第四五章課后作業(yè)答案-new

第4章數(shù)值積分與數(shù)值微確定下列求積中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積具有的代數(shù)精∫ （1）f(x)dx≈Af(?h)+Af(0)+ 解（1）中給出的求積中,已給出三個求積節(jié)點分別為：x0=?h,x1=0,x2=h,相應(yīng)的求積系PS:想要求得求積的代數(shù)精度,則必須給出完整的求積,即,求積節(jié)點和求積系數(shù)必須都已知。因此,在求求積的代數(shù)精度之前需先求出求積系數(shù)。三個未知數(shù)需三個方程,假設(shè)該求積公將f(x)=1,x,x2分別代入兩端并令其左右相等,A?1+A0+A1=3?hA?1+hA1=0,h2A?1+h2A1=2h3.3解得A?1=A1=h,A0=4h,從而求積至少具有2次代數(shù)精度.則求積為 ∫ 又由于f(xx3,x4時

f(x)dx f(?h)33

f(0) f ∫x3dx

1x4|h=0

(?h)3

∫

? x4dx

h5

h53

(h)43

(3∫因此?hf(x)dx

hf(?h)

hf3(h)具有3次代數(shù)分別用梯形和計算下列積分0（1）∫1xdx,n0解:有題意(n=8)知,利用復(fù)合梯形和復(fù)合計算積分。 ∫ hf(x)dx=

[f(xk)+f(xk+1)]=2[f(a)

f(xk)+f(b)],h

用復(fù)合梯形,a=0,b=1,n=8,h=1,f(x) x,xk=1k,k=1,2,··· 復(fù)

T8

2[f(0) f(xk)+f(1)]= ∫f(x)dx

h

[f(xk)+4f(xk+1)+f 6 h 6[f(a)+b?

f(xk+1)2

f(xk)+f1h ,xk=a+kh,xk+1=a+(k x

12用復(fù)合,a=0,b=1,n=8,h=8,f(x)=4+x2,xk=8k,xk+12

(k+),k=1,2,···,S8

h[f(a)+4

f(xk+1)2

f(xk)+f(1)]= 04. 求積分∫1e?xdx并估計誤差0解: b? a+S [f(a)+4f )+f 故 S

? 方法一：誤差

=6

+4e2+ ]= R[f]=?b?a(b?a)4f)ηη∈(a, 從|R[f]| |

b?

(b?a

η 1η∈[0,1]180 1 1e0= 180以上解題過程適用于誤差表達(dá)式已知的情形.若誤差未知可通過求積的精度得到誤差方法二 求 0f(x)dx≈6[f(0)+4f(2)+f0可驗證其具有3次代數(shù)精度,則R[f]=Kf31)ηη∈(a,b),K待定.利用f(x)=x4代入求積可0∫ 1[0+4( 044K4!=R[f]44

xdx? 2)+1]=?120,K=?從而|R[f]|=|1f)η≤ 2 2方法三：積分可以求出準(zhǔn)確

1e?xdx=?e?x|1=1?e?1.求積S=1[e?0+4e?1

],則求積的余項為R[f]

∫1

dx?S

2e–2e–

–7

≈ 10.試構(gòu)造型求積

∫1

√f(x)dx≈A0f(x0)+A1f 解:該為兩點型求積,需要確定四個未知參數(shù)方法一：確定四個未知參數(shù),則需要四個方程。分別令f(x)=1,x,x2,x3代入求積精確成立,A0+A1=A+,2A1=

可解得x0=1(3?

√6),x1=1(3+

x3A0+x3A1=√ 6)進(jìn)而可得A01

√5,A1=1?

√5.則可得7求

∫ ∫ 1 1 x0√f(x)dx≈(1+ 6)f(7(3? 5))+(1?x0

)f((3+

5優(yōu)缺點：思路簡單 計算復(fù)雜x 2 0方法二：權(quán)函數(shù)ρ(x)=√1。利用正交多項式的方法(∫1p(x)ω(x)dx=0,p(x)∈H)先求出 求積的求積節(jié)點, x 2 0型求積的求積節(jié)點是關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)=

的正交多項式零點x0及x1,設(shè)ω2(x)=xx(x?x0)(x?x1)=x2+bx+c,由正交性知ω2(x)與1及x帶權(quán) 正交,即x 于是可

1×0

ω2(x)dx=0,

x×0

xω2(x)dx=由此解得b?6,c=3.

2+2b+2c=

2+2b

2c=3

ω2(x)=x2?6x+3 令ω2(x)=0,則得x0=1(3?26),x1=1(3+26).由于兩個節(jié)點的型求積具有3次代 精度, 對f(x)=1,x精確成立 A0+A1=3x0A0+x1A1=3 由此可得A0=1+15,A0=1?15.則可得型求積 3∫1 1

1 x0√f(x)dx≈(1+ 6)f(7(3? 5))+(1?x0

)f((3+

5優(yōu)點：思路清晰 分解計算，減少計算量114.用下列方法計算積分31dy1（2）三點及五點∫解：可使用-勒讓德,因其節(jié)點已確定.先將積分區(qū)間變換到[?1,1],作變換y=t+∫則當(dāng)y∈[1,3]時,t∈[?1,1]且dy= 31dy=∫ 11三點-勒讓德,其中f(t)=1

?1∫ ∫∫ ∫ dy1

f(t)dt≈9f(?5)+9f(0)+9f

)= 5五點-勒讓德,其中f(t)=1∫3

dy

∫f(t)dt≈ f )+ f 1∫3

f(0)+ f )+ f 3因為1ydy=lny|1=ln3?ln1= ,可見五 更精確用列主元消去法解線性方

第5章解線性方程12x1?3x2+x3=?18x1+3x2?x3=?15,x1+x2+x3=6,并求出系數(shù)矩陣A的行列式（即detA）解：列主元消去法每次 消去法之前需要先選列主元3(A|b)3,1116因max{|12||18||1|}18,第一行和第二行交換3?3,1116令m21=?2,m31=?1,消去除列主元外的第一列 3 30 0 因max{|1||7|}=7,第二行和第三行交換 7令m32?67

3?183 3 所以解得x33x22x1矩陣交換行改變矩陣的行列式。

1 3 1 1 1|A|= 2

22= 5用直接三角分解（爾分解）求線性方程1x1+1x2+1x3= 1x1+1x2+1x3 21x1+x2+x3=2的解解:

u11 A 2則有對應(yīng)元素相等,2

U的第一行u11=1,u12=1,u13=1 L的第一列l(wèi)21u11=1?l21=4,l31u11=1?l31 U的第二行l(wèi)21u12u22=1?u22=?1,l21u13u23=1?u23 L的第二列l(wèi)31u12l32u22=1?l32=U的第三行l(wèi)31u13l32u23u33=1?u33=13故A的爾分解為

111456111456A 0?1 ?

= 2?36 其中L為單位下三角矩陣,U為上三角矩陣.線性方程組Ax=b轉(zhuǎn)化為兩個三角矩陣Lyb,Ux解Ly=b,得y19y2=?4y3解Ux=y,得x3=?177.69x2=476.92x1=11.下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角矩陣U為上三角矩陣）？若能分解那么分解是12311126A241,B 1,C25.46 33 615解且分解是唯一123467A241?241=467123解：A解且分解