【名師整理】高中數(shù)學名?？记盎貧w知識必備全案

考前回歸知識必備*1集合與常用邏輯用語集合與常用邏輯用語集合概念一組對象的全體.XeA,X電A。 元素特點：互異性、無序性、確定性。關(guān)系子集xeAnxeBoA三B。0oA；AoB,BoCnAoCn個元素集合子集數(shù)2n。真子集xeAnxeB月xeB,xeAoAuB相等A三B,B三AoA=B運算交集AqB={x1xeA,且xeB}CJAUB)=(CUA)Q(CB)CU(A^B)=(CUA)U(CB)CU(CUA)=A并集A\jB=(x1xeA,或xeB)補集CA={x1xeU且xeA}常用邏輯用語命題概念能夠判斷真假的語句。四種命題原命題：若P，則q逆命題：若q，則P否命題：若」P，則「q逆否命題：若「q，則「P原命題與逆命題，否命題與逆否命題互逆；原命題與否命題、逆命題與逆否命題互否；原命題與逆否命題、否命題與逆命題互為逆否。互為逆否的命題等價。充要條件充分條件Pnq，p是q的充分條件若命題P對應(yīng)集合A，命題q對應(yīng)集合B，則Pnq等價于AoB，poq等價于A=B。必要條件Pnq，q是p的必要條件充要條件Poq，p,q互為充要條件邏輯連接詞或命題Pvq，P,q有一為真即為真，P,q均為假時才為假。類比集合的并且命題PAq，P,q均為真時才為真，P,q有一為假即為假。類比集合的交非命題「P和P為一真一假兩個互為對立的命題。類比集合的補量詞全稱量詞V，含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱命題。存在量詞3，含存在量詞的命題叫特稱命題，其否定為全稱命題。*2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)概念虛數(shù)單位規(guī)定：i2=-1；實數(shù)可以與它進行四則運算，并且運算時原有的加、乘運算律仍成立。i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=—1,i4k+3=—i(keZ)。復(fù)數(shù)形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部。b中0時叫虛數(shù)、a=0,b*0時叫純虛數(shù)。復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di(a,b,c,deR)oa=c,b=d共軛復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)。即z=a+bi，則z=a—bio運算加減法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，(a,b,c,deR)。乘法(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i，(a,b,c,deR)除法/ / ac+bdbbc—da ,7?，八， ，一、(a+bi)+(c+di)= —+ —i(c+diW0,a,b,c,deR)c2+d2 c2+d2幾何意義復(fù)數(shù)z-a+bi:一一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)< 對應(yīng)>向量OZ向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)的模，z=Ja2+b2

3.平面向量平面向量重要概念向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長度叫做該向量的模。0向量長度為0，方向任意的向量。【0與任一非零向量共線】平行向量方向相同或者相反的兩個非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。向量夾角起點放在一點的兩向量所成的角，范圍是h兀］。a,b的夾角記為＜a,b＞。投影<a,b>=0，b）cos0叫做b在a方向上的投影。【注意：投影是數(shù)量】-?-? ―＞―?重要法則定理基本定理e1f乙不共線，存在唯一的實數(shù)對（九,目），使a=X4+Ne2。若e1,e2為羽y軸上的單位正交向量，（九,⑷就是向量a的坐標。一- 一般表示一坐標表示舊量坐標上下文理解）共線條件a,b（b中0共線o存在唯一實數(shù)九，a二九b(X1，y)=九(X2,y2)Ox1y2=x2yl垂直條件-- -a1boa/=0。xy+xy=0。各種運算加法運算法則LJa+b的平行四邊形法則、三角形法則。a+b=(x+x,y+y)。算律a+b=b+a，一(a+b)+c=a+(b+c)與加法運算有同樣的坐標表示。減法運算法則一一 a-b的三角形法則。-a-b=(x-x,y-y)分解— — ff — fMN=ON—OM。MN=(x—x,y—y)。 N M——N M 數(shù)乘運算概念九?a為向量入＞0J九＜0與a方向相反「與a,-Q方向相［，二斗可，7?！?—? ,九a=(九x,九y)。算律—*■ —■ -t—■■ -K ―■九(日a)=(3)a，(入+日)a=九a十日a，―? —? -?入(a+b)='a+Xb與嗷乘運算有同樣的坐標表示。數(shù)量積運算概念ab=a?bccos<a,b>a占=xx+yy。主要性質(zhì)-A―?a^=a―?—2，―><a,―心b。a卜《x2+y2，xix2+yiy2<Jx1+y;-Jx2+y2算律——— —>—?a占=ba，(a+b)c(九a)^二a°b)：―?―?:=a^+b匚=九(a/)。c，與上面的數(shù)量積、數(shù)乘等具有同樣的坐標表示方法。

*4.算法、推理與證明算法邏輯結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)依次執(zhí)行一程序框圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形。條件結(jié)構(gòu)根據(jù)條件是否成立有不同的流向循環(huán)結(jié)構(gòu)按照一定條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟基本語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句。推理與證明推理合情推理歸納推理由部分具有某種特征推斷整體具有某種特征的推理。類比推理由一類對象具有的特征推斷與之相似對象的某種特征的推理。演繹推理根據(jù)一般性的勺真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.數(shù)學證明直接證明綜合法由已知導(dǎo)向結(jié)論的證明方法。分析法由結(jié)論反推已知的證明方法。間接證明主要是反證法，反設(shè)結(jié)論、導(dǎo)出矛盾的證明方法。數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是以自然數(shù)的歸納公理做為它的理論基礎(chǔ)的，因此，數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)有關(guān)的命題。分兩步：首先證明當n取第一個值n0（例如n0=1）時結(jié)論正確；然后假設(shè)當n=k（kgN+,k>n0）時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確. 十*5.不等式、線性規(guī)劃不等式的性質(zhì)(1)a>b,b>cna>c；兩個實數(shù)的順序關(guān)系：a>boa—b>0a=boa—b=0a<boa—b<0, 11a>bo-<-的充要條件ab是ab>0。(2)a>b,c>0nac>bc；a>b,c<0nac<bc；(3)a>bna+c>b+c；(4)a>b,c>dna+c>b+d；(5)a>b>0,c>d>0nac>bd；(6)a>b>0,ngN*,n>1nan>bnja>n/b一元二次不等式解一兀二次不等式實際上就是求出對應(yīng)的一兀二次方程的實數(shù)根（如果有實數(shù)根），再結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)的圖象確定其大于零或者小于零的區(qū)間，在含有字母參數(shù)的不等式中還要根據(jù)參數(shù)的不刖值確定方程根的大小以及函數(shù)圖象的開口方向，從而確定不等式的解集.基本不等式而，a；b(a>0,b>0)a+b>2>[ab(a,b>0)；ab<(a+))2(a,bgR)；2也<Jbb<a±b<.1a2+b2(a,b>0)；a2+b2>2ab。a+b 2i2二6次不等式組二兀一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐標系中表示Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域。二兀一次不等式組的解集是指各個不等式解集所表示的平面區(qū)域的公共部分。簡單的線性規(guī)劃基本概念約束條件對變量x,y的制約條件。如果是x,y的一次式，則稱線性約束條件目標函數(shù)求解的最優(yōu)問題的表達式。如果是x,y的一次式，則稱線性目標函數(shù)。可行解滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解?？尚杏蛩锌尚薪饨M成的集合叫可行域。最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或者最小值的可行解叫最優(yōu)解。線性規(guī)劃在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或者最大（首的問題。問題解法不含實際背景第一步畫出可行域。注意區(qū)域邊界的虛實。第二步根據(jù)目標函數(shù)幾何意義確定最優(yōu)解。第三步求出目標函數(shù)的最值。含實際背景第一步設(shè)置兩個變量，建立約束條件和目標函數(shù)。注意實際問題對變量的限制。第二步同不含實際背景的解法步驟。

*6.計數(shù)原理與二項式定理排列組合二項式定理基本原理分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有勺種不同的方法，在第2類方案中有m種不同的方法，…，在第n類方案中有m種不同的方法.那么完成這件2 n事共有N=m〔+m2+ +m“種小|司的方法.分步乘法計數(shù)原理完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=mxmx---xm種不同的方法.排列定義從n個不同兀素中取出?m(m<n)個兀素，按照一定的次序排成一列，叫做從從n個不同兀素中取出m(m<n)個兀素的一個排列，所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同兀素中取出m(m<n)個兀素的排列數(shù)，用符號Am表示。 n 排列數(shù)公式, / r、/ c、 / r、 n! / __ 、 ? ~rAm-n(n—1)(n—2) (n—m+1)= (n,mgNm<n)，規(guī)定0!=1.n (n—m)!組合定義從n個不同元素中，任?意取出m(m<n)個兀素并成一組叫做從n個不同元素中取出m(m<n)個兀素的組合，所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同兀素中取出m(m<n)個元素的組合數(shù)，用符號Cm表示。n 組合數(shù)公式n(n—1)(n—m+1) AmCm- ,Cm——n-,n m! n Am性質(zhì) - m Cm-Cn-m(m,ngN,且m<n)；Cm-Cm+Cm-1(m,ngN,且m<n).n n n+1 n n二項式定理定理(a+b)n=C0an+C1an-1b+ +Cran-rbr+ +C〃b〃(Cr叫做二項式系數(shù)) n n n n n 通項公式T-Cran-rbr(其中0<k.<.n,kgN,ngN*)r+1 n系數(shù)和公式Cr+Cr+Cr+ +Cr-Cr+1 ; C0+C1+C2+ +Cr+ +Cn =2n ；r r+1 r+2 nn+1 n n n n nC1+C3+C5+ -C0+C2+C4+ 2n-1；C1+2C2+3C3+ +nCn -n2〃-1. n~——n——_n m -u n n n n n *7.函數(shù)、'基本初等函數(shù)1的圖像與性質(zhì)函數(shù)概念及其表示、概念本質(zhì)：定義域內(nèi)任何個自變量對應(yīng)唯一的函數(shù)值。兩函數(shù)相等只要定義域和對應(yīng)法則相同即可。表示方法解析式法、表格法、圖象法。分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段定義域的并集、值域是各段值域的并集。性質(zhì)單調(diào)性對定義域內(nèi)一個區(qū)間I,x,xgI,x<x,,f(x)是增函數(shù)Of(x1)<f(x2),f(x)是減函數(shù)Of(x1)>f(x2)。偶函數(shù)在定義域關(guān)于坐標原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性、奇函數(shù)在定義域關(guān)于坐標原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性。奇偶性對定義域內(nèi)任意x,f(x)是偶函數(shù)Of(x)-f(—x),f(x)是奇函數(shù)Of(—x)--f(x)。偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱、奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標原點對稱。周期性對定義域內(nèi)任意x,存在非零常數(shù)T,f(x+T)-f(x)基本初等函數(shù)I指數(shù)函數(shù)y-ax0<a<1(—8,+8)單調(diào)遞減，x<0時y<1,x>0時0<y<1函數(shù)圖象過定點(0,1)a>1(—8,+8)單調(diào)遞增，x<0時0<y<1,x>0時y>1對數(shù)函數(shù)y-log°x0<a<1在(0,+8)單調(diào)遞減，0<x<1時y>0,x>1時y<0函數(shù)圖象過定點(1,0)a>1在(0,+8)單調(diào)遞增，0<x<1時y<0,x>1時y>0幕函數(shù)y-xaa>0在在(0,+8)單調(diào)遞增，圖象過坐標原點函數(shù)圖象過定點(1,1)a<0在在(0,+8)單調(diào)遞減4

*8.函數(shù)與方程、函數(shù)模置型及其應(yīng)用函數(shù)零點概念方程f(x)=0的實數(shù)根。方程f(x)=0有實數(shù)根=函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點今函數(shù)y=f(x)有零點.存在定理圖象在［a/［上連續(xù)不斷，若f(a)f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點。二分法方法對于在區(qū)間f(x)的零近似值的方］［a,b］上連續(xù)不斷且f(a)?f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù):點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點『法叫做二分法.步驟第一步確定區(qū)間［a,b1驗證f(a)-f(b)<0，給定精確度￡。第二步求區(qū)間［a,b］的中點c；第三步計算f(c)：(1)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)?f(c)<0,則令b=c(此時零點xe(a,c))；(3)若f(c)?f(b)<0，則令a=c(此時零點xe(c,b)).(4)判斷是否達0到精確度「即若|a-b|<e,則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)?(4).函數(shù)建模概念把實際問表達的數(shù)量變化規(guī)律用函數(shù)關(guān)系刻畫出來的方法叫作函數(shù)建模。解題步驟閱讀審題分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學問題。數(shù)學建模弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式。解答模型利用數(shù)學方法得出函數(shù)模型的數(shù)學結(jié)果。解釋模型將數(shù)學問題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出答案。*9.導(dǎo)數(shù)攵及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用概念與幾何意義概念函數(shù)y=f(x)在點x=x0〃，/、「 f(x+Ax)—f(x)處的導(dǎo)數(shù)f(x)=lim——0—— 0-。1 0 Ax-0 Ax幾何意義f'(x0)為曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線斜率，切線方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。運算基本公式C=0(C為常數(shù))；(x〃)'=nxn-i(neN*)；(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx；(ex)'=ex,(ax)'=axIna(a>0,且a豐1)；(Inx)'=—,(logx)'=—loge(a>0,且a豐1).x a xaf1]Ix)(In.x2；『x。運算法貝[f(x)土g(x)]=f(x)±g1x)；[f(x甘(x)]=f(x邛(x)+f(x)0(x),[3[=fx)g⑴-g'(x)f(x)(g(x)豐0),[.Lg(x)」 g2(x) L復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則y=[,f(g(x))]=f(g(x))g(x)(g(x)_。[Cf(x)]'=Cf，(x)；_ g'(x)g2(x).研究函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性f'(x)>0的各個區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；f'(x)<0的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間。極值f'(x0)=0且f\x)在x0附近左負(正)右正(負)的x0為極小(大)值點。最值La,b］上的連續(xù)函數(shù)大值中的最大者，］攵一定存在最大值和最小值，最大值和區(qū)間端點值和區(qū)間內(nèi)的極最小值和區(qū)間端點和區(qū)間內(nèi)的極小值中的最小者。定積分概念f(x)在區(qū)間［a,b］區(qū)間［a,b］等分/上是連續(xù)的，用分點a=x<x< <x<x< <x=b將0 1 「i-1 1i n成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間Lx,x］上任取一點匕…i-1i … i5

(i=1,2,,n)，Jbf(x法=limZb-f(自)。a n*「n i 7T 1 1 i^1 基本定理如果f(x?)是La,bJ上的連續(xù)函數(shù)，并且有F'(x)=f(x)，則Jbf(xbx二F(b)-F(a). - n 性質(zhì)Jbkf(xbx=kJbf(xbx(k為常數(shù))；Jb「f(x)土g(x)~|dx=Jbf(x)d±Jbg(xbx；J ' xa a ar aJbf(xbx=Jcf(x[+Jdf(x[.簡單應(yīng)用區(qū)間La,bJ上的連續(xù)的曲線y=f(x),和直線x=a.x=b(a中b),y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=Jb|f(x)|dx。一-一-一 a *10.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基本問題定義任意角a的終邊與單位圓交于點P(x,y)時，sina=y,cosa=x,tana=y.x同角三角函數(shù)關(guān)系.? ?.sina,?sin2a+cos2a=1, =tana。cosa誘導(dǎo)公式360。士a,180。士a,-a,90。士a,270。士a,“奇變偶不變，符號看象限”.三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象值域周期單調(diào)區(qū)間奇偶性對稱中心對稱軸y=sinx(xeR)[-1,1]2k兀增減+2k兀，+2k兀_2 2 _一兀.3兀.“_一—+2k兀, +2k兀_2 2 _奇函數(shù)(k兀,0)x=7 兀k兀+一2y=cosx(xeR)L-i,iJ2k兀增[-兀+2k兀,2k兀]減[2k兀,2k兀+兀]偶函數(shù)… 兀八、(k兀+—,0)x-k兀y=tanx, 兀、(xwk兀+—)Rk兀增(兀，兀\+k兀，+k兀V2 2 7奇函數(shù)kk兀 A2,0V2 7無圖象變換平移變換上下平移y=f(x)圖象平移k得y=f(x)+k圖象，k>0向上，k<0向下。左右平移y=f(x)圖象平移中得y=f(x+3)圖象，3>0向左，3<0向右。伸縮變換x軸方向y=f(x)圖象各點把橫坐標變?yōu)樵瓉?倍得y=f(-x)的圖象。3y軸方向y=f(x)圖象各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍得y=Af(x)的圖象。對稱變換中心對稱y=f(x)圖象關(guān)于點(a,b)對稱圖象的解析式是y=2b-f(2a-x)軸對稱y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱圖象的解析式是y=f(2a-x)。*11.三角恒等變換與解三角形變換公式正弦和差角公式倍角公式.“ 2tanasin2a- 1+tan2asin(a±P)-sinacosP土cosasinPsin2a-2sinacosa6

余弦cos(a±P)=cosacosP丁sinasinPcos2a_cos2a-sin2a_2cos2a-1_1-2sin2a「 1-tan2acos2a_ 1 1+tan2a. 1-cos2a正切/1Q、tana±tanBtan(a±B); .1_tanatanp2 2tanatan2a二 1-tan2asin2a—21+cos2acos2a— 2三角恒等變換與解三角形正弦定理定理a_b_csinAsinBsinC°射影定理：a—bcosC+ccosBb—acosC+ccosAc—acosB+bcosA變形a_2RsinA,b_2RsinB,c_2RsinC(R外接圓半徑)。類型三角形兩邊和邊對角、二角形兩角與一邊。余弦定理定理a2_b2+c2—2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,c2=a2+b2—2abcosC0變形b2+c2—a2 (b+c)2-a24cosA_ _ 1等。2bc 2bc類型兩邊及一角（一角為夾角時直接使用、一角為一邊對角時列方程）、三邊。面積公式基本公式S_—a?h_bb?h_—c?h二^absinC=^bcsinA_LcsinB02a2b2c2 2 2導(dǎo)出公式一abc一 一1, . 、S_--(R外接圓半徑)S_-(a+b+c)r(r內(nèi)切圓半徑)°4R 2實際應(yīng)用基本思想才把要求解的量歸入到可解三角形中。在實際問題中，往往涉及到多個三角形，只要根據(jù)已知逐次把求解目標歸入到一個可解三角形中°常用術(shù)語仰角視線在水平線以上時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角。俯角視線在水平線以下時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角。方向角方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般是銳角，如北偏西 30°）°方位角某點的指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角。*12.等差數(shù)列、等比數(shù)列數(shù)列、等差數(shù)列等比數(shù)列一般數(shù)列{a}n概念按照一定的次序排列的一列數(shù)。分有窮、無窮、增值、遞減、擺動、常數(shù)數(shù)列等。通項公式數(shù)列{,}中的項用一個公式表示，an=f（n）a—vnS,n—1,S-S,n>2.n n-1前n項和S=a+a++a簡單的遞推數(shù)列解法累加法a尸a+f(n)型 …解決遞推數(shù)列問題的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即轉(zhuǎn)化為兩類基本數(shù)列----等差數(shù)列、等比數(shù)列求解。累乘法a—af(n)型轉(zhuǎn)化法aaa—pa+q-pn+1(p豐0,1,q豐0)o—n+^——++qn+1 n pn+1 pn待定系數(shù)法a—ca+d（c豐0,1,d豐0）oa+九—c（a+九）0比較系數(shù)得出九，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列n+1 n■等^^數(shù)列概念滿足an+1-an=d（常數(shù)），d>0遞增、d<0遞減、d—0常數(shù)數(shù)列°通項a—a+(n-1)d—a+(n-m)da+a—a+aom+n—p+q07

{a}n公式a+a=2a=m+n=2p。 m n p 前n項和公式廠 n(n—1)［n(a+a)S=na+- -d二———二n 1 2 2Sm,S2m-Sm,S3m^2m,為等差數(shù)列。等比數(shù)列{a}n概念滿足a+1：an=q（q中0的常數(shù)），單調(diào)性由巴的正負，q的范圍確定。通項公式a=aqn—1=aqn—maa=aa=m+n=p+q，aa=a20m+n=2p m_n p 前n項和公式S=《n'型5=a—aq,q豐1,1—q 1—qna,q=1.L1公比不等于—1時，Sm,S2m—Sm,S3m—S2m，成等比數(shù)列。*13.數(shù)列求和及其數(shù)列的簡單應(yīng)用數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用常用求和公式等差數(shù)列c n(n—1)Tn(a+a) … 0 n(n+1)S—na+ d- 1 n—，特另ij1+2+3+ +n- on1 2 2 2等比數(shù)列S—S—<na1(1—qn)—-J,q豐1, …1—q 1—q ，特別1+2+22+ +2n-1-2n—10na,q-1.< 1 …自然數(shù)平方和12+22+32+ +n2-"2(1+2+ +n)-n(n+1)(2n11。3 6自然數(shù)立方和???13+23++n3—(1+2+ +n)2—［空］常用求和方法公式法如a,,-2+2n,a-3n?；常用裂項方法：-r-1^-《（1—-4t）；分組法如a-2n+2n,a-(—1)nn+2。n(n+%) 凡nn+凡'-1('-L)n2—121n—1n+1)1 _1(1 1、?,;裂項法1 1 1如a=/「、——一°nn(n+1)nn+1錯位相減法如a=(2n—1)-2〃0—4n2—1212n—12n+1)倒序相加法如C0+C1+ +kCk+ +Cnon n n nn+1 1 1 = on(n—1)-2n (n—1)2n-1n?2n數(shù)歹U模型等差數(shù)列基本特征是均勻增加或者減少。等比數(shù)列基本特征是指數(shù)增長，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題。一個簡單遞推數(shù)列基本特征是指數(shù)增長的同時又均勻減少。如年收入增長率為20%，每年年底要拿出a（常數(shù)）作為下年度的開銷，即數(shù)列{a1滿足a”+1-1.2aJa。注：表中n,k均為正整數(shù)*14.空間幾何體（其中r為半徑、人為高、l為母線等）空間幾何體視圖正視圖光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖。正視圖與側(cè)視圖高平齊；側(cè)視圖與俯視圖寬相等；俯視圖與正視圖長對正。側(cè)視圖光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖。俯視圖光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。直觀圖畫法使用斜一測畫法畫出空間幾何體的底、再畫出空間幾何體的其它部1分。面積關(guān)系水平放置的平面圖形的面積為S，使用斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為S'，則S-2五S;8

表面積和體積表面積體彳積棱柱S「S側(cè)+2s底表口積艮空H幾十體建露/外白所彳面白面用之和P可1E勺f勺只。v=s底也棱錐全 則 底晨=s惻+\尸」v=1s田3底口高1匕=1sM錐3棱臺s惻+S上底+s下底v=3(s4siss+s)hTs=s'圓柱s=2兀r2+2兀rh全V=兀r2hV=-(s4ss1s+s)h臺3圓錐s全=兀r2+兀rlV=-rr2h3Js'=0V=s乩L-柱__-——圓臺S全=兀(r'2+r2+r'l+rl)V=3兀(r'2+r'r+r2)h球S=4兀R2球4V二一兀R3球3*15.空間點、直線、平面位置關(guān)系（大寫字母表點、小寫字母表直線、希臘字母表平面）：空間點、直線、平面的位置關(guān)系基本公理公理1Agl,Bgl,Aea,B￡「nlua。用途判斷直線在平面內(nèi)。公理2A,B,C不共線nA,B,C確定平面a。確定平面。Ji,\\/i-A-trit/f交線。公理3Pea,Pep,aqp=lnPgl確定兩十面的1兩直線平行。公理4a//c,b//cna//b位置關(guān)系線線共面和異面。共面為相交和平行。不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。點線面Ael,Bel；Aea,Bea。線面IDa」na=A,lua.。分別對應(yīng)線面比公共點、一個公共點、無數(shù)個公共點。面面a/p,anp=l。分別對應(yīng)兩平面無公共點、兩平面有無數(shù)個公共點。平行關(guān)系 判定定理性質(zhì)定理線面aaa,bua,a//bna//a線線平行n線面平行a//a,aup,aP=bna//b線面平行n線線平行面面auP,buP,ap|b=P 》a//a,b//a ,np//aa//p,yPa=a,ynB=bna//b面面平行n線線平行線面平行n面面平行垂直關(guān)系線面mua,nua,m^\n=Pa±m(xù),a±n線線垂直n線面1>na1a后直a1a]>na//bb1a-X線線垂直n線線平行面面11p,luana1p線面垂直n面面垂直a1p,ap|p=l,aua,a11na10面面垂直n線面垂直空間角 定義特殊情況范圍線線角把兩異面直線平移到相交時兩相交直線所成的角。兩直線平行時角為0。，，〕所成角為90。時稱兩直線垂直線面角平面的一條斜線與其在該平面內(nèi)射影所成角。線面平行或線在平面內(nèi)時線面角為0。：0，I：線面垂直時線面角為90。二面角在一面角的棱上一定向兩個半平面內(nèi)作兩個半平面重合時為。兀.9

垂直棱的垂線，這兩條射線所成角。0。兩個半平面成為個平面時為180。當二面角為90。時稱兩個平面垂直空問距離點面距從平面外一點作平面的垂線，該點與垂足之間的距離。線面距和面面距轉(zhuǎn)化為點面距。線面距直線與平面平行時，直線上任一點到平面的距離。面面距兩個平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離。*16.空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空問向量重要概念共面向量一組向量在一個平面內(nèi)或者通過平移能夠在同一個平面內(nèi)。空間基底空間任何三個不共面的向量a,b,c都可做空間的一個基底?；径ɡ砉簿€定理a,b(b豐0共線=存在唯一實數(shù)九，a二九b。共而定理p與a,b、(a,b不共線)共面6存在實數(shù)對x,y，使p=xa+yb.基本定理a,b,c不共面，空間任意向量p存在唯一的(x,y,z)，使p=xa+yb+zc。立體幾何中的向量方法線面標志方向向量所在直線與已知直線l平行或者重合的非零向量a叫做直線l的方向向量。法向量所在直線與已知平面。垂直的非零向量n叫做平面a的法向量。位置關(guān)系線線平行方向向量共線。-k線面平行判定定理；直線的方向向量與平面的法向量垂直；使用共面向量定理。面面平行線線垂直線面垂直判定定理；兩個平面的法向量平行。兩直線的方向向量垂直。判定定理；直線的方向向量與平面的法向量平行。面面垂直判定定理；兩個平面的法向量垂直?？臻g角線線角0兩直線方向向量為a,b,cos0—cos(a,by。線面角0直線的方向向量為a，平面的法向量為n,sin0——?―cos，：a,n]。二面角0兩平面的法向量分別為n音口n2，則cos0二cos<n,n)。—>—>空間距離點線距直線的方向向量為直線a的距離d=a,MN直線上任一,sin(MN,a點為N，點M到)。 一,兩平行線距離轉(zhuǎn)化為點線距。點面距平面。的法向量為”平面上再任一點為N，點M一二，|MN.n到平面a的距離d=MNcos/MN,n)=!—「--。線面距、、面面距轉(zhuǎn)化為點面距。*17.直線與圓的方1程 -直線與圓的方程直線與方程概念傾斜角x軸正向與直線向上的方向所成的角，直線與x軸平行或重合時傾斜角為0。斜率, y一y傾斜角為a,斜率k=tana二x一x1(x1wx2),(x/y1),(x2,y2)在直線上。直線方程點斜式y(tǒng)一y二k(x一x)在y軸截距為b時y=kx+b。兩點式y(tǒng)一yi二x一xi(xwx,ywy)y一yx-x1 21 22 1 2 1.xy-在x,y軸截距分別為a,b時一+—=1。ab一般式, 一 八 一八 A CAx+By+C=0(A2+B2w0),Bw0時斜率k=一一，縱截距一―。B B10

位置關(guān)系平行當不重合的兩條直線/]和12的斜率存在時，11//12Ok]=k2；如果不重合直線/,和12的斜率都不存在，那么它們都與了軸垂直，則11//12.垂直當兩條直線1和12的斜率存在時，1112o勺&=—1；若兩條直線li，12中的一條斜率不存在，則另一條斜率為0時，它們垂直.交占兩直線的交點就是由兩直線方程組組成的方程組的解為坐標的點。距離公式點點距P（x,y）,P（x,y）兩點之間的距離|尸尸=（/（%—%）2+（y-y）2。1112 2 2 1121 2 7 1 2 1點線距點p（了0,y0）到直線1:-+By+。=0的距離d=-Ax+By+C0 0—4A2+B2。線線距l(xiāng):Ax+By+C=0至Ul:Ax+By+C=0距離d=-*C-C,1 2i,A2+B2.圓與方程圓定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡。定點叫做圓心、定長叫做半徑。標準方程圓心坐標（a,b），半徑r,方程（x-a）2+（y-b）2=r2。標準方程展開可得一般方程、一般方程配方可得標準方程。一般方程中圓心坐標為/DE、 Ddi+E2-4F（2，2），半徑 2 。一般方程x2+y2+Dx+Ey+F-0（其中D2+E2-4F>0） 相交相切相離直線與圓代數(shù)法方程組有兩組解方程組有一組解方程組無解幾何法d<rd-rd>r圓與圓代數(shù)法方程組有兩解方程組有一組解方程組無解幾何法r—r<d<r+rd-r+r或d-r-rd>r+r或d<r-r【注：標準d根據(jù)上下文理解為圓心到直線的距離與兩圓的圓心距】18.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)定義標準方程幾何性質(zhì)范圍頂點焦點八\、八、、對稱性離心率橢圓平面內(nèi)與兩個定點F,1F2的距離之和等于常數(shù)2a（大于FF-2c）12的點的軌跡叫做橢圓.【b2-a2-c2,a>b]x2 y2 ,—+--1a2 b2|x|<ay?b（土a,0）（0,土b）（土c,0）x軸y軸坐標原點橢圓中a>c0<e<1個ce二-aJ雙曲線中a<ce>1y2 x2,—+——1a2 b2y<a|x|<b（0,土a）（土b,0）（0,土c）雙曲線平面內(nèi)與兩個定點F,1F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a（小于FF-2c）的點的軌跡12叫做雙曲線.【b2-c2-a2】x2 y2 r --1a2 b2yi>aeR（土a,0）（土c,0）y2x2 r 1a2b2y2axeR（0,土a）（0,土c）拋物線平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l（定點F不在定直線l）距離相等的點的軌跡是拋物線。【焦點到準線的距離等于p,p>0，焦參數(shù)】y2-2pxx>0yeR（0,0）g,0）x軸1【離心率是曲線上的占到焦八、、U八\、點的距y2--2pxx<0yeR（-p,0）x2-2pyy>0xeR（0,p）y軸11

x2=-2pyy<0xeR(O,-p)離與到準線的距離之比】b a注：1.表中兩種形式的雙曲線方程對應(yīng)的漸近線方程分別為y=土一x,y=±-x。abpp pp2.表中四種形式的拋物線方程對應(yīng)的準線方程分別是x=-1，x=I，y=-1，y=|。*19.圓錐曲線的熱點問題曲線方程與圓錐曲線熱點問題曲線與方程概念曲線C上點的坐標都是方程f(x,y)=0的解，以f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上，則稱曲線C為方程f(x,y)=0的曲線、方程f(x,y)=0為曲線C的方程。求法直接法把動點坐標直接代入已知幾何條件的方法。定義法已知曲線類型，求出確定曲線的系數(shù)得出曲線方程的方法(待定系數(shù)法)。代入法動點尸(x,y)隨動點Q(x」yJ運動，Q在曲線C:f(x,y)—0上，以x,y表示x0,y0，代入曲線c的方程得到動點軌跡方程的方法。參數(shù)法把動點坐標(x,y)用參數(shù)t進行表達的方法。此時x=9(t),y=v(t)，消掉t即得動點軌跡方程。交規(guī)法軌跡是由兩動直線(或曲線)交點構(gòu)成的，在兩動直線(曲線)中消掉參數(shù)即得軌跡方程的方法。執(zhí)八、、占八、、問題定點含義含有可變參數(shù)的曲線系所經(jīng)過的點中不隨參數(shù)變化的某個或某幾個點。解法把曲線系方程按照參數(shù)集項，使得方程對任意參數(shù)恒成立的方程組的解即為曲線系恒過的定點。定值含義不隨其它量的變化而發(fā)生數(shù)值發(fā)生變化的量。解法建立這個量關(guān)于其它量的關(guān)系式，最后的結(jié)果是與其它變化的量無關(guān)。范圍含義一個量變化時的變化范圍。解法建立這個量關(guān)于其它量的函數(shù)關(guān)系式或者不等式，求解這個函數(shù)的變化范圍或者解不等式。最值含義一個量在變化時的最大值和最小值。解法建立這個量的函數(shù)關(guān)系式，求解這個函數(shù)的最值。*20,概率概率定義如果隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，當試驗的次數(shù)n很大時，我們可以將發(fā)生的m mm頻率一作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P(A)^~。n n事件關(guān)系基本關(guān)系①包含關(guān)系；②相等關(guān)系；③和事件；④積事件.類比集合關(guān)系?；コ馐录录嗀和事件B在任何一次實驗中不會同時發(fā)生對立事件事件A和事件B,在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生。性質(zhì)基本性質(zhì)0<P(A)<1, P(0)=0, P(Q)=1?；コ馐录录嗀,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)。對立事件事件A與它的對立事件A的概率滿足P(A)+P(A)=1.古典概型特征基本事件發(fā)生等可能性和基本事件的個數(shù)有限性計算公式P(A)=m,n基本事件的個數(shù)、m事件A所包含的基本事件個數(shù)。n幾何概型特征基本事件個數(shù)的無限性每個基本事件發(fā)生的等可能性。計算公式P(A)= 構(gòu)成事件A的測度試驗全部結(jié)果所構(gòu)成的測度12

*21.離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布隨機變量及其分布列概念隨著試驗結(jié)果變化而變化的量叫做隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機叫做離散型隨機變量。分布列Xxx……x離散型隨機變量的所有取值及取值的概率列成的表格p:P……;。性質(zhì)(1)PiN0(i=1，2，n)；(2)P1+P2+ +Pn=1。事件的獨立性條件概率概念：事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(B|A)=萼B)。P(A)性質(zhì)：0<P(B|A)<1.B,C互斥，P(B^C|A)=P(B|A)+P(C|A).獨立事件事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，事件A與事件B相互獨立。n次獨立重復(fù)試驗每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=Ckpk(1-p)n—k,(k=0,12 ，n)。 n 典型分布超幾何分布CkCn-k ( \P(X=k)=mnm,k=012,,m，其中m-min\M,nj,且nWN,CnN且n<N,M<N,n,M,NeN*.”二項分布分布列為：P(X-k)-Ckpk(1-p)n-k,(k-0,1,2，，n),X?B(n,p)。n數(shù)學期望EX-np,方差DX-np(1-p)【n-1時為兩點分布】正態(tài)分布1 (%-.)2中(x)=-^e-2a2圖象稱為正態(tài)密度曲線，隨機變量X滿足42nP(a<X&b)=』b①(x)dx,則稱X的分布為正態(tài)分布.正態(tài)密度曲線的特點。Z7數(shù)字特征數(shù)學期望EX=xp+xp++xp++xpE(aX+b)-aEX+b方差和標準差方差：DX-X(x-EX)2p,標準差?：oX-DdXi iD(aX+b)-a2DX*22.統(tǒng)計與統(tǒng)計案例統(tǒng)計與統(tǒng)計案例統(tǒng)計隨機抽樣簡單抽樣從總體中逐個抽取且不放回抽取樣本的方法。等概率抽樣。分層抽樣將總體分層，按照比例從各層中獨立抽取樣本的方法。系統(tǒng)抽樣將總體均勻分段，每段抽取一個樣本的方法。樣本估計總體頻率分布在樣本皿個(范圍)數(shù)據(jù)在總體中占有的比例成為這個(范圍)數(shù)據(jù)的頻率，使用頻率分布表、頻率分布直方圖表達樣本數(shù)據(jù)的頻率分布。莖葉圖也反映樣本數(shù)據(jù)的分布。統(tǒng)計的基本思想是以樣本的分布估計總體的分布。即以樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù)。眾數(shù)樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。樣本特征數(shù)中位數(shù)從小到大排序后，中間的數(shù)或者中間兩數(shù)的平均數(shù)。平均數(shù)x,x,,x的平均數(shù)是x-，(x+x++x)。n n1 2 n方差x,x，…,x的平均數(shù)為x,s2=1X(x-x)2。n n i i-1 標準差s飛11X(x-x)2n ii-1統(tǒng)回歸相關(guān)關(guān)系兩個變量之間的一種不確定性關(guān)系，有正相關(guān)和負相關(guān)。13

計案例分析最小二乘法Q=￡（y-a—"）2最小時得到回歸直線方程y=bx+a的方法。i-1i 1獨立性檢驗對于值域分別是｛X],xJ和｛片yJ的分類變量X和Y，列出其樣本頻數(shù)列聯(lián)表，通過計算卡方統(tǒng)計量判斷兩個分類變量是否有關(guān)的方法。*23.函數(shù)與方程思想,數(shù)學結(jié)合思想函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想函數(shù)思想函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決.函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的，函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系.方程思想方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系，列方程（組），通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進行研究，以求得問題的解決.數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過對形的研究解決數(shù)的問題、或者獲得解決數(shù)的問題解決思路解決數(shù)學問題的思想。數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野.以數(shù)助形根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，通過數(shù)的計算、式子的變換等解決數(shù)學問題的數(shù)學方法。*24.分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想分類與整分類與整合分類思想解答數(shù)學問題，按照問題的不同發(fā)展方向分別進行解決的思想方法。分類與整合思想的主要問題是“分”，解題的過程是“合一分一合”。整合思想把一個問題中各個解決的部分，基本合并、提煉得出整體結(jié)論的思想方法。合、化歸思想根據(jù)熟知的數(shù)學結(jié)論和已知掌握的數(shù)學題目解法，把數(shù)學問題化生疏為熟練、化困難為容易、化整體為局部、化歸轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是化歸與化歸與轉(zhuǎn)化化復(fù)雜為簡單的解決問題的思想方法?！盎荒転榭赡堋?，使用化歸轉(zhuǎn)化根據(jù)熟知的數(shù)學結(jié)論和已知掌握的數(shù)學題目解法，把轉(zhuǎn)化思想需要有數(shù)字知識和解題經(jīng)驗的積累。轉(zhuǎn)化思想數(shù)學問題化空間為平面、化高維為低維、化復(fù)雜為簡單解決問題的思想方法。*25.幾何證明選講幾何證明選講相似三角形平行線等分線段如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條（與這組平行線相交的）直線上截得的線段也相等.截割定理兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成比例.相似三角形判定定理兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似。推論：如果一條直線與一個三角形的一條邊平行，且與三角形的另兩邊相交，則截得的三角形與原三角形相似.兩邊對應(yīng)成比例且兩夾角相等的兩三角形相似。三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似。直角三角形射影定理：14

性質(zhì)定理相似三角形的對應(yīng)線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.直角三角形一條直角邊的平方等于在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高等于兩直角邊在斜邊上射影的乘積.直線與圓的位置關(guān)系圓中的角圓周角定理圓周角的度數(shù)等于其所對弧度數(shù)的一半.推論1:同弧(或等弧)上的圓周角相等.同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：半圓(或直徑)上的圓周角等于90.反之，90的圓周角所對的弦為直徑。 °0弦切角定理弦切角的度數(shù)等于所夾弧度數(shù)的一半.推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等.圓的切線判定過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線長相等.性質(zhì)圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.圓中比例線段相交弦定理圓的兩條相交弦，被交點分成兩段的積相等.割線定理從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段的積相等.切割線定理從圓外一點引圓的一條割線