《思想極限與極限思想》常平鎮(zhèn)中心小學(xué)葉麗謙

思想的極限與極限思想——《圓的面積》教學(xué)設(shè)計東莞市常平鎮(zhèn)中心小學(xué)葉麗謙【教學(xué)內(nèi)容】人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級上冊，第67頁?！窘滩姆治觥俊秷A的面積》是在圓的認識、面積概念、直邊圖形的面積計算等知識的基礎(chǔ)上教學(xué)的，“曲邊圖形”的面積推導(dǎo)是第一次出現(xiàn)，要它轉(zhuǎn)化成“直邊圖形”有一定難度。教材為了減輕難度，首先讓學(xué)生在硬紙上畫一個圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，看有什么發(fā)現(xiàn)。目的之處在于學(xué)生通過觀察、想象等分份數(shù)無限加倍時的狀態(tài)，形象直觀地感悟“化曲為直”的過程，體會極限思想的神奇，不但推導(dǎo)出圓的面積計算公式，而且逐步由感性認識上升為理性認識，有效發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維能力?！緦W(xué)情分析】學(xué)生之前已了解圓的特征、學(xué)會計算圓周長的計算以及學(xué)習(xí)過由線段圍成的平面圖形的面積計算公式。而圓這樣的曲線圖形的面積計算，學(xué)生是第一次接觸到，如何推導(dǎo)圓的面積公式還是有一定的難度。但是六年級學(xué)生已初步具有類推、轉(zhuǎn)化等思想方法，學(xué)好本課內(nèi)容將會對學(xué)生的空間觀念、解決問題能力等有很大的提高?！驹O(shè)計理念】本課教學(xué)僅僅圍繞“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想”這一重要課程目標，整體把握落實“化曲為直，感悟極限，歸納抽象”的核心目標來開展教學(xué)。這是學(xué)生第一次親歷從有限到無限的認識過程，因此“圓的面積”教學(xué)是滲透極限思想的良好契機。第一次是從數(shù)方格中滲透，在估計圓的面積大小中感悟到度量單位越小，圓的面積越精確。第二次是從剪拼成直邊圖形中滲透，在突破難點時感悟“無限逼近”和“等積變換”的含義，發(fā)展空間觀念。第三次是從分割成直邊圖形中滲透，體會到圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，其面積越接近圓的面積。通過這一主線來完成對新知的建構(gòu)過程，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)解決問題的綜合能力?！窘虒W(xué)目標】知識與技能目標：引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出圓面積的計算公式，并能運用圓面積知識解決一些簡單實際的問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。過程與方法目標：經(jīng)歷圓的面積計算公式的推導(dǎo)過程，體會“轉(zhuǎn)化”和“極限”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展空間觀念。情感態(tài)度與價值觀目標：感悟數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，增強合作交流的意識，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重點】掌握圓的面積計算公式，能夠正確地計算圓的面積?！窘虒W(xué)難點】理解圓的面積計算公式的推導(dǎo)過程?！窘虒W(xué)準備】【教學(xué)過程】創(chuàng)設(shè)情景，提出問題（一）課件播放月亮和白玉盤的圖片談話：“少時不識月，呼作白玉盤”，從數(shù)學(xué)的眼光看，為什么詩人李白會把月亮呼作玉盤？關(guān)于這個圖形，你學(xué)過哪些知識？你還想知道什么？正月十五的月亮白玉盤學(xué)情預(yù)設(shè)：因為學(xué)情預(yù)設(shè)：因為月亮與白玉盤都是圓形，故稱月亮為玉盤。關(guān)于圓，我們知道圓有無數(shù)條半徑和直徑、圓是個軸對稱圖形、圓的周長=2πr或πd……怎么求圓所占平面的大??？這節(jié)課一起來研究圓的面積。板書課題：圓的面積。學(xué)情預(yù)設(shè)：部分學(xué)生可能通過預(yù)習(xí)自學(xué)或課外閱讀等途徑知道圓的面積計算公式，老師先給予認可，再問：為什么這么算？學(xué)情預(yù)設(shè)：部分學(xué)生可能通過預(yù)習(xí)自學(xué)或課外閱讀等途徑知道圓的面積計算公式，老師先給予認可，再問：為什么這么算？【【設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)生活情境，滲透熱愛大自然、保護環(huán)境的意識。揭題時，尊重優(yōu)生已有的知識經(jīng)驗，自然地引入新課?！慷?fù)習(xí)舊知，思考問題（一）回顧：以前推導(dǎo)圖形面積時用的方法。1、長方形：數(shù)方格2、平行四邊形：剪拼法轉(zhuǎn)化成長方形3、三角形：兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形4、梯形：兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形（二）小結(jié)：1、數(shù)方格2、轉(zhuǎn)化【【設(shè)計意圖：回顧方法，喚醒已有的思考方法和活動經(jīng)驗，為學(xué)生自主探究圓的面積做鋪墊?！咳?、合作探究，解決問題師：請利用手中的學(xué)具，嘗試得到圓的面積。（一）數(shù)方格,從測量中發(fā)現(xiàn)極限思想1、出示：半徑為2cm的圓在邊長為2cm的小方格圖里。談話：這個圓占了4個小方格，也就是4×4=16cm2，能否說明這個圓的面積就是16cm2？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圓的面積小于4r學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圓的面積小于4r2，因為圓在小方格中所占的面積大小不滿一格，無法得到準確結(jié)果，而且誤差很大。學(xué)情預(yù)設(shè)：小方格分得越小，計算出方格的面積就越接近圓的面積。學(xué)情預(yù)設(shè)：小方格分得越小，計算出方格的面積就越接近圓的面積。2、出示：半徑為2cm的圓在邊長分別為、1cm、的小方格圖。談話：閉上眼睛想象，當方格邊長越來越小，小到如沙粒、塵土一般，繼續(xù)無窮小的時候，圓所占方格的面積就是圓的面積。但數(shù)起來很麻煩，還有其他方法嗎？【【設(shè)計意圖：通過對比用不同面積單位進行測量的結(jié)果，體會面積單位越小，所得到的圓的精確度越高。深刻了解度量單位的意義，并初步滲透極限的數(shù)學(xué)思想?！浚ǘ┘羝捶?從操作中體會極限思想1、猜想圓的面積和誰有關(guān)。仔細觀察，圓的面積可能與什么關(guān)？學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能說出多種猜想，教師先給予認可；如果學(xué)生不能說出與半徑有關(guān)，教師可直接引入下面環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀察課件演示。教師利用課件變動圓的半徑的長短，面積在格子圖上不斷變化。提問：半徑變了，面積變了嗎？【【設(shè)計意圖：提供感性的學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生大膽地有指向性地猜測圓的面積與半徑有關(guān)，喚起學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的欲望?！?、探索圓的面積與半徑的關(guān)系。（1）小組合作，動手操作。在硬紙上畫一個圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發(fā)現(xiàn)什么？初步匯報：如何剪拼，把圓轉(zhuǎn)化成什么圖形？拼成的圖形與原來的圓有什么關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：預(yù)設(shè)1：把一個圓平均分成4份，拼成一個不規(guī)則圖形，面積不變。預(yù)設(shè)2：把一個圓平均分成8份，拼成一個不規(guī)則圖形，近似平行四邊形，面積不變。預(yù)設(shè)3：把一個圓平均分成16份，拼成一個不規(guī)則圖形，近似平行四邊形，面積不變。（2）結(jié)合課件，觀察反思。提問：如果把圓平均分成64份、128份、512份……無限等分下去，你有什么想法？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：分的份數(shù)越多，每一份就會越小，拼成的圖形就越接近一個長方形，而且面積不變。這樣就把求圓的面積轉(zhuǎn)化成了求長方形的面積。提問：這個近似的長方形的長和寬與圓的周長、半徑有什么關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：從上圖可以看出圓的半徑是r學(xué)情預(yù)設(shè)：從上圖可以看出圓的半徑是r，長方形的長近似圓周長的一半，也就是πr，寬近似于r。因為長方形的面積＝長×寬，所以圓的面積＝πr×r＝πr2?！驹O(shè)計意圖：借助已有數(shù)格子方法的經(jīng)驗類比推理、空間想象，進一步感悟極限思想。適時借助課件演示，幫助學(xué)生通過等積變形，經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)圓的面積計算公式。】（3）理順思路，匯總提升。根據(jù)上面的推導(dǎo)過程由上往下形成板書：如果用S表示圓的面積，那么圓的面積計算公式就是：S=πr2。小結(jié)：要求圓的面積，必須要知道圓的半徑。追問：如果已知圓的直徑，怎么求周長呢？學(xué)情預(yù)設(shè)：根據(jù)r=，則S=學(xué)情預(yù)設(shè)：根據(jù)r=，則S=π（）2?！尽驹O(shè)計意圖：鞏固圓的面積公式，要求圓的面積，要先知道圓的半徑?！浚?）同桌互說，看書質(zhì)疑?！尽驹O(shè)計意圖：語言更能訓(xùn)練思維的邏輯性和嚴密性，人人都說出來，能更好地理清推導(dǎo)過程?！扛顖A術(shù),從拓展中領(lǐng)悟極限思想提問：觀察圓內(nèi)接正4邊形、正5邊形、正6邊形、正12邊形，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)情預(yù)設(shè)：圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的形狀就越像圓，分得的每個小三角形的面積越接近小扇形的面積，三角形的底越接近圓的弧。當平均分成無限份時，就會一樣了。學(xué)情預(yù)設(shè)：圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的形狀就越像圓，分得的每個小三角形的面積越接近小扇形的面積，三角形的底越接近圓的弧。當平均分成無限份時，就會一樣了。提問：用“割圓術(shù)”的方法如何得到圓的面積？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：三角形的底相當于圓的周長的一部分，假設(shè)分得n個小三角形，則一個小三角形的底可以寫成×2πr。三角形的高相當于圓的半徑r，則一個小三角形的面積就是×2πr×r÷2，再乘三角形的數(shù)量n個，最后結(jié)果是πr2。小結(jié)：無論用什么方法，都能夠得到圓的面積S=πr2?！尽驹O(shè)計意圖：將“割圓術(shù)”這個數(shù)學(xué)文化融入推導(dǎo)圓的面積公式，進一步體會極限思想?！克?、聯(lián)系生活，實踐運用1、公園草地上一個自動旋轉(zhuǎn)噴灌裝置的射程是10m，它能噴灌的面積是多少？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：自動旋轉(zhuǎn)噴灌裝置所在位置是圓心，最遠的射程就是圓的半徑，旋轉(zhuǎn)時噴灌覆蓋到的草地面積就是r=10m的圓的面積?！尽驹O(shè)計意圖：通過實際問題的解決，學(xué)生將書本的知識轉(zhuǎn)化為能力?！?、小剛量得一棵樹干的周長是。這棵樹干的橫截面近似于圓，它的面積大約是多少？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：要求樹干橫截面的面積，也就是求圓的面積。根據(jù)已知條件，周長=，先求出r，再根據(jù)圓的面積公式，求出S=πr2=×202=1256cm2?！尽驹O(shè)計意圖：此題給學(xué)生展示了一種特殊情況，即當無法直接測量圓的半徑或直徑時，可先測量圓的周長，通過“用周長——求直徑——再求半徑——得出面積”，為學(xué)生解決實際生活中的類似問題提供了方法?！?、有一根繩子長，小紅、小東和小林分別想用這根繩子在操場上圍出一塊地。怎樣圍面積最大？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：若用的繩子圍成正方形，則正方形的面積為2；若圍成圓形，則圓的面積為㎡，因此，周長相同的情況下圓的面積最大。追問：為什么草原上蒙古包的底面是圓形的？【【設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)原理解釋生活現(xiàn)象的意識和能力。】五、總結(jié)評價，拓展延伸1、這節(jié)課你學(xué)會了什么？2、在計算圓的面積時，必須先知道什么？3、在推導(dǎo)圓的面積時，除了可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形，還可以轉(zhuǎn)化為三角形和梯形，有興趣的同學(xué)課后可以試試?！尽驹O(shè)計意圖：通過獨立思考，放手讓學(xué)生自主獲取并總結(jié)全課，理清思路。課終教師再次提出新問題，激活學(xué)生的問題意識，將化曲為圓的研究方法延伸到課后的進一步探究學(xué)習(xí)中?！俊景鍟O(shè)計】【設(shè)計反思】本課教學(xué)緊緊圍繞“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想”這一重要課程目標，整體把握落實“化曲為直，感悟極限，歸納抽象”的核心目標來開展教學(xué)。具有以下幾方面的突出特點：確立核心思想，統(tǒng)領(lǐng)多種方法，逐步感悟滲透。這是學(xué)生第一次親歷從有限到無限的認識過程，因此“圓的面積”教學(xué)是滲透極限思想的良好契機。第一次是從數(shù)方格中滲透，在估計圓的面積大小中感悟到度量單位越小，圓的面積越精確。第二次是從剪拼成直邊圖形中滲透，在突破難點時感悟“無限逼近”和“等積變換”的含義，發(fā)展空間觀念。第三次是從分割成直邊圖形中滲透，體會到圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，其面積越接近圓的面積。通過這一主線來完成對新知的建構(gòu)過程，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)解決問題的綜合能力?；仡櫻芯糠椒?，喚醒活動經(jīng)驗，搭建探究平臺?！稊?shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出“培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考”，即培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗是依靠長期活動經(jīng)驗積累獲得的，也是解決新問題、進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的根本?！皥A的面積”教學(xué)給予對面積概念及已有直邊圖形的面積計算公式的學(xué)習(xí)，那么，如何借力這些原有知識和經(jīng)驗作為遷移基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)一個真實有效、生活活潑、主動和富有個性的學(xué)習(xí)過程呢？教師在教學(xué)中組織學(xué)生回顧以往探究平面圖形的面積的研究方法，進一步揭示面積的本質(zhì)特征和知識間的內(nèi)在聯(lián)系。以喚醒學(xué)生已有思考方法和活動經(jīng)驗，為學(xué)生自主探究圓的面積營造了自由的空間。借助輔助手段，增強直觀形象，助推