2023高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)4.4.1正、余弦定理撬題理

PAGEPAGE32022高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)考案第四章三角函數(shù)4.4.1正、余弦定理撬題理1．在△ABC中，假設(shè)sin2A＋sin2B<sin2C，那么△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定答案C解析由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為a2＋b2<c2.又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以三角形為鈍角三角形．2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.假設(shè)a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，那么b＝________.答案1解析由sinB＝eq\f(1,2)得B＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，因?yàn)镃＝eq\f(π,6)，所以B≠eq\f(5π,6)，所以B＝eq\f(π,6)，于是A＝eq\f(2π,3).由正弦定理，得eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(b,\f(1,2))，所以b＝1.3．在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，那么AB的取值范圍是________．答案(eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2))解析如圖，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直線AD分別交線段PB、PC于A、D兩點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，且使∠BAD＝75°，那么四邊形ABCD就是符合題意的四邊形．過(guò)C作AD的平行線交PB于點(diǎn)Q，在△PBC中，過(guò)P作BC的垂線交BC于點(diǎn)E，那么PB＝eq\f(BE,cos75°)＝eq\r(6)＋eq\r(2)；在△QBC中，由余弦定理QB2＝BC2＋QC2－2QC·BC·cos30°＝8－4eq\r(3)＝(eq\r(6)－eq\r(2))2，故QB＝eq\r(6)－eq\r(2)，所以AB的取值范圍是(eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2))．4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，那么a的值為_(kāi)_______．答案8解析由cosA＝－eq\f(1,4)得sinA＝eq\f(\r(15),4)，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，解得bc＝24，又b－c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bccosA＝22＋2×24－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，故a＝8.5．a(chǎn)，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，那么△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．答案eq\r(3)解析因?yàn)閍＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化為(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又0<A<π，故A＝eq\f(π,3)，因?yàn)閏osA＝eq\f(1,2)＝eq\f(b2＋c2－4,2bc)≥eq\f(2bc－4,2bc)，所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)．由三角形面積公式知S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\r(3)，故△ABC面積的最大值為eq\r(3).6．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，那么eq\f(sin2A,sinC)＝________.答案1解析由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(25＋36－16,2×5×6)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2×eq\f(sinA,sinC)×cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(3,4)＝1.7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.b－c＝eq\f(1,4)a,2sinB＝3sinC，那么cosA的值為_(kāi)_______．答案－eq\f(1,4)解析由2sinB＝3sinC，結(jié)合正弦定理得2b＝3c，又b－c＝eq\f(1,4)a，所以b＝eq\f(3,2)c，a＝2c.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)c))2＋c2－2c2),2×\f(3,2)c×c)＝－eq\f(1,4).8．△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sin∠B,sin∠C)；(2)假設(shè)AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長(zhǎng)．解(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得eq\f(sin∠B,sin∠C)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD