高考數(shù)學總復習第46講解析幾何3橢圓與方程

④離心率e：ec1b(0e橢圓具有圓錐曲線統(tǒng)一的定義，橢圓是平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l（Fl上）的距離的比等于常數(shù)e0e1的點的軌跡。其中e是橢圓的離心率，定點F是橢圓的焦點，定直線l是橢圓的準線。橢圓的第二定義具有涉及焦半徑（PF）的“斜直轉(zhuǎn)化”特色（即把解決焦半PF轉(zhuǎn)化為解決PKPKl。x2

1

ab

c2a2b2 y2

1

ab

c2a2b2

x2y2（參數(shù) 0 1 ∴x2a2，y2b2，

xa

yb，得axabybxayb所圍成的矩形框yy方程不變，所以若點xyx，yy方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。x0ybB10,bB20,by軸的兩個交點。y0xaA1a,0A2a,0x軸的兩個交點。別為2a和2ba和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。RtOB2F2中，|BF|2|OB|2|OF|2，即a2b2c22 c橢圓的焦距與長軸的比e ae越接近于0c就越接近于0，從而b越接近于a特殊地，當且僅當abc0x2y2a2PxyF、

y2 (ab0

2 122 122 00P00

x2 (ab0

aey0

aey0PFc,0的距離和它到定直線lx

的距離的比是常數(shù)(ac0)時，這個點的 x2y2

b2a2

（其中

根據(jù)圖形的對稱性，橢圓有兩條準線，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，與焦點F1c,0F2c,0x

,xa2c對于中心在原點，焦點在y軸上的橢圓，與焦點F10,cF20,c)對應的準線方程分別為。ya2,y。

,

分 oo oo oo

,y（如0,0），將其坐標代入橢圓方程 a2b21 o o1或oo1 22

y2

若o o1則點P在橢圓上 若oo1P 若oo1P 分

相 兩組相 一組相 無交 無 已知橢圓Ca2b21，直線l:AxByC022

y b2

ACxa2C

a2b2

0

4a2b2B2a2A2+b2B2C2當0時，橢圓與直線相交于兩點；當0時，橢圓與直線相切于一點；當0時，橢圓與直,1k1kx11k1kx1 11k

|y1y2

11ky1 4y1 x1xy1y1

a2

設橢圓Ca2

1，直線l:AxByC0A2橢圓的最短與最遠的距離。即求dAx0By0A22：如圖，平行于直線l的動直線l'：AxBy0R與橢圓C相切時，平行線l與x Ⅱ、如圖，設橢圓C： 1的點Px,y，圓C'：xm

y2r2O'P與圓C O'P2xm2 b2

a2

2mxmb,axa b2O

的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)1

x22mxm2b2a2P'PminO'Pminr,P'PmaxO'PmaxrⅢ、若橢圓C用參數(shù)方程ybsin

O'P2xm2c2cos22amcosm2b2tcos,t1,1

0,2O'P2c2t22amtm2b2,tO'P2的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)c2t22amtm2b2在區(qū)間1,1上的最值。于是 P' O' r,P' O' r x Ⅳ、如圖，設橢圓C： 1的點Px,y，圓C'：xym

r2O'P與圓C O'P2x2ym b2

a2

2mymb,bx b2O

的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)1

y22mym2b2a2 P' O' r

P' O' r 229

y 1的焦點為F1,F2，點P在橢圓上，若|PF1|4，則|PF2 y 同時由余弦定理求得F1PF2的大小。答案：a2解：如圖，∵a29b2a27∴c ∴F1F2 PF14PF1PF22a6，∴

2224227在FPF中，由余弦定理，得cosFPF

1

∴F1PF2120，故填2,120

1(ab

0的四個頂點，F(xiàn) 答案：e 解：如圖，∵直線AB的方程為

y11 xy x2ac y設Tx,y y

解得

abac a∴∴2acb(aca a∵M為線段OT的中點，∴M( , )ac2(ac b(ac Ma2b21ab0c2c∴(ac

(ac4(ac

1，化簡得

10ac

0即即e210e30e2750,1（e275舍去e275求橢圓C是否存在平行于OAl，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OAl4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由。y3xt，那么它既要與橢圓相交，又要與直線OA4，按這要求研究t2

（2）

1(ab0)在RtAFF'中，∵AF'2

F'F2

AF2423225，∴

52aAF'AF538a43又a2b2c2，∴b 3x y∴橢圓C的方程為 （2）假設存在所求的直線lyy3xt

3xt2yy

2 3x23txt2120 33t243t2120，解得3∵直線OA與l

t 33t32t32

43,43 案例3：已知橢圓C:a2b21ab0

FlC32A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離 22求a、bCPl繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有OPOAOB成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。 和原點O到l的距離 22 坐標與直線l的參數(shù)的關(guān)系，從而確定直線l的參數(shù)，求出點22 2（Ia 3,b （IIP( ),l:x y1 ),l:x y12 , 解：（I）Fc0，直線lxyc0

∵坐標原點O到l的距離為 2 2 22

c12又∵ec ，∴a 3,b 2 x2y21 my（II）l0，∴不妨設l:xmymyAx1y1Bx2y2，∵橢圓C3

x2y1 ∴x2

3)

4my40，顯然0 定理yy ，yy 2m2 1 2m2P，使OPOAOB成立，即OPx1x2y1y2P的坐標為x1x2y1y2(xx (yy∵點P在橢圓上 1 化簡得2x23y22x23y24xx6yy6 1 1A、B2x23y262x23y26 ∴2x1x23y1y230∵xx(my1)(my1)m2yym(yy)1 1 4m

，2m2 2m2 2m2236m23

2 2m2

2m23

0，解得 2 ∴x1x22m2322，y1y2

或2 2

322，即 )22 m2時,P(3

2),l:x

2y1 m

2時,P(3,2),l:x 2y1 小值為1；求橢圓C若直線l:ykxm與橢圓CA、B兩點（A、B不是左右頂點AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標。I（ （II） ,0

1(ab

0)3ac3 1

c1.b （II）Ax1y1B(x2y2ykx由x2

1得34k

8mkx4(

3)064m2k21634k2m230，即34k2m20

4(m23且xx ,xx 34k

34k 1 ∴yy(kxm)(kxm)k2xxmk(x 1 ABD2,0ADBD

3(m24k2。34k∴

1，即y1 1，