數形結合思想方法在中學數學學習中的應用舉例

數形結合思想方法在中學數學學習中的應用舉例數形結合思想辦法在中學數學學習中的應用舉例

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1671-0568〔2022〕19-0033-03

一、數學思想辦法的含義

數學家和數學教育工作者從不同的角度論述了數學思想辦法，其中最有影響力的是基于哲學的角度。所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。數學思想比一般的數學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、豐盛，而前者比后者更本質、深刻。數學辦法那么是指在從數學的角度提出問題、解決問題的過程中所采用的各種方式、伎倆、途徑等。

數學思想、觀點、辦法三者相互關聯(lián)、密不可分：如果人們站在某個位置，從某個角度運用數學去察看和思考問題，則數學思想也就成了一種觀點；而對于數學辦法來說，思想是其相應辦法的精神實質和理論根底，辦法那么是踐行某種思想的技術伎倆。運用數學辦法來解決問題都包含了數學思想，數學思想那么通過辦法來體現。

二、中學數學中常用的數學思想辦法

在中學數學教學體系中，一些重要、典型的數學思想辦法較為常見，常用的有如下幾種：轉換化歸的思想辦法、函數與方程的思想辦法、數形結合思想辦法、極限思想辦法。其中，數形結合思想辦法最為常用，下面將對數形結合思想辦法進行簡要表明。

三、數形結合思想辦法

1.數形結合思想辦法的涵義

數形結合思想辦法中的“數〞可以廣義地理解為數學文字表征，即數字、文字、式子、數學概念、數學結構、數學性質、數學定理等概念和命題；相應地，“形〞可以理解為圖形表征，即實物、圖象、圖形、符號等。

數學問題中常常出現“數〞和“形〞的形態(tài)，兩者為研究對象的不同側面，通過數形結合可以將數學問題簡單化、具體化，可以通過數量關系和圖形性質之間的彼此轉化或者綜合起來分析、解決問題。數形結合思想辦法不僅對其所含的數學意義進行了分析，還揭示了其所蘊含的幾何直觀，實現了空間形式直觀形象與數量關系精確刻畫的有機結合。

2.采用數形結合思想辦法的意義

“數學思想蘊含在數學知識形成、開展和應用的過程中，是數學知識和辦法在更高層次上的抽象和概括，如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、數形結合、隨機等。〞由此可見，新課標把數形結合思想辦法放在很重要的位置上。數與形貫通中學數學的整個知識體系，這兩者的結合是教學的重點、難點。示例，有理數可以用數軸上的點來表示，有理數的相反數、絕對值等都具有一定的幾何意義。再如，針對列方程解應用題，解題的有效辦法就是找到等量關系列方程，但通過文字表述來尋找等量關系具有一定的難度，此時，較為有效的辦法就是結合題意畫出示意圖，并充沛利用圖形的形象化、直觀性、簡單化等優(yōu)勢，將問題化繁為簡，化難為易。

而在高中數學課程中，數形結合的問題那么更為普遍，所以數形結合的思想也就顯得尤為重要。示例，在解匯合題時，就可以通過圖示法直觀、形象地展現匯合與元素以及匯合之間的關系。實踐證明，數形結合在解決二次、對數、指數、三角函數局部問題時發(fā)揮著重要作用：可以通過圖象直觀地表示函數關系，從而更高效、準確地展示函數的單調性、奇偶性等，最終到達分析、解決問題的目的。

3.數形結合思想辦法在中學數學學習中的具體應用舉例

在數形結合思想辦法中，“數〞研究的主要是代數元素，“形〞研究的那么是幾何元素，它們之所以有對應關系，源于研究的是同一個問題，只是研究角度不同而已。對于一個問題，我們從幾何角度認識，能獲得幾何解法；而從代數角度認識，那么能夠獲得代數的解決計劃。

筆者認為，數形結合具體可以體現為“以數助形〞“以形助數〞。其中，“以數助形〞是以“數〞為伎倆，以“形〞為目的，充沛利用數的精確性、嚴密性等優(yōu)勢，來表述形的特性內容，如應用曲線方程來精確地闡明曲線的幾何性質等；而“以形助數〞那么以“形〞為伎倆，以“數〞為目的，它利用形的生動性、直觀性來說明數之間的聯(lián)系。

〔1〕以數助形。學生在研究幾何問題時，需要通過分析圖形中的數量關系來探討圖形的結構和性質。經常用到的辦法是通過建立坐標系，化幾何問題為代數問題，即坐標法。另外，比擬常用的辦法還有三角法和向量法。

第一，利用坐標法解決幾何問題。在研究幾何問題時利用坐標系，可以對幾何圖形建立適當的坐標系，把幾何圖形轉化成代數方程，從而用代數的辦法解決幾何問題。用坐標法求解幾何問題的步驟是：①建立圖形〔立體圖形〕與空間向量的聯(lián)系，用坐標表示問題中所波及的點、線、面，把幾何問題轉化為代數問題；②通過坐標運算，研究點、線、面之間的位置關系；③根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題。

實踐證明，利用坐標系解決幾何問題，可以使復雜的問題簡單化。因此，在解決幾何問題時，如果找不到直接的解決思路，那就可以把它放在直角坐標系中，從而實現順利解題。筆者認為，在利用坐標系解決幾何問題的過程中，建立坐標系是最關鍵的一步。對于平面幾何問題，只需使用平面直角坐標系就可以解決，而對于空間立體幾何問題，那么需要建立空間直角坐標系。值得注意的是，在確定坐標軸時，要盡量使圖形中的各邊、各頂點都落在坐標軸上，這樣既能很方便地表示出各頂點坐標，而且求解的過程也很簡便，數據相對較小，更容易計算。

第二，利用三角法解決幾何問題。學生在解決實際問題時，時常會遇到一些“不能達到的距離問題〞“不能觸及的高度問題〞“測量工具不夠的情況下測量角度的問題〞，或者是“航海問題〞“計算面積問題〞等，此時是不能直接從原模型中計算出來的，對此，教師就可以引導學生建立數學模型，將它們轉化為三角形，用正弦定理、余弦定理等三角形的工具來解決。解決這一類題的步驟是：①分析題意，分清已知與未知，畫出示意圖；②把題目中的已知量和未知量都放在三角形中，建立解三角形的模型；③利用正弦和余弦定理，把所要求解的目標解出來。第三，利用向量法解決幾何問題。向量是既有大小又有方向的量，大小是代數方面的表現，方向是幾何方面的表現，所以向量本身是一個數形結合的產物。用向量解決平面幾何問題的步驟如下：①建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系，用向量表示問題中波及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題。示例兩條直線相互垂直，就可以用兩條直線的方向向量a《b=0來表示；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；③把運算結果“翻譯〞成幾何關系。示例a=？姿b，表示以a和b為方向的兩條直線相互平行。用向量研究平面幾何問題，是向量的一個重要應用，也是高考的熱點，主要考查應用向量的數量積和線性運算去解決平面幾何中的長度、夾角、平行、垂直等問題。

〔2〕以形助數。在思考和解決代數問題時，對于某些從外表上看來與幾何毫不相關的概念和問題，有時可以從某些特定的角度出發(fā)，畫出一個圖形或者是示意圖，把所要討論的問題進行幾何直觀的描述，這樣就會對問題的求解提供很多有益的啟示。由此可見，借助圖形可以把代數問題中的數量關系揭示得更加直觀、形象。

我們常用的運用幾何思想解決代數問題的辦法有：利用函數的圖象解決函數問題；把函數圖象與軸的交點看成是方程的根，從而解決方程和不等式問題；通過畫出約束條件表示的區(qū)域，然后求出目標函數的最優(yōu)解，從而解決線性規(guī)劃問題等。

第一，利用函數圖象來解決函數問題。函數的圖象和性質是利用數形結合思想辦法解決問題的良好載體。在平時的函數學習中，我們常見的函數圖象與函數性質的對應主要有下列幾個方面：函數的定義域、值域與坐標軸全部或者是局部對應；函數的最大值和最小值與函數圖象的最高點和最低點對應；函數的單調性表現為函數圖象的走向；函數的奇偶性表現在函數圖象是關于原點對稱還是關于y軸對稱；函數的周期性表現在函數圖象是否有規(guī)律地重復出現或是重疊。學生知道函數圖象與性質的以上對應，那就可以充沛利用數形結合的數學思想辦法來解決函數問題。

第二，利用函數圖象解決方程和不等式問題。方程的根和函數的零點〔函數圖象與x軸交點的橫坐標〕是一一對應的，解方程時如果遇到一些不能用求根公式的方程，這時我們就可以利用函數圖象來找出函數的零點，即方程的根。此外，還有一類題目可以把方程的左右兩邊看成是兩個函數，在同一個坐標系中做出兩個函數的圖象，這兩個圖象的交點個數就是函數的共同解的個數，交點的橫坐標就是方程的根。

不等式問題同理，因為不等式就是把方程中的等號換成不等號。在方程中，方程的根可以看成是函數的零點，即函數圖象與x軸交點的橫坐標。在不等式中，不等式的解集和方程也是相似的：當不等式大于零時，就代表著函數圖象在x軸上方時對應的x的值；當不等式小于零時，代表著函數圖象在x軸下方時所對應的x的值。所以在解不等式時，把函數圖象畫出來，可以通過察看函數圖象從而得到不等式的解集。特別地，在解決高次不等式問題時，首先把不等式分解成一次式乘積的形式，使用穿針引線法把標在數軸上的各個根連接起來，注意奇過偶不過的原那么，然后把數軸上方或下方對應的x的值表示出來就是不等式的解集。

第三，利用函數圖象解決線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題是高考中的常考題目，這類問題一般是先給出一個不等式組，稱之為約束條件，然后給出一個函數〔目標函數〕，來求目標函數的最大值或最小值問題。解決這類問題的一般步驟是：①在平面直角坐標系中做出可行域〔約束條件所表示的區(qū)域〕；②在了解目標函數幾何意義的根底上，通過一系列辦法將目標函數進行變形；③確定最優(yōu)解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而得到最優(yōu)解；④求最值：將最優(yōu)解代入目標函數即可求出最大值或最小值。

有時候題目不會直接給出目標函數和約束條件，而是給出一個應用題的形式，這時，我們就需要分析里邊的數據關系，列出目標函數和約束條件，然后再根據求解典型線性規(guī)劃問題的步驟去解答。

第四，利用函數圖象解決數列的問題。我們可以把數列看成是一類特殊的函數，它的圖象就是一些孤立的點。特別是對于等差數列，它的圖象就是一條直線上孤立的點，它的通項公式是一次函數，它的前N項和公式是常數項為零的二次函數。既然數列是一類特殊的函數，當然可以利用函數圖象來解決數列的問題。但是，要注意的是數列的定義域和函數的定義域是不一樣的，數列的定義域是不連續(xù)的，它只有一些離散的點。比方說等差數列{an}的前N項和為Sn，通項公式為an，則假設要求滿足an≥Sn時n的取值，就可以通過畫出對應的一次函數和二次函數的圖象來求解。

但不是所有數列的題目都可以用數形結合的辦法，只有當函數圖象很容易畫出時求解類似的問題才比擬簡單。所以運用數形結合的思想辦法來解決數列問題最常見的問題是等差數列的問題。

除了以上4種以形助數的情況外，還有很多可以運用數形結合思想辦法來解決的數學問題。示例，利用韋恩圖或數軸的辦法表示匯合，這樣利用數形結合的辦法，可以使得某些