廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學期摸底考試理科數(shù)學試卷(解析版)

廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學期摸底考試理科數(shù)學試卷（解析版）一、選擇題1．設(shè)集合A{xx24}B{xx10}，A（eB）（），則RA.{x2x1}B.{x2x1}C.{x1x2}D.{x1x2}【答案】B【解析】Axx4x2x2，Bxx10xx1，試題分析：2CBxx1ACBx2x1.，故RR考點：一元二次不等式的解法、集合的交集、補集運算3f（）32．已知f(x)logx，則3111A.B.C.33212D.【答案】D【解析】1233fxlog，x，且3112313試題分析：23313log3log3.11f323233考點：指數(shù)與對數(shù)運算aR“a1”是“直線axy10與直線xay10平行”的（3．設(shè)，則）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】axy10與直線xay10平行，則有試題分析：若直線第1頁共16頁aa11a21a111a1a1a1，故有，即“”是“直，且線axy10與直線xay10平行”的充要條件.考點：兩直線的位置關(guān)系、充分必要條件4．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為6、腰長為5的等腰三角形，則這個幾何體的全面積為（）2415B.C.1221A.D.【答案】D【解析】65試題分析：由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，且圓錐的底面直徑為，母線長為，用rl2r6r3，，故l5該圓錐的全面表示圓錐的底面半徑，表示圓錐的母線長，則積為Srrl33524.考點：三視圖、圓錐的表面積35．在△ABC中，，，則△ABC的面積為（）sinAABAC8512A.3B.45【答案】A【解析】ABACABACcosA80，由于AB0，AC0，故，cosA0試題分析：cosA1sinA13288510，ABAC，2cosA4SABC12ABACsinA11033ABC3，即的面積為.25第2頁共16頁考點：平面向量的數(shù)量積、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、三角形的面積6．函數(shù)f(x)ex2x3的零點所在的一個區(qū)間是（）1210,1,1,0A.B.C.2231,D.2【答案】C【解析】fx試題分析：由于函數(shù)的圖象在R上是連續(xù)的，且112111f0；fe223e40，即222f0e020320，fe2213e22e20，12f11121fxe2x3e1213e10，ff10，故函數(shù)的一個零點所在x21,1的區(qū)間是.2考點：零點存在定理x2y21(a0,b0)a2b2的漸近線與圓(x2)y1相切，則雙曲線的離7．若雙曲線22心率為（）423A.B.C.233D.2【答案】B【解析】21a0,b0的漸近線方程為ybx2ybx，設(shè)k，則試題分析：雙曲線a2b2aax2y21a0,b0的一條漸近線，將直線化為一般a2bk0，即直線是雙曲線ykx2第3頁共16頁式得kxy0，則有2k0k2123b4kk213k21k0，由于，解得，即，設(shè)雙曲3a331，化簡即得2k2c線的焦距為3t2223t，故3tc0，設(shè)b3tt0，則，a3tca2b2c23t23.3雙曲線的離心率ea3t考點：雙曲線的漸近線、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離yx3和yax27x4都相切，則的值為（）8．若過點的直線與曲線(2,0)a495A.2或B.3或C.216165D.16【答案】A【解析】過曲線yxPt,t的切線過點，對函數(shù)yx32,0試題分析：設(shè)3上的點3求導(dǎo)得y3x2，故曲線yx3上的點yt3t2xtPt,t的切線方程為33，即230tt，2，即y3t2x2t3，將點的坐標代入此切線方程得2,003t22t23t0t3解得或，（1）當時，則切線方程為t0y0，即切線為軸，此時曲線x4974a44916a0a；（2）16yax27x4與x軸相切，則2t3當時，切線的方程為y27x54，對函數(shù)yax27x4求導(dǎo)得y2ax7，令y27，則有2ax1010727，解得x，將x代入yax7x4得2aaya710410170101704，即切點坐標為,4代入切線方程得aa2aaa第4頁共16頁17010100，化簡得，解得49a，綜上所述2a42754502a或.16aaa考點：函數(shù)圖象的切線方程二、填空題z滿足，則復(fù)數(shù)的實部是.9．若復(fù)數(shù)iz2iz【答案】1【解析】2i2i112ii試題分析：iz2i，z，故復(fù)數(shù)z的實部是.1考點：復(fù)數(shù)的概念與四則運算10．(x1)9的展開式中的常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）x2【答案】84【解析】19試題分析：x的展開式的第r1項為x21xrrr1rTrC9xCrr992xx2r191r，令r，故x的展開式x219Crxx2r1rCrx9r93r93r0399TC31384.中的常數(shù)項為49考點：二項式定理11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是.第5頁共16頁300【答案】【解析】k120S031k123k320試題分析：成立，執(zhí)行第一次循環(huán)體，,；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)體，S3133，k325；k520成立，執(zhí)行第三次循環(huán)體，S313335，k527k1920S3133319，；；成立，執(zhí)行第十次循環(huán)體，k19221；k2120不成立，跳出循環(huán)體，輸出的S31331033319.193002考點：算法與程序框圖、等差數(shù)列求和xy112．已知實數(shù)x,y滿足，則zxy的最大值是.434【答案】【解析】xy1xy43x0試題分析：當，y0時，不等式即為；當x，y時，00143xy不等式43xy1即為1xy1即為y0x0；當，時，不等式4343xyxy1即為xy1，故不等式xy14310y0時，不等式；當，x434343表示的平面區(qū)域如下圖的陰影部分，作直線l:zxy，y3l:z=x-y4-4xO-3l4,0llx則z為直線在軸上的截距，由圖可知，當直線經(jīng)過區(qū)域上的點時，此時直線在第6頁共16頁z404，即z取最大值，即zxy的最大值為.x4軸上的截距最大，此時max考點：線性規(guī)劃[0,2]a[0,4]13．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則關(guān)于的方程xbx22axb0有實根的概率是.1【答案】4【解析】22axb0有實根，x試題分析：因為關(guān)于的方程x2a241b24a24b20，ab2，20a20b4ab由于，，故有，記事件A：關(guān)于的方程x22axb0有實x根，則事件A表2示的平面區(qū)域如下圖的陰影部分所示，該區(qū)域為一個等腰直角三角形，腰長為，其面積為S1222A224S248，總事件所構(gòu)成的區(qū)域為一個矩形，底邊長為，高為，其面積，故事21件A發(fā)生的概率為PASS84.Ab4(2,2)2aO考點：一元二次方程根的個數(shù)的判斷、幾何概型三、解答題f(x)Asin(x)(A0,0,0)，的最大值是1，最xR14．已知函數(shù)小第7頁共16頁正周期是2，其圖像經(jīng)過點M（1）求f(x)的解析式；(,1)．35（2）設(shè)A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，且f(A)，f(B)，求f(C)的值．513【答案】（1）fxcosx；（2）fC63.65【解析】中各未知量的值進而求出函數(shù)fx的試題分析：（1）根據(jù)題中的已知條件確定函數(shù)fx解析式；（2）在求出函數(shù)fx的解析式fxcosx之后，利用三角形的內(nèi)角和定理，將fCcosC的值轉(zhuǎn)化為A與B的和角的三角函數(shù)求解，具體轉(zhuǎn)化思路為fCcosCcosABcosAB，然后再利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及兩角和的余弦公式進行求值.A1.由T22，解得1.所以f(x)sin(x).試題解析：（1）依題意得因為函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點M(,1)，所以sin()1，即sin1.2.所以f(x)sin(x)cosx.因為0，所以235（2）由（1）得f(x)cosx，所以f(A)cosA，f(B)cosB.51341213.A,B(0,)，所以sinA1cos2A，sinB1cos2B因為5因為A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角，所以f(C)cosCcos[(AB)]cos(AB)354126365(cosAcosBsinAsinB)][().513513考點：三角函數(shù)的基本性質(zhì)、兩角和的余弦函數(shù)、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系15．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的50位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下所表示：n一次購物量（件）1≤n≤34≤n≤67≤n≤910≤n≤12n≥13xy顧客數(shù)（人）20105第8頁共16頁結(jié)算時間（分鐘/人）0.511.522.580％.已知這50位顧客中一次購物量少于10件的顧客占x（1）確定與y的值；（2）若將頻率視為概率，求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學期望；（3）在（2）的條件下，若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過．．．2分鐘的概率.x10，y5；（2）詳見解析；（3）.0.44【答案】（1）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)“這50位顧客中一次購物量少于10件的顧客占80％”這一條件求20%x出的值，然后再根據(jù)余下的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的求出y的值；（2）先確定一次購物時間所對應(yīng)的顧客數(shù)，并計算出相應(yīng)的概率，然后再列出隨機變量的分布列并計算數(shù)學期望；（3）先確定2位顧客需結(jié)算時間總和不超過2分鐘的不同組合，并結(jié)合獨立事件的概率進行計算即可.試題解析：（1）依題意得，x20105080%，，解得x，.5y5020%10y5（2）該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收集的50位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為50的隨機樣本，將頻率視為概率得，P(X0.5)100.2，P(X1)2050100.4PX(，1.5)0.2，5050P(X2)50.1P(X2.5)50.1.50，50所以X的分布列為0.511.522.5X0.20.40.20.10.1PX的數(shù)學期望為EX0.50.210.41.50.220.12.50.11.25.（3）“記該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2分鐘”為事件A，該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間為X(i1,2)，由于各顧客的結(jié)算相互獨立，且X,X的分布列12都與X的分布列相同，i所以P(A)P(X0.5)P(X0.5)P(X0.5)P(X1)P(X0.5)P(X1.5)121212P(X1)P(X0.5)P(X1)P(X1)P(X1.5)P(X0.5)1212120.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44為所求.考點：離散型隨機變量及其分布列、獨立事件的概率BAD6016．如圖，菱形ABCD的邊長為4，，ACBDO.將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐BACD，點M是棱的中BCDM22點，.第9頁共16頁OM//平面；（1）求證：ABD（2）求證：平面DOM平面ABC；（3）求二面角DABO的余弦值.213）.7【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（【解析】OM//AB，然后結(jié)合直線與平試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明OM//平面；（先利用翻折時OD與AC的相對位置2）面平行的判定定理即可證明ABD明ODAC，然后利用勾股定理證ODOB不變證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定DOM判定定理證理先證明OD平面，最終利用平面ABC與平面垂直的明平面平面ABC；（3）作OEAB，連接DE，利用（2）中的結(jié)論OD平面ABC，先證明AB平面ODE，進而說明DOE為二面角DABO的平面角，然后在DOE中計算cosDOEDABO，即可計算二面角的余弦值.OM//AB.試題解析：（1）因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以因為OM平面ABD，AB平面ABD，所以O(shè)M//ABD平面.（2）因為在菱形ABCD中，ODAC，所以在三棱錐BACD中，ODAC.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，BAD60，所以BD＝4.因為O為BD的中點，OD1BD2OM1AB222所以.因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以.因為OD2OM28DM2，所以DOM90，即ODOM.因為AC平面ABC，OM平面ABC，ACOMO，所以O(shè)D平面ABC.因為OD平面DOM，所以平面平面.DOMABC（3）作OEAB于，連結(jié)DE.由（2）知，OD平面ABC，所以O(shè)DAB.E因為ODOE＝O，所以AB平面ODE.因為DE平面ODE，所以ABDE.所以DEODABO的平面角是二面角.第10頁共16頁OEOAOB3AB，DEOD2OE27，在Rt△DOE中，OD2，cosDEOOEDE2121所以.所以二面角DABO的余弦值為77.考點：直線與平面平行、平面與平面平行、二面角12，117．已知數(shù)列{a}滿足aaa(nN*).2n11n1nn（1）求數(shù)列{a}的通項公式；n3n2n1的大小，并予以證明.（2）令bna，數(shù)列的前n項和為T，試比較T與nnnnn【答案】（1）a1；（2）詳見解析.2nn【解析】1，在的遞推式的結(jié)構(gòu)為aa2n1nN試題分析：（1）由于數(shù)列a求數(shù)列的通n1nn的通項公式；（2）先求出數(shù)列b的通項公式，根據(jù)項的時候可以利用累加法求數(shù)列ann3n2n1的大小時，其通項結(jié)構(gòu)選擇錯位相減法求出數(shù)列bn的前項和，在比較與TTnnn3n一般利用作差法，通過差的正負確定T與2n1的大小，在確定差的正負時，可以利用數(shù)n學歸納法結(jié)合二項式定理進行放縮達到證明不等式的目的.試題解析：（1）當n2時，aa(aa)(aa)(aa)12132n1nn11421.211111111112nn1n2222222112n23232又a112也適合上式，所以a1(nN*).2nn1n，所以bna2n.nn（2）由（1）得a2nn第11頁共16頁1231123nn①，所以2T因為Tn②.2222n2222n1123n23411111n由①－②得，2T，22222nn1n123121111n2所以T1nn2.n11222n1222nn12nn23n2n12n123nn2n2n2(n2)(2n2n1)Tn2因為，2n12(2n1)2nnn3n2n1n21所以確定T與的大小關(guān)系等價于比較n與的大小.2n當時，21211；當時，n1n22221；2n3當時，2323124241；??，n4；當時，n3可猜想當時，.22n1nn3證明如下：當時，2(11)nC0C1CCnnn1nnnnC0C1CCn2n22n1.n1nnnn3n2n13n2n1n1n2n3綜上所述，當或時，；當時，.TnTn考點：累加法、錯位相減法、二項式定理xy18．已知橢圓C:21(ab0)的左、右焦點分別為2F(1,0)、F(1,0)，P為橢ab21221圓上任意一點，且的最小值為.cosFPFC312C（1）求橢圓的方程；（2）動圓x2y2t2(2t3)與橢圓C相交于A、B、C、D四點，當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.10xy22【答案】（1）；（2）當t時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.126322【解析】第12頁共16頁PFPF2a（定值）這個條件并結(jié)合余弦定理以及cosFPF的2試題分析：（1）由于1211最小值為這個條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢acb3ABCD2）先設(shè)出、、、中其中一個點的坐標，然后根據(jù)這四C圓的方程；（x,y00點之間的相互對稱性將四邊形的面積用該點的坐標進行表示，結(jié)合ABCDSx,y00xy02021這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思32ABCDt想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對應(yīng)的值.C試題解析：（1）因為P是橢圓上一點，所以PFPF2a.12PFFF222122FF2在△FPF中，，由余弦定理得cosFPFPF12PFPF121212122PFPF2PFPF44a242PFPF1.12122PFPF1212PFPF22PFPFa2，當且僅當PFPFa時等號成立.因為1212124a24112a1因為，所以cosFPF.2a2212a12113.，解得a23cosFPF因為的最小值為，所以3a212xy21.C的方程為322又c1，所以2ba2c22.所以橢圓S4xy.ABCD的面積00A(x,y)，則矩形（2）設(shè)00xy2x203021y21因為0，所以20.3232332x224.203S16x2y232x1x20所以2200033x30x0，所以當x因為且2時，S取得最大值24.2200第13頁共16頁102y1，tx2y2此時20.001026時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.2所以當t考點：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)19．已知函數(shù)f(x)1ln2xx(0x2).（1）是否存在點M(a,b)，使得函數(shù)yf(x)的圖像上任意一點也在函數(shù)yf(x)的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；P關(guān)于點M對稱的點Q2n1)，其中nN*，求S；n2013f(i)f(1)f(2)f(nnn2n1Sn（2）定義i1S12a，若不等式2a(a)m1對nN*且n2n（3）在（2）的條件下，令恒成nnnm立，求實數(shù)的取值范圍.1,14025m；（3）的取值范圍是【答案】（1）存在，且點M的坐標為；（2）S2013(3ln2,).ln3【解析】試題分析：（1）先假設(shè)點根據(jù)圖象對稱的定義列式求出點M的坐標，M的坐標即可；（2）fxf2x2利用（1）中條件的條件，并注意到定義2n1122n1iSnffff中第k項與倒數(shù)第k項的和nnnni12nkkff2這一條件，并利用倒序相加法即可求出S