2021-2022學(xué)年福建省南安市高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年福建省南安市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-8 B．2 C．-2 D．8【答案】C【分析】分，兩種情況討論，利用斜率相等且兩直線不重合，即得解【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然兩條直線不平行.當(dāng)時(shí)，∵直線與直線平行，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)知兩條直線不重合，符合題意.故選：C2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線方程，直接寫出準(zhǔn)線方程即可.【詳解】因?yàn)?，其為開口向下的拋物線，故其準(zhǔn)線方程為.故選：C.3．已知正四棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)與平面所成角為，則.故選：A4．已知點(diǎn)，若直線與線段沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結(jié)合圖形得出的范圍．【詳解】直線過定點(diǎn)，且，由圖可知直線與線段沒有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足，解得，故選：B．5．如圖所示，空間四邊形中，，點(diǎn)M在上，且，N為中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】,故選：B.6．橢圓的中心O與一個(gè)焦點(diǎn)F及短軸的一個(gè)端點(diǎn)B組成等腰直角三角形FBO，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓半焦距為c，根據(jù)給定條件可得b=c，再確定a與c的關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，因橢圓的中心O與一個(gè)焦點(diǎn)F及短軸的一個(gè)端點(diǎn)B組成等腰直角三角形FBO，則有b=c，而，于是得，所以橢圓的離心率是.故選：D7．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】8．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為可求解.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，則，依題意，有，，（當(dāng)在線段上時(shí)，取等號）．故的最小值為9.故選：A.二、多選題9．設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．|PF1|＋|PF2|＝2B．離心率e＝C．△PF1F2面積的最大值為D．以線段F1F2為直徑的圓與直線相切【答案】AD【分析】由橢圓定義可判斷A；求出離心率可判斷B；當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積取得最大值，求出可判斷C；求出圓心到直線距離可判斷D.【詳解】對于A，由橢圓的定義可知，故A正確；對于B，由橢圓方程知，所以離心率，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積取得最大值，最大值為，故C錯(cuò)誤；對于D，以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為c＝1，圓心到直線的距離為＝1，即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線相切，故D正確.故選：AD.10．已知圓，直線，()．則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．圓與曲線恰有三條公切線，則D．當(dāng)時(shí)，直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)【答案】ACD【解析】利用相交直線系方程和圓系方程可判斷AD的正誤，根據(jù)圓心到直線的距離可判斷B的正誤，根據(jù)兩圓外切可判斷C的正誤.【詳解】直線可化為：，由可得，故直線恒過定點(diǎn)，故A正確.當(dāng)時(shí)，直線，圓心到該直線的距離為，因?yàn)?，故圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，故B錯(cuò).因?yàn)閳A與曲線恰有三條公切線，故兩圓外切，故，故，故C正確.當(dāng)時(shí)，直線，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，而圓，故的直線方程為，整理得到，由可得，故直線經(jīng)過點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于含參數(shù)的直線方程，可通過化簡其方程，以便于求出定點(diǎn)坐標(biāo)，而切點(diǎn)弦，則需要利用圓系來求其方程，過圓外一點(diǎn)及兩個(gè)切點(diǎn)的圓的方程可由直徑式方程得到.11．過點(diǎn)引圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線的方程．【詳解】根據(jù)題意知圓的圓心為，半徑，若切線的斜率不存在，此時(shí)切線的方程為，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則有，解可得，所以切線方程為，綜上可知，切線方程為或.故選：BC．12．設(shè)動(dòng)點(diǎn)在正方體的對角線上，記當(dāng)為鈍角時(shí)，則實(shí)數(shù)可能的取值是（

）A． B． C． D．1【答案】AB【分析】首先以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得到，再解不等式即可得到答案.【詳解】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的邊長為，則，，，，，，，所以.又因?yàn)?，，因?yàn)闉殁g角，所以，即，解得.故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡單題.三、填空題13．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，如果那么________．【答案】或．【分析】當(dāng)直線和中有一條斜率不存在時(shí)，的斜率不存在，的斜率為0滿足條件，直線的斜率均存在，由，即，求得的值.【詳解】解:因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且，所以的斜率存在，而的斜率可能不存在，下面對a進(jìn)行討論：當(dāng)，即時(shí)，的斜率不存在，的斜率為0，此時(shí)滿足．當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率均存在，設(shè)直線的斜率分別為．由得，即，解得．綜上，a的值為或．故答案為：或14．一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【詳解】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.【解析】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程15．已知點(diǎn)P是地物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線和的距離之和的最小值為________.【答案】3【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程,利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】拋物線,即x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程l2:y+1=0.由拋物線的定義,可知拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等,所以拋物線上的點(diǎn)P到直線l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距離之和的最小值,轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)(0,1)到直線l1:4x-3y-12=0的最小值,.故答案為:3.【點(diǎn)睛】解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.四、雙空題16．已知點(diǎn)為雙曲線在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為___；若，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，記直線與的斜率分別為，，則___.【答案】

4

15【分析】設(shè)，由已知條件可得，從而可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由勾股定理可得，將代入雙曲線方程結(jié)合可得關(guān)于的齊次方程，即可求離心率；由題意知：，由可得，再計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，由可得，＝，即，把代入雙曲線方程，可得，即，又，代入上式可得，即，解得或所以雙曲線的離心率；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，把、的坐?biāo)分別代入雙曲線方程，可得兩式作差可得，即，∴故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用變形公式；（3）根據(jù)條件列出關(guān)于的齊次式，兩邊同時(shí)除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.五、解答題17．（1）直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且直線與直線垂直，求直線的方程；（2）已知以為圓心的圓與圓O：相切，求圓的方程.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直關(guān)系求得斜率，從而求得直線方程；（2）設(shè)圓的半徑為，求出兩圓的圓心距，由相切條件可知，兩圓的半徑之和或差的絕對值就等于圓心距，從而求出圓的半徑，寫出圓的方程.【詳解】（1）由得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即；（2）設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為，因?yàn)閮蓤A相切，所以或，則或，所以所求圓的方程為：或.18．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線與圓A相交于兩點(diǎn).(1)求圓A的方程.(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程.（用一般式表示）【答案】(1)(2)或【分析】（1）由圓心到切線的距離等于半徑求得半徑后得圓方程；（2）由圓弦長公式求得圓心到直線的距離，然后分類討論，驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否滿足題意，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求得參數(shù)值得直線方程．【詳解】（1）由題意知：點(diǎn)到直線的距離為圓A的半徑圓A的方程為：；（2）連接，則由垂徑定理可知：且在Rt中，由勾股定理知：當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，顯然滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：由點(diǎn)到動(dòng)直線的距離為1得：，解得：此時(shí)直線的方程為：綜上，直線的方程為：或．19．如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸，D為垂足，M為PD上一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被方程C所截線段的長度【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，，則由PD⊥x軸與，得，代入，整理得；（2）由題意可求得直線方程為，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知：，，進(jìn)而由弦長公式即可求得直線被C所截線段的長度．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)镻D⊥x軸且，得，即，因?yàn)樵趫A上，得，故，整理得，故的方程為；（2）由點(diǎn)斜式知，過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，將直線方程代入的方程，得，整理得，所以，，故線段的長度為，所以直線被所截線段的長度為.20．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且，橢圓的長半軸長與雙曲線的實(shí)半軸長之差為4,離心率之比為.(1)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求.【答案】(1)橢圓方程為，雙曲線方程為(2)【分析】（1）利用題設(shè)分別求橢圓和雙曲線的基本量；（2）根據(jù)橢圓及雙曲線的定義建立等式，可求出，再用余弦定理即可.【詳解】（1）由已知得，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為、，雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長分別為、，則解得．所以．故橢圓方程為，雙曲線方程為．（2）由橢圓、雙曲線的對稱性，不妨設(shè)、分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則，所以．又，

故．21．已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．如圖所示的幾何體由等高的個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C、E、D、G四點(diǎn)共面．（1）證明：平面BCG；（2）若直線DF與平面AFB所成角為45°，求平面BDF