初中銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)

/銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用XX第六中學(xué)高啟鵬一、銳角三角函數(shù)中考考點歸納考點一、銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義如圖,在Rt△ABC中,∠C為直角,則∠A為△ABC中的一銳角,則有對邊鄰邊斜邊AC對邊鄰邊斜邊ACB∠A的余弦：∠A的正切：特殊角的三角函數(shù)值圖表記憶法角三角角函數(shù)三角值函數(shù)3004506001規(guī)律記憶法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分子依次為1、、；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值?？谠E記憶法口訣是："一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦比二,切比三,分子根號不能刪．"前三句中的1,2,3；3,2,1；3,9,27,分別是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根號內(nèi)的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母為2,正切的分母為3．最后一句,講的是各函數(shù)值中分子都加上根號,不能丟掉．如tan60°=,tan45°=．這種方法有趣、簡單、易記．考點二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的過程,叫做解直角三角形。2、解直角三角形的類型和解法如下表：考點三、銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用〔高頻考點仰角、俯角、坡度〔坡比、坡角、方向角仰角、俯角在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角。坡度〔坡比、坡角坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫坡度〔坡比,用字母表示；坡面與水平線的夾角叫坡角,方向角指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角．注意：東北方向指北偏東45°方向,東南方向指南偏東45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南,左西右東．二、銳角三角函數(shù)常見考法〔一、銳角三角函數(shù)以選擇題的形式出現(xiàn).例1、〔2016?XX已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點,將這條拋物線的頂點記為C,連接AC、BC,則tan∠CAB的值為〔A．B．C．D．2[考點]拋物線與x軸的交點；銳角三角函數(shù)的定義．[解析]先求出A、B、C坐標,作CD⊥AB于D,根據(jù)tan∠ACD=即可計算．[解答]解：令y=0,則﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,不妨設(shè)A〔﹣3,0,B〔1,0,∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣〔x+12+4,∴頂點C〔﹣1,4,如圖所示,作CD⊥AB于D．在RT△ACD中,tan∠CAD===2,故答案為D．〔二、銳角三角函數(shù)以填空題的形式出現(xiàn).例2、〔2016?XX請從以下兩個小題中任選一個作答,若多選,則按第一題計分．A．一個多邊形的一個外角為45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是8．B．運用科學(xué)計算器計算：3sin73°52′≈11.9．〔結(jié)果精確到0.1[考點]計算器—三角函數(shù)；近似數(shù)和有效數(shù)字；計算器—數(shù)的開方；多邊形內(nèi)角與外角．[解析]〔1根據(jù)多邊形內(nèi)角和為360°進行計算即可；〔2先分別求得3和sin73°52′的近似值,再相乘求得計算結(jié)果．[解答]解：〔1∵正多邊形的外角和為360°∴這個正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8〔23sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案為：8,11.9例3、〔2015?XX如圖,有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米,鉛直高度BC為2.8米,則∠A的度數(shù)約為27.8°〔用科學(xué)計算器計算,結(jié)果精確到0.1°．[考點]解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．[解析]直接利用坡度的定義求得坡角的度數(shù)即可．[解答]解：∵tan∠A==≈0.5283,∴∠A=27.8°,故答案為：27.8°．[點評]本題考查了坡度坡角的知識,解題時注意坡角的正切值等于鉛直高度與水平寬度的比值,難度不大．例4、<2014?XX>用科學(xué)計算器計算：+3tan56°≈10.02〔結(jié)果精確到0.01[考點] 計算器—三角函數(shù)；計算器—數(shù)的開方．[分析] 先用計算器求出′、tan56°的值,再計算加減運算．[解答] 解：≈5.5678,tan56°≈1.4826,則+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02故答案是：10.02．[點評] 本題考查了計算器的使用,要注意此題是精確到0.01．例5、<2014?XX>如圖,在正方形ABCD中,AD=1,將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′BD′,此時A′D′與CD交于點E,則DE的長度為2﹣．[考點] 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)[分析] 利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′D=A′E,進而利用勾股定理得出BD的長,進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DE的長即可．[解答] 解：由題意可得出：∠BDC=45°,∠DA′E=90°,∴∠DEA′=45°,∴A′D=A′E,∵在正方形ABCD中,AD=1,∴AB=A′B=1,∴BD=,∴A′D=﹣1,∴在Rt△DA′E中,DE==2﹣．故答案為：2﹣．[點評] 此題主要考查了正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識,得出A′D的長是解題關(guān)鍵．〔三、銳角三角函數(shù)定義以解答題的形式出現(xiàn)例6、〔12分〔2015?XX如圖,在每一個四邊形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12．〔1如圖①,點M是四邊形ABCD邊AD上的一點,則△BMC的面積為24；〔2如圖②,點N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點,請你求出△BNC周長的最小值；〔3如圖③,在四邊形ABCD的邊AD上,是否存在一點P,使得cos∠BPC的值最?。咳舸嬖?求出此時cos∠BPC的值；若不存在,請說明理由．[考點]四邊形綜合題．.[專題]綜合題．[解析]〔1如圖①,過A作AE⊥BC,可得出四邊形AECF為矩形,得到EC=AD,BE=BC﹣EC,在直角三角形ABE中,求出AE的長,即為三角形BMC的高,求出三角形BMC面積即可；〔2如圖②,作點C關(guān)于直線AD的對稱點C′,連接C′N,C′D,C′B交AD于點N′,連接CN′,則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周長的最小值為△BN′C的周長=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可；〔3如圖③所示,存在點P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂線PQ交BC于點Q,交AD于點P,連接BP,CP,作△BPC的外接圓O,圓O與直線PQ交于點N,則PB=PC,圓心O在PN上,根據(jù)AD與BC平行,得到圓O與AD相切,根據(jù)PQ=DC,判斷得到PQ大于BQ,可得出圓心O在BC上方,在AD上任取一點P′,連接P′B,P′C,P′B交圓O于點M,連接MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC最小,cos∠BPC的值最小,連接OB,求出即可．[解答]解：〔1如圖①,過A作AE⊥BC,∴四邊形AECD為矩形,∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4,在Rt△ABE中,∠ABE=60°,BE=4,∴AB=2BE=8,AE==4,則S△BMC=BC?AE=24；故答案為：24；〔2如圖②,作點C關(guān)于直線AD的對稱點C′,連接C′N,C′D,C′B交AD于點N′,連接CN′,則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,∴△BNC周長的最小值為△BN′C的周長=BN′+CN′+BC=BC′+BC,∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°,∴過點A作AE⊥BC,則CE=AD=8,∴BE=4,AE=BE?tan60°=4,∴CC′=2CD=2AE=8,∵BC=12,∴BC′==4,∴△BNC周長的最小值為4+12；〔3如圖③所示,存在點P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂線PQ交BC于點Q,交AD于點P,連接BP,CP,作△BPC的外接圓O,圓O與直線PQ交于點N,則PB=PC,圓心O在PN上,∵AD∥BC,∴圓O與AD相切于點P,∵PQ=DC=4＞6,∴PQ＞BQ,∴∠BPC＜90°,圓心O在弦BC的上方,在AD上任取一點P′,連接P′B,P′C,P′B交圓O于點M,連接MC,∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,∴∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,連接OB,則∠BON=2∠BPN=∠BPC,∵OB=OP=4﹣OQ,在Rt△BOQ中,根據(jù)勾股定理得：OQ2+62=〔4﹣OQ2,解得：OQ=,∴OB=,∴cos∠BPC=cos∠BOQ==,則此時cos∠BPC的值為．[點評]此題屬于四邊形綜合題,涉及的知識有：勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),對稱的性質(zhì),圓的切線的判定與性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例7、〔10分<20XXXX省>已知拋物線C：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A〔﹣3,0和B〔0,3兩點,將這條拋物線的頂點記為M,它的對稱軸與x軸的交點記為N．〔1求拋物線C的表達式；〔2求點M的坐標；〔3將拋物線C平移到C′,拋物線C′的頂點記為M′,它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形,那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？[考點] 二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有[分析] 〔1直接把A〔﹣3,0和B〔0,3兩點代入拋物線y=﹣x2+bx+c,求出b,c的值即可；〔2根據(jù)〔1中拋物線的解析式可得出其頂點坐標；〔3根據(jù)平行四邊形的定義,可知有四種情形符合條件,如解答圖所示．需要分類討論．[解答] 解：〔1∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A〔﹣3,0和B〔0,3兩點,∴,解得,故此拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；〔2∵由〔1知拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3,∴當x=﹣=﹣=﹣1時,y=4,xKb1.Com∴M〔﹣1,4．〔3由題意,以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形的邊MN的對邊只能是M′N′,∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN?NN′=16,∴NN′=4．i當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是?MNN′M′時,將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′；ii當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是?MNM′N′時,將拋物線C先向左或向右平移4個單位,再向下平移8個單位,可得符合條件的拋物線C′．∴上述的四種平移,均可得到符合條件的拋物線C′．[點評] 本題考查了拋物線的平移變換、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點．第〔3問需要分類討論,避免漏解．例8、〔12分<2014?XX>問題探究〔1如圖①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC邊上存在點P,使△APD為等腰三角形,那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD,并求出此時BP的長；〔2如圖②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC邊上的高,E、F分別為邊AB、AC的中點,當AD=6時,BC邊上存在一點Q,使∠EQF=90°,求此時BQ的長；問題解決〔3有一山莊,它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置,用來監(jiān)視邊AB,現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°,就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,問在線段CD上是否存在點M,使∠AMB=60°？若存在,請求出符合條件的DM的長,若不存在,請說明理由．[考點] 圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有[專題] 壓軸題；存在型．[分析] 〔1由于△PAD是等腰三角形,底邊不定,需三種情況討論,運用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．〔2以EF為直徑作⊙O,易證⊙O與BC相切,從而得到符合條件的點Q唯一,然后通過添加輔助線,借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識即可求出BQ長．〔3要滿足∠AMB=60°,可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓,該圓與線段CD的交點就是滿足條件的點,然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識,就可算出符合條件的DM長．[解答] 解：〔1①作AD的垂直平分線交BC于點P,如圖①,則PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=90°．∵PA=PD,AB=DC,∴Rt△ABP≌Rt△DCP〔HL．∴BP=CP．∵BC=4,∴BP=CP=2．②以點D為圓心,AD為半徑畫弧,交BC于點P′,如圖①,．則DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°．∵AB=3,BC=4,∴DC=3,DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③點A為圓心,AD為半徑畫弧,交BC于點P″,如圖①,則AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．綜上所述：在等腰三角形△ADP中,若PA=PD,則BP=2；若DP=DA,則BP=4﹣；若AP=AD,則BP=．〔2∵E、F分別為邊AB、AC的中點,∴EF∥BC,EF=BC．∵BC=12,∴EF=6．以EF為直徑作⊙O,過點O作OQ⊥BC,垂足為Q,連接EQ、FQ,如圖②．∵AD⊥BC,AD=6,∴EF與BC之間的距離為3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O與BC相切,切點為Q．∵EF為⊙O的直徑,∴∠EQF=90°．過點E作EG⊥BC,垂足為G,如圖②．∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ．∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四邊形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3,EG=OQ=3．∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴當∠EQF=90°時,BQ的長為3+．〔3在線段CD上存在點M,使∠AMB=60°．理由如下：以AB為邊,在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG,作GP⊥AB,垂足為P,作AK⊥BG,垂足為K．設(shè)GP與AK交于點O,以點O為圓心,OA為半徑作⊙O,過點O作OH⊥CD,垂足為H,如圖③．則⊙O是△ABG的外接圓,∵△ABG是等邊三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB．∵AB=270,∴AP=135．∵ED=285,∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等邊三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP?tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O與CD相交,設(shè)交點為M,連接MA、MB,如圖③．∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90．．∵OH⊥CD,OH=150,OM=90,∴HM===30．∵AE=400,OP=45,∴DH=400﹣45．若點M在點H的左邊,則DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340,∴DM＞CD．∴點M不在線段CD上,應(yīng)舍去．若點M在點H的右邊,則DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340,∴DM＜CD．∴點M在線段CD上．綜上所述：在線段CD上存在唯一的點M,使∠AMB=60°,此時DM的長為〔400﹣45﹣30米．X|k|B|1.c|O|m[點評]本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識,考查了操作、探究等能力,綜合性非常強．而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵．三、三角函數(shù)易錯點解析三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,三角函數(shù)是學(xué)生在初中階段第一次接觸角函數(shù),這部分知識的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說有一定的難度,下面就三角函數(shù)教學(xué)中容易出現(xiàn)的幾種"錯誤"進行分析：1．對應(yīng)關(guān)系混淆ABα圖9[1]如圖9,先進村準備在坡角為αABα圖9A.米 B.米C.米 D.米解析：分別過點B,A作平行水平面的直線和垂直于水平面的直線相交于點C。則△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∠CBA=α,∴∴,故選B。ABCD圖10ABCD圖102．專用名詞不清[2]如圖10,斜坡AC的坡度〔坡比為1:,AC＝10米．坡頂有一旗桿BC,旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連,AB＝14米．試求旗桿BC的高度．解析：坡度是表示斜坡的鉛直距離與水平距離的比,所以過點C作CE⊥AD于E,CE為鉛