新設計數(shù)學北師大版必修四講義第一章三角函數(shù)-7-17-2

§7正切函數(shù)7．1正切函數(shù)的定義7．2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)內(nèi)容要求1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)y＝tanx的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)(重點).3.注重數(shù)形結合思想的應用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應用(難點)．知識點1正切函數(shù)的定義(1)任意角的正切函數(shù)：如果角α滿足α∈R，α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，那么，角α的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值eq\f(b,a)，我們把它叫作角α的正切函數(shù)，記作y＝tanα，其中α∈R，α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.(2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關系：根據(jù)定義知tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α∈R，α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．(3)正切值在各象限的符號：根據(jù)定義知，當角在第一和第三象限時，其正切函數(shù)值為正；當角在第二和第四象限時，其正切函數(shù)值為負．(4)正切線：在單位圓中令A(1,0)，過A作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的延長線相交于T，稱線段AT為角α的正切線．【預習評價】1．若角α的終邊上有一點P(2x－1,3)，且tanα＝eq\f(1,5)，則x的值為()A．7 B．8C．15 D.eq\f(4,5)解析由正切函數(shù)的定義tanα＝eq\f(3,2x－1)＝eq\f(1,5)，解之得x＝8.答案B2．函數(shù)y＝tan2x的定義域為________．解析由正切函數(shù)的定義知，若使y＝tan2x有意義，則2x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．解得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))知識點2正切函數(shù)的圖像及特征(1)y＝tanx，x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z的圖像(正切曲線)：(2)正切曲線的特征：正切曲線是由被相互平行的直線x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的．這些直線叫作正切曲線各支的漸近線．【預習評價】正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，那么正切函數(shù)的對稱中心只有一個嗎？提示正切函數(shù)的對稱中心除了原點外，諸如(π，0)等都是對稱中心，正切函數(shù)有無數(shù)個對稱中心．知識點3正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝tanx定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))值域R周期性周期為kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期為π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是增加的【預習評價】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)(×)(2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間[a，b]，使y＝tanx是增加的．(√)(3)若x是第一象限的角，則y＝tanx是增函數(shù)(×)(4)正切函數(shù)y＝tanx的對稱中心為(kπ，0)k∈Z.(×)題型一正切函數(shù)的定義【例1】已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα、tanα的值．解r＝eq\r(?－4a?2＋?3a?2)＝5|a|，若a＞0，則r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4a,5a)＝－eq\f(4,5).tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3a,－4a)＝－eq\f(3,4)；若a＜0，則r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).規(guī)律方法已知角α終邊上任一點的坐標(m，n)利用定義求tanα時，其值與該點的位置無關且tanα＝eq\f(n,m).但要注意判斷角α所在象限．利用定義可求下列特殊角的正切：α0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)tanα0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)【訓練1】若tanα＝eq\f(1,2)，利用三角函數(shù)的定義，求sinα和cosα.解∵tanα＝eq\f(1,2)＞0，∴角α是第一或第三象限角．①若角α是第一象限角，則由tanα＝eq\f(1,2)，角α的終邊上必有一點P(2,1)，∴r＝|OP|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).②若角α是第三象限角，則由tanα＝eq\f(1,2)知，角α的終邊上必有一點P(－2，－1)，∴r＝|OP|＝eq\r(?－2?2＋?－1?2)＝eq\r(5).∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5).題型二正切函數(shù)的圖像及應用【例2】利用正切函數(shù)的圖像作出y＝|tanx|的圖像并寫出使y＝eq\r(3)的x的集合．解∵當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))時，y＝tanx≤0，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))時，y＝tanx＞0，∴y＝|tanx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－tanx，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，,tanx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.))如圖所示．使y＝eq\r(3)的x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ±\f(π,3)，k∈Z)))).規(guī)律方法1.作正切函數(shù)的圖像時，先畫一個周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移．從而得到正切函數(shù)的圖像，通過圖像的特點，可用“三點兩線法”，這三點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，兩線是直線x＝±eq\f(π,2)為漸近線．2．如果由y＝f(x)的圖像得到y(tǒng)＝f(|x|)及y＝|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的圖像，令其關于y軸對稱便可以得到y(tǒng)＝f(|x|)(x≤0)的圖像；同理只要作出y＝f(x)的圖像，令圖像“上不動，下翻上”便可得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖像．【訓練2】(1)函數(shù)y＝eq\f(1,1＋tanx)的定義域為________．解析要使該函數(shù)有意義，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋tanx≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)?k∈Z?，))即x≠kπ－eq\f(π,4)且x≠kπ＋eq\f(π,2).答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))(2)根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tanx≥－1的解集．解作出y＝tanx及y＝－1的圖像，如下圖．∴滿足此不等式的x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x＜\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).方向1比較大小【例3－1】比較tan1、tan2、tan3的大?。狻遲an2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，又∵eq\f(π,2)<2<π，∴－eq\f(π,2)<2－π<0.∵eq\f(π,2)<3<π，∴－eq\f(π,2)<3－π<0，顯然－eq\f(π,2)<2－π<3－π<1<eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)是增函數(shù)，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1，即tan2<tan3<tan1.方向2求解最值【例3－2】若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，求函數(shù)y＝tan2x＋2tanx＋2的最值及相應的x值．解令t＝tanx，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，∴t∈[－eq\r(3)，1]，y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，∴當t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)時，ymin＝1，當t＝1，即x＝eq\f(π,4)時，ymax＝5.方向3性質(zhì)的綜合應用【例3－3】已知f(x)＝－atanx(a≠0)．(1)判斷f(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(4)若a＞0，求f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的值域．解(1)∵f(x)＝－atanx(a≠0)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，∴f(－x)＝－atan(－x)＝atanx＝－f(x)．又∵定義域eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))關于原點對稱，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)f(x)的最小正周期為π.(3)∵y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞增，∴當a＞0時，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞減，當a＜0時，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞增．(4)當a＞0時，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，故x＝eq\f(π,4)時，f(x)max＝－a，無最小值．∴f(x)的值域為(－∞，－a]．規(guī)律方法1.比較同名三角函數(shù)值的大小，實質(zhì)上是將兩個角利用周期性放在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大小．2．對于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖像的研究，應以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像為基礎，運用整體思想和換元法求解．如果ω<0，一般先利用誘導公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進行求解.課堂達標1．函數(shù)y＝3tan(2x＋eq\f(π,4))的定義域是()A．{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z} B．{x|x≠eq\f(k,2)π－eq\f(3π,8)，k∈Z}C．{x|x≠eq\f(k,2)π＋eq\f(π,8)，k∈Z} D．{x|x≠eq\f(k,2)π，k∈Z}解析由2x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8).答案C2．函數(shù)f(x)＝tan(x＋eq\f(π,4))的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－eq\f(3π,4)，kπ＋eq\f(π,4))，k∈ZD．(kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3π,4))，k∈Z解析由kπ－eq\f(π,2)＜x＋eq\f(π,4)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.解之得kπ－eq\f(3π,4)＜x＜kπ＋eq\f(π,4)，故選C.答案C3．已知點P(tanα，cosα)在第二象限，則α的終邊在第________象限．解析由P點在第二象限．∴tanα＜0，cosα＞0，∴α在第四象限．答案四4．若角θ的終邊經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，m))，且tanθ＝eq\f(3,4)，則m＝________.解析由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(m,－\f(4,5))＝eq\f(3,4).∴m＝－eq\f(3,5).答案－eq\f(3,5)5．函數(shù)y＝tan(2x＋θ)圖像的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，若－eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2)，求θ的值．解因為函數(shù)y＝tan(2x＋θ)的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，∴2·eq\f(π,3)＋θ＝eq\f(kπ,2)，k∈Z.∴θ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(2,3)π，k∈Z.又∵－eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2)，∴當k＝2時，θ＝eq\f(π,3)；當k＝1時，θ＝－eq\f(π,6).∴滿足題意的θ為eq\f(π,3)或－eq\f(π,6).課堂小結1．作正切曲線簡圖時，只需先作出一個周期中的兩條漸近線x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,2)，然后描出三個點(0,0)，(eq\f(π,4)，1)，(－eq\f(π,4)，－1)，用光滑的曲線連接得到一條曲線，再平移至各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可．2．正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)都是三角函數(shù)，但應用它們的性質(zhì)時應注意它們的區(qū)別．(1)正弦、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，值域為[－1,1]，正切函數(shù)是無界函數(shù)，值域為R.(2)正弦、余弦函數(shù)的圖像是連續(xù)的，定義域為R，正切函數(shù)的圖像是不連續(xù)的，定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).(3)正弦、余弦函數(shù)均是既有增區(qū)間又有減區(qū)間，而正切函數(shù)在每一個區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增加的.基礎過關1．已知sinθ·tanθ＜0，那么角θ是()A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角解析若sinθ＞0，tanθ＜0，則θ在第二象限；若sinθ＜0，tanθ＞0，則θ在第三象限．答案B2．若已知角α滿足sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，則tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析由三角函數(shù)定義可知tanα＝eq\f(3,4).答案B3．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期為()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π解析由eq\f(π,\f(1,2))＝2π，故選C.答案C4．使函數(shù)y＝2tanx與y＝cosx同時為單調(diào)遞增的區(qū)間是________________．解析由y＝2tanx與y＝cosx的圖像知，同時為單調(diào)遞增的區(qū)間為(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋eq\f(3π,2))(k∈Z)．答案(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋eq\f(3π,2))(k∈Z)5．函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))))的值域是________．解析∵y＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)＝－1，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，∴y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\r(3))).答案[－1，eq\r(3)]6．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性．解由3x－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,3)＋eq\f(5π,18)，k∈Z.所以所求定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(kπ,3)＋\f(5π,18)，k∈Z)))).值域為R，周期T＝eq\f(π,3)，是非奇非偶函數(shù)．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,3)－\f(π,18)，\f(kπ,3)＋\f(5π,18)))(k∈Z)上是增函數(shù)．7．利用函數(shù)圖像，解不等式－1≤tanx≤eq\f(\r(3),3).解作出函數(shù)y＝tanx的圖像，如圖所示．觀察圖像可得：在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)，滿足條件的x為－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,6)，由正切函數(shù)的周期性可知，滿足不等式的x的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(π,4)＋kπ≤x≤\f(π,6)＋kπ，k∈Z)).能力提升8．關于函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，下列說法正確的是()A．是奇函數(shù)B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))為其圖像的一個對稱中心D．最小正周期為π解析函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))是非奇非偶函數(shù)，A錯誤；在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，B錯誤；最小正周期為eq\f(π,2)，D錯誤．∵當x＝eq\f(π,6)時，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))為其圖像的一個對稱中心，故選C.答案C9．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y＝eq\f(π,4)所得線段長為eq\f(π,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(π,4)解析由題意，得T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝4.∴f(x)＝tan4x，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝tanπ＝0.答案A10．已知函數(shù)y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))是減函數(shù)，則ω的取值范圍是____________．解析∵y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))內(nèi)是減函數(shù)，∴ω<0且T＝eq\f(π,|ω|)≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.答案[－1,0)11．求函數(shù)y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域為____________．解析∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，則t∈[－1,1]．∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴當t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)時，ymin＝－4，當t＝1，即x＝eq\f(π,4)時，ymax＝4.故所求函數(shù)的值域為[－4,4]．答案[－4,4]12．若函數(shù)f(x)＝tan2x－atanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最小值為－6.求實數(shù)a的值．解設