矩陣分析與處理

關(guān)于矩陣分析與處理第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五特殊矩陣通用的特殊矩陣

常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros:產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。

ones:產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產(chǎn)生單位矩陣。

rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機矩陣。

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機矩陣。第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。

(1)建立一個3×3零矩陣。

zeros(3)

(2)建立一個3×2零矩陣。

zeros(3,2)

(3)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。

A=[123;456];%產(chǎn)生一個2×3階矩陣A

zeros(size(A))%產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.2建立隨機矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)%yi=a+(b-a)xi

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)%yi=μ+σxi

此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.2建立隨機矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五用于專門學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.3將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。

M=100+magic(5)%5階魔方矩陣每行、每列及對角線的和均為65第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積。可以用一個指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。A=[1111;8421;27931;1252551]

第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n),hij=1/(i+j-1)。

使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.4求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命令如下：

formatrat%以有理形式輸出

H=hilb(4)

H=invhilb(4)

第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長。toeplitz(x)用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如

T=toeplitz(1:6)第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五伴隨矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：

p=[1,0,-7,6];

compan(p)ans= 0 7 -6 1 0 0 0 1 0第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五帕斯卡矩陣

二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.5求(x+y)5的展開式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換對角陣

1．對角陣

只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五提取矩陣的對角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。

第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五

>>A=[123;456;789];

>>D=diag(A)

D=

1

5

9>>diag(A,1)ans=26

第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五構(gòu)造對角矩陣

設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。

diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個n×n(n=m+|k|)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。>>diag(D)

ans=

100

050

009第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五例3.6先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A%用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù)第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五三角陣

三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。嚴(yán)格上三角矩陣和嚴(yán)格下三角矩陣（包括主對角線上的元素也為0）。第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。

triu(ones(4,4),-1)ans=1111111101110011第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。tril(ones(4,4),-1)ans=0000100011001110第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運算符是單撇號(’)。>>A=[123;456;789]A=123456789>>A'ans=147258369

第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A按逆時針旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時可省略。X=123456789Y=rot90(X)Y=369258147第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。IfAisthe3-by-2matrix,A=142536thenfliplr(A)produces415263IfAisarowvector,A=13579thenfliplr(A)produces97531第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。IfAisthe3-by-2matrix,A=142536thenflipud(A)produces362514IfAisacolumnvector,A=357thenflipud(A)producesA=753第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的逆與偽逆對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

例3.7第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的逆與偽逆如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。>>A=[3111;1311;1131];>>B=pinv(A)B=0.3929-0.1071-0.1071-0.10710.3929-0.1071-0.1071-0.10710.39290.03570.03570.0357在線性代數(shù)中，一個矩陣

A的列秩是A的線性無關(guān)的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。注意：行秩=列秩。通常，對于一組向量X1,X2,..Xp,若存在一組不全為0的ki(i=1,2,3..p)，使得:k1X1+k2X2+….+kpXp=0.則該p個向量線性相關(guān)。第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b

由于A-1A=I，故得 x=A-1b例3.8用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b也可以運用左除運算符“＼”求解線性代數(shù)方程組。 A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=A\b第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣求值方陣的行列式

把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為所對應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。 A=rand(5) B=det(A)第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的秩與跡矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。(V為n元素的列向量，A為mbyn矩陣)第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五向量和矩陣的范數(shù)向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)

在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計算向量V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計算向量V的∞—范數(shù)。第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五向量和矩陣的范數(shù)矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的條件數(shù)在MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(