2016年中學(xué)教師資格證數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題及答案

2016年中學(xué)教師資格證《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》試題及答案一、填空題（共10題，每題2分，共20分）1.只于自身合同的矩陣是矩陣。R埴里函 （S10JK,?“每題2分，共20分） 11.只于自身合同的矩陣是 矩陣=近.二次型〃工”三）一（石.）：，”的矩陣為□ Iv'，八覆J.設(shè)力是實(shí)對稱矩陣，則當(dāng)實(shí)數(shù)FI/：+A是正定矩陣.：4,正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為-.標(biāo)準(zhǔn)正交基下的度量矩陣為:.線性變換可對角化的充要條件為 o憶在尸液中定義線性變換仃為：儀'）=::X，寫出仃在基%,4,嗎，/下的矩陣口 J.設(shè)匕、V,都是線性空間V的子空間，且匕匚匕，若擊⑴V.-dimK，則09,敘述維數(shù)公式 10.向量值在基岡，?，…此（1）與基“、雙、…，氏（2）下的坐標(biāo)分別為了、y,且從基（1）到基⑵的過渡矩陣為/I，則芟與y的關(guān)系為二二、判斷題（共10題，每題1分，共10分）TOC\o"1-5"\h\z.線性變換在不同基下的矩陣是合同的.（ ）.設(shè)仃為網(wǎng)維線性空間P上的線性變換，則仃/+仃'（0）=^0（ ）.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.（ ）.設(shè)匕與匕分別是齊次線性方程組占+/+…+5=0與西二/二…二乙的解空間，則，，匕十七二產(chǎn)（ , I5? ￡為為正定二次型口（ ）\j=E/.數(shù)域上任意一個矩陣都合同于一對角矩陣口（ ） _.把復(fù)數(shù)域「看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，令譴=W,則仃是線性變換口（.若b是正交變換，那么。的不變子空間的真正交補(bǔ)也是。的不變子空間。（ ）.歐氏空間中不同基的度量矩陣是相似的。（ ）.若。為（〃〉I）中的微分變換，則。不可對角化0C）三、計(jì)算題（共3題，每題10分，共30分）22、1.設(shè)線性變換。在基馬,三,邑下的矩陣為4-212,求。的特征值與特征向量,921▼乙1/并判斷。是否可對角化？./取什么值時，下列二次型是正定的？/ 二工;+工；+5%；+2人;圣-2內(nèi).4+4戈”5.設(shè)三維線性空間P上的線性變換。在基馬，邑，j下的矩陣為：A-%?，仁外3,求（T在基孰,攵%（kc /o）,之下的矩陣/九四、證明題1.四、證明題1.證明：（共4題，每題10分，共40分）44= 0與"= 'o相似，其中/；力2,…，,〃是12…，〃的一個排列。.證明：和工匕是直和的充要條件為：匕I={0}（，=2,3,…,s）。.設(shè)/是"級實(shí)對稱矩陣，且才=/,證明：存在正交矩陣7,使得:.證明：/1=其中32,?〃是12…,〃的一個排列o

1/-IJ-?苦2.(9特征向量ci07.1/-IJ-?苦2.(9特征向量ci07.I答案3.充分大4.正交矩陣5.E 6.有力個線性無關(guān)的8.9.10dim化+K)=dim匕+dimV2一din】(匕IV\)10.X=AY10.X=AY—.1.x2.x3.x4.Vz-1三.1.解：/I(2)_彳|二—2-25.x6.x7.x8.V-2 -2A-\ -2=(4-5)(2+1『-22-19.x10.V(3分)所以，。的特征值為4二I（二重）和4二5。把4二I代入方程組（花一4）X=0得:2x)2x22x2-00-1-1—2玉—2x2—2a\-0 基礎(chǔ)解系為小0-1-1-2X1-2羽2a\—0因此，。屬于-1得兩個線性無關(guān)得特征向量為:因而屬于-1的全部特征向量就是尢與+k?￡?k「公取遍〃中不全為零的全部數(shù)對因此，屬于5的全部特（6分）,再用小;5代入（幾E-/1）X=O因此，屬于5的全部特1征向量是左3，k是〃中任意不等于零的數(shù)。 （9分）（10分）因?yàn)?。有三個線性無關(guān)的特征向量，所以r7（10分）‘1/-1、2.解：7的矩陣為：/二/I2=得:4</<05U2=得:4</<05Q1>0,； =1-/2>0, |/1|=-5/2-4/>04當(dāng)—〈/<0時，/'是正定的。5（2.5分）（2.5分）（2.（2.5分）（2.5分）（2.5分）kb（3）=機(jī)2.+a22（3）+姐2-3<T（Q）=3，+攵。23（731產(chǎn)43>731產(chǎn)43>（3分）（2.5分）YV的基a,a?,…,鬼，則三唯一（tu￡（/）使，。在基下的矩陣為△二—a.,k一四.1.證：任意〃維向量空間P/\即。（？）=4/，?=1,2,???,/?「。（%）=4小。（%2）=%生2-（%,）=4%,.??。在基%0,,….，下的矩陣為8（6分）.?./與4相似（1分）TOC\o"1-5"\h\z2.證：