第2講 平面向量的基本定理及向量坐標運算

44第2講

平面向量的基本定理及向量坐標運算一、選擇題1．已知平面向量＝(1)，b＝－，x)，則向量＋()．A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線解析

由題意得a＋b＝(x－1＋x2

)＝(0,1＋x

)，易知a＋b平行于y．答案

C2．已知平面向量＝(1,2)，b＝－2，)，且∥b，則2＋3b＝()．A．(－2，－C．(－4，－

B．(－3，－6)D．(－5，－10)解析

由＝(1,2)，b＝－2，m)，且∥b，得1×m＝2×(－2)

m＝－4，從而b＝(－2－那么2＋3b＝2×(1,2)＋3×(2－4)＝－4－．答案

C3．設(shè)向量a(1－3)，＝－，c＝(－1－2)，若表示向量a,4b－2c,2(a－)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊，則向量為()．A．B．－2,6)C．，－6)

D．(－2，－解析

設(shè)d(，y，由題意知a，－4－2c－6,20)2(－)＝(4a4－2c－c)d0x－2＝－以d(－2－6)故選答案

D4．知向量a＝(1,2)，＝，＝．若λ為實數(shù)，(＋λb)∥，則λ＝()．1

B.

12

C．1D．解析

依題意得aλ＝(1λ，，

2aab2aab1由aλb∥，得1λ)43×＝，∴λ＝答案

B5.若向量=（1,2=（3,4AC=()A（4,6）B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)解析因為=AB=,所以選A.答案A6．若，β是一組基底，向量x＋β(x，y∈R，則稱(x，y)為向量γ在基底下的坐標已知向量在基底p＝＝(2,1)的坐標為(2,2)，則a另一組基底m＝－，下的坐標為

()．A．C．(－

B．，－2)D．(0,2)解析

∵a基底p下的坐標為(－，即a－2＋2＝，令axmyn(xyx2)y2，∴即＝42.∴a基底mn的坐標(0,2)答案

D二、填空題17．若三點(2,2)，B(a,，C(0，b)(≠0)線，則＋的值為_______．解析

→→＝(a22)AC－2b，依題意，(ab－4，11即ab2a＝0所以＋＝.答案

128．設(shè)向量，b足|a|＝5，b＝(2,1)，且a與b方向相反，則a的坐標為________．解析

設(shè)＝λb(＜0)，則||＝|λ||b|，

，ab122abaababa，ab122abaababa42ab∴|λ|＝

||||又|b|＝5，|a|＝5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a＝λb＝－＝－4，－2)．答案

(－4，－→→→9．設(shè)OA＝(1，－2)，OB＝(a，－，＝(－0)，a，b，O坐標原點，12若A，，C三點共線，則＋的最小值為_解析

→→→→→→＝－OA(a1,1)＝OCOA(b1,2)．→→∵A，C點共線，∴ABAC∴2(a1)(－b1)，∴＋b1.∴＋＝a＋bb4a＝4＋≥4

b4a·＝b1當且僅當＝，即a，b時取等號．12∴＋的最小值是8.答案

810．在平面直角坐標系中，四邊形的邊ABDC，AD∥.已知點A(－2,0)，B(6,8)，(8,6)，則D的坐標為________．解析

由條件中的四邊形的對邊分別平行，可以判斷該四邊形是→→平行四邊形設(shè)()則有＝DC即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(y)，解得(x，)＝(0，－2)．答案

(0，－三、解答題→→→→→1111．已點A(－1,2)，(2,8)以及＝AB，＝－，求點，坐標和33的坐標．

12123333331331212333333133解析

設(shè)點C，的坐標分別為xy)(xy)1122→

→由題意得＝(x1，y－2)，＝(3,6)，11→

→DA＝－1－x2－y)，＝(－3，－6)．2,2→→→→11因為A＝AB，＝－，所以有33＋1＝，－2＝，1＝0，解得＝4，1

－x＝1，和2.2＝－2，和＝0.2→所以點C，的坐標分別是0,4)、(－2,0)，從而C＝(－2，－4)．12已知a＝(1,2)，＝(－，當為何值時，ka＋與a－3平行？平行時它們是同向還是反向？解

法一

ka＋＝＋－＝(k－3,2＋2)，a－3＝(1,2)－3(－3,2)＝，－4)，當ka＋與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)使ka＋＝λa3)，由－k＋2)＝(10，－4)得，310，＋2λ.

1解得k＝＝－，1∴當k＝－時，ka＋與a－3平行，11這時ka＋＝－a＋b＝－(a－b．1∵λ＝－<0，∴a＋b與a3反向．法二

由法一知ka＋＝(k－3,2k＋，a－3＝(10，－4)，∵k＋與－b平行1∴－3)×(－10(2＋2)＝，解得k＝－，此時ka＋＝－3，－＋2(a－3)．

3→22222244256523→222222442565225555mi1∴當k＝－時，ka＋與a－3平行，并且反向．13在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量a＝(2,1)，，θ，t)，→→→→若a，且||＝5|OA，求向量OB的坐標；若a，求＝cosθ－cosθ＋t→解∵＝(cosθ－1，)，

2

的最小值．→又a∥，∴2t－θ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t①→→又∵AB＝|，∴－1)＋t＝5.②由①②得，5t

2

＝5，∴＝1.t＝±1.當t＝1時，θ＝3(舍去)，當t＝－1時，θ＝－1，→∴B(－1，－，∴OB＝(－1，－．由(1)可知t＝

cosθ－12

，θ－151∴y＝θ－θ＋＝θ－θ＋＝θ－＝θ－，453∴當cosθ＝，y＝－.→→→14．已知O(0,0)，(1,2)，(4,5)及O＝OA＋，求(1)t為何值時，Px上？P在y上？P第二象限？(2)四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．→→→解

(1)＝＋＝(1＋32＋3t)若Px軸上2＋3＝0∴＝2