wěn)定設計的重要性由于受壓桿的失穩(wěn)而使整個結構發(fā)生坍塌，不僅會造成物質上的巨大損失，而且還危及人民的生命安全。在19世紀末，瑞士的一座鐵橋，當一輛客車通過時，橋梁桁架中的壓桿失穩(wěn)，致使橋發(fā)生災難性坍塌，大約有200人受難。加拿大和俄國的一些鐵路橋梁也曾經(jīng)由于壓桿失穩(wěn)而造成災難性事故。雖然科學家和工程師早就面對著這類災害，進行了大量的研究，采取了很多預防措施，但直到現(xiàn)在還不能完全終止這種災害的發(fā)生。

結論與討論

1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高層建筑的高54.2m、長17.25m、總重565.4kN大型腳手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受傷。

橫桿之間的距離太大2.2m>規(guī)定值1.7m;

地面未夯實，局部桿受力大；

與墻體連接點太少；

安全因數(shù)太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。穩(wěn)定設計的重要性結論與討論影響壓桿承載能力的因素影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強度的因素一般情形下，控制構件強度的因素主要是個別危險截面上的內力、危險面的幾何形狀和尺寸。而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構形轉變?yōu)閺澢胶鈽嬓?，這一過程不是某個截面或某幾個截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結果。所以，個別截面的削弱對于壓桿臨界載荷的數(shù)值影響不大。

結論與討論兩端鉸支的壓桿，若在某一截面處開一小孔，對強度和穩(wěn)定性將會產(chǎn)生什么影響？

影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強度的因素影響壓桿承載能力的因素結論與討論對于細長桿—由于其臨界載荷為

所以，影響承載能力的因素較多。臨界載荷不僅與材料的彈性模量（E）有關，而且與長細比有關。長細比包含了截面形狀、幾何尺寸以及約束條件等多種因素。

影響壓桿承載能力的因素對于中長桿，臨界載荷影響其承載能力的主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細比，當然還有壓桿的橫截面面積。

對于粗短桿,因為不發(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服或破壞，故

結論與討論分析有幾種屈曲可能；每種情形下的歐拉臨界力如何計算？影響壓桿承載能力的因素結論與討論正確應用歐拉公式

首先，只有細長桿才能應用歐拉公式計算其臨界載荷。所謂細長桿，不能只看壓桿的長度，而要綜合考慮長度、約束性質以及截面的慣性矩。也就是要根據(jù)長細比和材料的性能判斷是不是細長桿。

其次，要正確確定橫截面的慣性矩。為此，必須判斷屈曲時．壓桿的橫截面將繞哪一根慣性主軸轉動。

如何確定？提高壓桿承載能力的主要途徑結論與討論為了提高壓桿承載能力，防止屈曲失效，必須綜合考慮桿長、支承性質、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。盡量減小壓桿長度對于細長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小壓桿長度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結構或增加支點可以達到減小壓桿長度、提高壓桿承載能力的目的。圖示的兩種桁架，其中的①