工程力學教案(詳細講稿)

文檔文檔#考慮滑動摩擦時單個物體和簡單物體系統(tǒng)的平衡問題。.1、平面任意力系的簡化2、簡化結(jié)果分析及合力距定理。主要3、平面任忌力系的平衡。內(nèi)容4、靜定和靜不定問題的概念以及物體系統(tǒng)的平衡。5、考慮摩擦時物體系統(tǒng)的平衡。1、力系簡化以及力系簡化結(jié)果對于平面情況要詳細討論。重點難點2、平面力系平衡方程的各種形式要給以必要的說明。3、物體系統(tǒng)的平衡。教學方法和手以講授為主，使用電子教案段課后問題：P47:1,2,3,4,5,6,7作業(yè)習題：P54:1,4,5,6,7,8,12,13,14練習頂習：用八草本次講稿第五章平面任意力系各力作用線在同一平面內(nèi)且任意分布的力系稱為平面任意力系。 在工程實際中經(jīng)常遇到平面任意力系的問題。例如圖5-1所示的簡支梁受到外荷載及支座反力的作用，這個力系是平面任意力系。有些結(jié)構(gòu)所受的力系本不是平面任意力系，但可以簡化為平面任意力系來處理。如圖5—2所示的屋架，可以忽略它與其它屋架之間的聯(lián)系，單獨分離出來，視為平

面結(jié)構(gòu)來考慮。屋架上的荷載及支座反力作用在屋架自身平面內(nèi)，組成一平面任意力系。對于水壩（圖5-3）這樣縱向尺寸較大的結(jié)構(gòu)，在分析時常截取單位長度（如1）的壩段來考慮，將壩段所受的力簡化為作用于中央平面內(nèi)的平面任意力系。事實上工程中的多數(shù)問題都簡化為平面任意力系問題來解決。所以，本章的內(nèi)容在工程實踐中有著重要的意義。圖5—3第一節(jié)平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點簡化設剛體受到平面任意力系Fl、F2、…、Fn的作用，如圖5—4a。在力系所在的平面內(nèi)任取一點。，稱。點為簡化中心。應用力的平移定理，將力系中的和力依次分別平移至。點，得到匯交于。點的平面匯交力系FJ、F2'、…、Fn',此外還應附加相應的力偶，構(gòu)成附加力偶系moi、mo2、…、mon（圖5—4b）。(h) (討圖5-4

平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應的各力相同，即F1 =F1,F2 =F2,…，F(xiàn)n=Fn所得平面匯交力系可以合成為一個力Ro,也作用于點O,其力矢R'等于各力矢FJ、F2'、…、Fn'的矢量和，即Ro=Fi'+F2'+-+Fn'=Fi+F2+-+Fn=2F=R' (5—1)R'稱為該力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，與簡化中心的位置無關(guān)。主矢R的大小與方向可用解析法求得。按圖5—4b所選定的坐標系Oxy,有Rx=Xi+X2+-Xn=2XRy=Yi+Y2+…Yn=2Y其中％為主矢R'與其中％為主矢R'與x軸正向間所夾的銳角。各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心(5—2)O之矩，即moi=m0(Fi),mo2=m0(F2),…， mon=m0(Fn)所得附加力偶系可以合成為同一平面內(nèi)的力偶，其力偶矩可用符號 Mo表示，它等于各附加力偶矩moi、m02、…、mon的代數(shù)和，即Mo=moi+mo2+?+mon=m0(Fi)+mo(F2)+?m0(Fn)=2mo(F) (5-3)原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和稱為原力系對簡化中心的主矩。由式(5—3)可見在選取不同的簡化中心時，每個附加力偶的力偶臂一般都要發(fā)生變化，所以主矩一般都與簡化中心的位置有關(guān)。由上述分析我們得到如下結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點簡化，可得一力和一個力偶(圖5-4c)。這個力的作用線過簡化中心，其力矢等于原力系的主矢；這個力偶的矩等于原力系對簡化中心的主矩。第二節(jié)簡化結(jié)果分析及合力矩定理平面任意力系向o點簡化，一般得一個力和一個力偶。可能出現(xiàn)的情況有四種：R中0,Mo=0,原力系簡化為一個力，力的作用線過簡化中心， 此合力的矢量為原力系的主矢即Ro=R'=2F。R'=0,Mo*0,原力系簡化為一力偶。此時該力偶就是原力系的合力偶，其力偶矩等于原力系的主矩。此時原力系的主矩與簡化中心的位置無關(guān)。R'=0,Mo=0,原力系平衡，下節(jié)將詳細討論。，R'中0,Mo*0,這種情況下，由力的平移定理的逆過程，可將力R'和力偶矩為Mo的力偶進一步合成為一合力R,如圖5-5所示。將力偶矩為Mo的力偶用兩個力R與R"表示，并使R=R=R",R"作用在點。，R作用在點o',如圖5-

5b所示。R'與R"組成一對平衡力，將其去掉后得到作用于O'點的力R,與原力系等效。因此這個力R就是原力系的合力。顯然R'=R,而合力作用線到簡化中心的距離為moMoRmoMoRR圖5-5當Mo>0時，順著Ro的方向看(圖5—5),合力R在Ro的右邊；當Mo<。時,合力R在Ro的左邊。由上分析，我們可以導出合力矩定理。由圖4—5c可見，合力對點之矩為mo(R)=R?d=M。而 Mo=?mo(F)則 mo(R)=?mo(F) (5—4)因為o點是任選的，上式有普遍意義。于是：得到合力矩定理：平面任意力系的合力對其作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。例5—1重力壩斷面如圖5-6a所示，壩上游有泥沙淤積，已知水深H=46m泥沙厚度h=6rn,水的容重Y=98kN/哥，泥沙的容重丫'=8kN/m3,已知1m長壩段所受重力W=4500kNV2=14000kNo受力圖如圖5—6b所示。試將此壩段所受的力向點o簡化，并求簡化的最后結(jié)果。

解已知水中任一點的相對壓強與距水面的距離成正比，即在坐標為y處的水壓強為p=Y(H—y)(0<y<H)o同理，泥沙壓強為p'=丫'(h—y)(0wywh)。所以上游壩面所受的分布荷載如圖5-6b所示。為了方便計算，先將分布力合成為合力中大三角形所示，其合力為Pi,則將水壓力與泥沙壓力分開計算。水壓力如圖PP1為了方便計算，先將分布力合成為合力中大三角形所示，其合力為Pi,則將水壓力與泥沙壓力分開計算。水壓力如圖PP1過三角形形心，即與壩底相距泥沙壓力如圖中的小三角形所示,P2B與壩底相距

現(xiàn)將R、P2、1-ch2mH2——10368kN21--H15.33mo3其合力設為B,則h2144kN2、W四個力向。點簡化。先求主矢。R'=EX=P1+P2=10510kNRy'=2Y=-W-W=-18500kN22RRxRy21300kNtan1旦6024再求對o的主矩 RxHhMO mO P P2—W12%9 276300kNm最后求合力R=R',其作用線馥與x*由交點坐標x為MOcsc

x 14.92m第三節(jié)平R任意力系的平衡當平面任意力系的主矢和主矩都等于零時，作用在簡化中心的匯交力系是平衡力系，附加的力偶系也是平衡力系，所以該平面任意力系一定是平衡力系。于是得到 平(5—5)面任意力系的充分與必要條件是：力系的主矢和主矩同時為零。 即(5—5)R'=0,Mo=0

用解析式表示可得 X0Y0 （5－6）上式為平面任意力系的平衡方程。 mO0 平面任意力系平衡的充分與必要條件可解析地表達為：力系中各力在其作用面內(nèi)兩相交軸上的投影的代數(shù)和分別等于零， 同時力系中各力對其作用面內(nèi)任一點之的代數(shù)和也等于零。平面任意力系的平衡方程除了由簡化結(jié)果直接得出的基本形式（ 5－6）外，還有二矩式和三矩式。二矩式平衡方程形式： X0mA0 （5－7）其中矩心的B0兩點的連線不能與x軸垂直。因為當滿足時，力系不可能簡化為一個力偶，或者是通過 A點的一合力，或者平衡。如果力系同時又滿足條件，則這個力系或者有一通過 A、B兩點連線的合力，或者平衡。如果力系又滿足條件，其中 x軸若與A、B連線垂直，力系仍有可能有通過這兩個矩心的合力，而不一定平衡；若 x軸不與 A、B連線垂直，這就排除了力系有合力的可能性。由此斷定，當式（ 5－7）的三個方程同時滿足，并附加條件矩心 A、B兩點的連線不能與 x軸垂直時，力系一定是平衡力系。三矩式平衡方程形式： mA0mB0 （5－8）其中A、B、mC衛(wèi)點不能共線。對于三矩式附加上條件后，式（ 5－8）是平面任意力系平衡的必要與充分條件。讀者可參照對式（ 5－7）的解釋自行證明。平面任意力系有三種不同形式的平衡方程組， 每種形式都只含有三個獨立的方程式，都只能求解三個未知量。應用時可根據(jù)問題的具體情況，選擇適當形式的平衡方程。平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情況。 當力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行，這樣的力系稱為平面平行力系。其平衡方程可由平面任意力系的平衡方程導出。如圖 5－7所示，在平面平行力系的作用面內(nèi)取直角坐標系 Oxy，令y軸與該力系各力的作用線平行，則不論力系平衡與否，各力在 x軸上的投影恒為零，不再具有判斷平衡與否和功能。于是平面任意力系的后兩個方程為平面平行力系的平衡方程。由（5－6）式得（5－（5－9）5－10）由（ 5－7）式得mO0mA0其中兩個矩心 mBA、0B的連線不能與各力作用線平行。平面平行力系有兩個獨立的平衡方程，可以求解兩個未知量圖5—7例5—2圖5—8a所示為一懸臂式起重機，A、B、C都是錢鏈連接。梁AB自重FG=1kN,作用在梁的中點，提升重量Fp=8kN,桿BC自重不計，求支座A的反力和桿BC所受的力。圖5-8圖5-8解(1)取梁AB為研究對象，受力圖如圖5—8b所示。A處為固定較支座，其反力用兩分力表示，桿BC為二力桿，它的約束反力沿BC軸線，并假設為拉力。取投影軸和矩心。為使每個方程中未知量盡可能少，以 A點為矩，選取直角坐標系Axy。(3)列平衡方程并求解。梁AB所受各力構(gòu)成平面任意力系，用三矩式求解：由2mA=0 —FgX2—FpX3+FTsin30oX4=013kN(2Fg3Fp) (2138)13kN40.5—FAyX4+FGX2+FpX1=040.5—FAyX4+FGX2+FpX1=0得 FAy(2FG')區(qū)U2.5kN4由2mc=0 FaxX4Xtg30o—FgX2—FpX3=0得 Fx(2Fg3皿(2138)ii.26kN人」、 4tg3040.577(4)校核 yEFx=Fax—FtXcos30o=11.26-13X0.866=0EFy=FAy—Fg—Fp+FtXsin30o=2.5—1-8-13X0.5可見計算無誤。例5—3一端固定的懸臂梁如圖5—9a所示。梁上作用均布荷載，荷載集度為q,在梁的自由端還受一集中力P和一力偶矩為m的力偶的作用。試求固定端A處的約束反力。I>I>m圖5-9解 取梁AB為研究對象。受力圖及坐標系的選取如圖5-9b所示。列平衡方2X=0,EY=0,解得2X=0,EY=0,解得由解得2m=0,Xa=0Ya—ql—P=0YA=ql+PmA—ql2/2—Pl—m=0mA=ql2/2+Pl+m例5—4塔式起得機如圖5—10所示。機身重G=220kN,作用線過塔架的中心。已知最大起吊重量P=50kN,起重懸臂長12m,軌道A、B的間距為4m,平衡錘重Q至機身中心線的距離為6m。試求：(1)確保起重機不至翻倒的平衡錘重Q的大小；(2)當Q=30kN,而起重機滿載時，軌道對A、B的約束反力。圖5-10解 取起重機整體為研究對象。其正常工作時受力如圖所示。(1)求確保起重機不至翻倒的平衡錘重Q的大小。起重機滿載時有順時針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機身滿載時而不翻倒，則必須滿足：Na>02mB=0,Q(6+2)+2G—4Na—P(12—2)=0解得 Q>(5P-G)/4=7.5kN起重機空載時有逆時針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機身空載時平衡而不翻倒，則必須滿足下列條件Nb)02mA=0, Q(6—2)+4Nb—2G=0解得 Q<G/2=110kN因此平衡錘重Q的大小應滿足7.5kN<Q<110kN(2)當Q=30kN,求滿載時的約束反力Na、Nb的大小。2mB=0,Q(6+2)+2G—4Na—P(12—2)=0解得 Na=(4Q+G—5P)/2=45kN由 2Y=0, Na+Nb-Q-G-P=0解得 Nb=Q+G+P—NA=255kN第四節(jié)靜定和超靜定問題及物體系統(tǒng)的平衡從前面的討論已經(jīng)知道，對每一種力系來說，獨立平衡方程的數(shù)目是一定的，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。對于一個平衡物體，若獨立平衡方程數(shù)目與未知數(shù)的數(shù)目恰好相等，則全部未知數(shù)可由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。我們前面所討論的都屬于這類問題。但工程上有時為了增加結(jié)構(gòu)的剛度或堅固性，常設置多余的約束，而使未知數(shù)的數(shù)目多于獨立方程的數(shù)目，未知數(shù)不能由平衡方程全部求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。圖5—11是超靜定平面問題的例子。圖a是平面平行力系，平衡方程是2個，而未知力是3個，屬于超靜定問題；圖b是平面任意力系，平衡方程是3個，而未知力有4個，因而也是超靜定問題。對于超靜定問題的求解，要考慮物體受力后的變形，列出補充方程，這些內(nèi)容將在后續(xù)課程中討論。圖5-11工程中的結(jié)構(gòu)，一般是由幾個構(gòu)件通過一定的約束聯(lián)系在一起的，稱為物體系統(tǒng)。如圖5—12所示的三角拱。作用于物體系統(tǒng)上的力，可分為內(nèi)力和外力兩大類。系統(tǒng)外的物體作用于該物體系統(tǒng)的力，稱為外力；系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。對于整個物體系統(tǒng)來說，內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，兩兩平衡，故無需考慮，如圖5—12b的較C處。而當取系統(tǒng)內(nèi)某一部分為研究對象時，作用于系統(tǒng)上的內(nèi)力變成了作用在該部分上的外力，必須在受力圖中畫出，如圖 5—12c中較C處的Fcx和Fcy。圖5-12(abc)物體系統(tǒng)平衡是靜定問題時才能應用平衡方程求解。 一般若系統(tǒng)由n個物體組成，每個平面力系作用的物體，最多列出三個獨立的平衡方程，而整個系統(tǒng)共有不超過3n個獨立的平衡方程。若系統(tǒng)中的未知力的數(shù)目等于或小于能列出的獨立的平衡方程的數(shù)目時，該系統(tǒng)就是靜定的；否則就是超靜定的問題。例5-5 圖5—13所示的人字形折梯放在光滑地面上。重P=800N的人站在梯子AC邊的中點H,C是錢鏈，已知AC=BC=2m;AD=EB=0.5m,梯子的自重不計。求地面A、B兩處的約束反力和繩DE的拉力。圖5-13解先取梯子整體為研究對象。受力圖及坐標系如圖 5-13b所示。由 E