專題13計(jì)數(shù)原理

/39/39/專題13計(jì)數(shù)原理目錄一常規(guī)題型方法1題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）1題型二排隊(duì)模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）6題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）10題型四二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)15題型五三項(xiàng)展開式與兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式21題型六二項(xiàng)式定理逆用、整除問題、近似值問題23題型七楊輝三角25二針對性鞏固練習(xí)28練習(xí)一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）28練習(xí)二排隊(duì)模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）30練習(xí)三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）32練習(xí)四二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)34練習(xí)五三項(xiàng)展開式與兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式36練習(xí)六二項(xiàng)式定理逆用、整除問題、近似值問題37練習(xí)七楊輝三角38常規(guī)題型方法題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）【典例分析】典例1-1．（2023秋·河北石家莊·高二校聯(lián)考期末）2023年元旦假期，小明同學(xué)外出去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機(jī)會，需從9個(gè)外觀完全相同的盲盒中，隨機(jī)抽取3個(gè)．已知這9個(gè)盲盒中，其中3個(gè)盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另外6個(gè)盲盒中，各裝有不同的1個(gè)小飾品，則拆開選取的3個(gè)盲盒后，小明獲獎的情形為（????）種A．84 B．42 C．41 D．35【答案】B【分析】對抽到鋼筆的情形分種情況討論，按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】解：依題意小明抽到支鋼筆，則抽到個(gè)不同的小飾品，有種；小明抽到支鋼筆，則抽到個(gè)不同的小飾品，有種；小明抽到支鋼筆，則只有種；小明抽到支鋼筆，則抽到個(gè)不同的小飾品，由種；綜上可得小明獲獎的情形有種.故選：B典例1-2．（2022秋·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（????）A．13種 B．22種 C．30種 D．60種【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法，故選：D．典例1-3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，矩形的對角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？A．260 B．180 C．240 D．120【答案】A【分析】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，最多四種顏色，分類討論，最后相加.【詳解】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：第一類，用4種顏色涂色，有種方法．第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有種．在涂的過程中，選對頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有種選法；3種顏色涂上去有種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得共種涂法．第三類，用兩種顏色涂色．選顏色有種選法，A、C用一種顏色，B、D涂一種顏色，有種涂法，故共種涂法．∴共有涂色方法120+120+20＝260種，故選：A．典例1-4．（2022春·天津河西·高二天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？计谥校闹腥稳?個(gè)數(shù)字，從中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則這樣的五位數(shù)共有（????）A．252 B．396 C．468 D．612【答案】C【分析】滿足條件的五位數(shù)可分為兩類，第一類含0，第二類不含0，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】滿足條件的五位數(shù)可分為兩類，第一類含0，先由2,4,6中任選兩個(gè)數(shù)，再從1,3,5中任選2個(gè)數(shù)，有種選法，最后將所選的數(shù)與0排成五位奇數(shù)有種排法，故滿足條件的數(shù)共個(gè)，第二類不含0，先由2,4,6中任選三個(gè)數(shù)，再從1,3,5中任選2個(gè)數(shù)，有種選法，最后將所選的數(shù)排成五位奇數(shù)有種排法，故滿足條件的數(shù)共個(gè)，故滿足條件的五位數(shù)共個(gè)，即468個(gè)，故選：C.【方法技巧總結(jié)】1.技巧：注意特殊位置與特殊元素優(yōu)先處理，對于染色問題與排數(shù)問題都要注意分類討論?！咀兪接?xùn)練】1．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知電影院有三部影片同時(shí)上映，一部動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學(xué)前去觀看，若喜劇片和動作片各至少兩人觀看，則不同的觀影方案共有（????）種.A．30 B．40 C．50 D．80【答案】C【分析】根據(jù)題意可知事件包含喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2人，喜劇片2人且動作片3人三種情況，求出對應(yīng)的方案后相加即可.【詳解】喜劇片和動作片至少兩人觀看的情況有：喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2人，喜劇片2人且動作片3人，當(dāng)喜劇片2人且動作片2人時(shí)，共有種觀看方案，當(dāng)喜劇片3人且動作片2人時(shí)，共有種觀看方案，當(dāng)喜劇片2人且動作片3人時(shí)，共有種觀看方案，所以一共有種觀看方案.故選：C.2．（2022春·上海閔行·高二?？计谀┈F(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（????）A． B． C．20 D．9【答案】A【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學(xué)選擇講座，后由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，有4種方法；?；第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36??????? B．48?????? C．54????? D．72【答案】D【分析】符合條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理分別求出其方法數(shù)，相加即可求得結(jié)果.【詳解】如圖：將五個(gè)區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有種方案，即48種方案；區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有種方案，即24種方案；所以符合條件的涂色方案共有72種，故選：D.4．（2022春·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，它是用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的正整數(shù)，被稱為“回文數(shù)”，如22，575，1661等．那么用數(shù)字1，2，3，4，5可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（????）A．25 B．20 C．30 D．36【答案】A【分析】計(jì)算出由1個(gè)數(shù)字組成的4位回文數(shù)和由2個(gè)數(shù)字組成的4位回文數(shù)，相加后得到答案.【詳解】1，2，3，4，5可以組成的4位“回文數(shù)”中，由1個(gè)數(shù)字組成的4位回文數(shù)有5個(gè)，由2個(gè)數(shù)字組成的4位回文數(shù)有個(gè)，所以由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為20+5=25.故選：A題型二排隊(duì)模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）【典例分析】典例2-1．（2022秋·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）小陳準(zhǔn)備將新買的《尚書·禮記》、《左傳》、《孟子》、《論語》、《詩經(jīng)》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》、《詩經(jīng)》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有（????）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】先將《論語》、《詩經(jīng)》兩書捆綁，然后排好《尚書·禮記》，再排好剩余3個(gè)位置，最后排《論語》、《詩經(jīng)》，根據(jù)分步乘法，即可求得結(jié)果.【詳解】先將《論語》、《詩經(jīng)》兩書捆綁看作一個(gè)整體，則可以看作共4個(gè)位置.先排《尚書·禮記》，排法種數(shù)為；然后剩余3個(gè)位置全排列，排法種數(shù)為；最后排好《論語》、《詩經(jīng)》，兩書的排法種類為.所以，不同的擺放方法有種.故選：B.典例2-2．（2022秋·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）《紅樓夢》是中國古代章回體長篇小說，中國古典四大名著之一，《紅樓夢》第三十七回賈探春提議邀集大觀園中有文采的人組成海棠詩社．詩社成立目的旨在“宴集詩人於風(fēng)庭月榭；醉飛吟盞於簾杏溪桃，作詩吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉．”詩社成員有8人：林黛玉、薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈，若這8人排成一排進(jìn)人大觀園，且林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，則不同的排法種數(shù)有（????）A．1440 B．2400 C．14400 D．86400【答案】C【分析】根據(jù)插空法，利用排列數(shù)公式求解.【詳解】不相鄰問題用插空法，先將其他5人排好，有種不同的排法，再將林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人排入其他5人隔開的6個(gè)空中，有種不同的排法，所以有（種）不同的排法.故選：C典例2-3．（2022秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（????）．A．32種 B．70種 C．90種 D．280種【答案】B【分析】因?yàn)槿魰r(shí)每次只能取一盞，所以每串燈必須先取下面的燈，由定序問題可求解.【詳解】因?yàn)槿魰r(shí)每次只能取一盞，所以每串燈必須先取下面的燈，即每串燈取下的順序確定，取下的方法有種．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查定序問題的處理，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定序模型，屬于中檔題.典例2-4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某晚會上需要安排4個(gè)歌舞類節(jié)目和2個(gè)語言類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個(gè)歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（????）．A．72 B．96 C．120 D．144【答案】D【分析】首先全排列2個(gè)語言類的節(jié)目，再從4個(gè)歌舞類節(jié)目中選出2個(gè)節(jié)目放入2個(gè)語言類的節(jié)目之間，最后與其余的兩個(gè)歌舞節(jié)目全排列即可.【詳解】第一步：全排列2個(gè)語言類的節(jié)目，共有種情況，第二步：從4個(gè)歌舞類節(jié)目中選出2個(gè)節(jié)目放入2個(gè)語言類的節(jié)目之間，共有種情況，第三步：再將排好的4個(gè)節(jié)目視為一個(gè)整體，與其余的兩個(gè)歌舞節(jié)目全排列，共有種情況，所以.故選：D【方法技巧總結(jié)】1.技巧：相鄰問題用捆綁法；不相鄰問題用插空法；定序問題與環(huán)排問題可用縮倍法；當(dāng)正向思考情況過多時(shí)可“正難則反”使用間接法來處理。【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)?；I備元旦晚會節(jié)目單時(shí)，準(zhǔn)備在前五個(gè)節(jié)目排三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目，若三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰，則不同的排法總數(shù)為（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用間接法求解，先求出五個(gè)節(jié)目的全排列數(shù)，再求出三個(gè)歌唱節(jié)目都相鄰的排法數(shù)，相減即可得結(jié)果.【詳解】三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目的全排列的排列數(shù)為，其中三個(gè)歌唱節(jié)目都相鄰的排法數(shù)為，故滿足條件的排法數(shù)為，所以三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰的排法總數(shù)為84，故選：C.2．（2022秋·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習(xí)）根據(jù)新課改要求，昆明市藝卓中學(xué)對學(xué)校的課程進(jìn)行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物這六個(gè)科目進(jìn)行重新編排（排某一天連續(xù)六節(jié)課的課程，其中每一節(jié)課是一個(gè)科目），編排課程要求如下：數(shù)學(xué)與物理不能相鄰，語文與生物要相鄰，則針對這六個(gè)課程不同的排課順序共有（????）A．144種 B．72種 C．36種 D．18種【答案】A【分析】由題意知，語文生物相鄰用捆綁法“捆綁法”，先與不受限學(xué)科全排列，數(shù)學(xué)物理不相鄰，用“插空法”后排列，最后要考慮語文生物的順序，根據(jù)排列數(shù)公式以及分步乘法原理即可求出結(jié)果.【詳解】語文與生物要相鄰，將語文與生物捆綁看作一個(gè)整體.數(shù)學(xué)與物理不能相鄰，采用插空法，后排.第一步，將語文與生物捆綁看作一個(gè)整體后，與英語、化學(xué)共3個(gè)，排列種類為；第二步，第一步完成后共有4個(gè)位置，將物理和數(shù)學(xué)排好，排列種類為；第三步，語文與生物的排列種類為.所以，總的排列順序有.故選：A.3．（2022春·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學(xué)?？计谥校┈F(xiàn)有8個(gè)人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先排列沒有限制的排法，有種，把甲、乙、丙三人相鄰的情況去掉，即可得到答案.【詳解】8個(gè)人圍成一圈,有種.其中甲、乙、丙三人相鄰，看做一個(gè)整體，由.所以甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為.故答案為：D4．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（????）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)，去掉其中的“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時(shí)，“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）【典例分析】典例3-1．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和靜高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（????）種A．450 B．72 C．90 D．360【答案】A【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理結(jié)合平均分組以及不平均分組運(yùn)算求解.【詳解】6名航天員安排三艙，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種，故選：A.典例3-2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）疫情期間，有6名同學(xué)去社區(qū)做防疫志愿者，根據(jù)需要，要安排這6名同學(xué)去甲?乙兩個(gè)核酸檢測點(diǎn)，每個(gè)檢測點(diǎn)至少去2名同學(xué)，則不同的安排方法共有(????)A．10種 B．20種 C．50種 D．70種【答案】C【分析】根據(jù)題意，分2種情況進(jìn)行討論：①一組2人，一組4人，分別派到兩個(gè)檢測點(diǎn)；②一組3人，另外一組3人，分別派到兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)﹒【詳解】根據(jù)題意，分2種情況，(1)①將6人分為人數(shù)為2和4的2組，有種分組方法，②將分好的2組全排列，安排到2個(gè)核酸點(diǎn)，有種情況，則有種不同的安排方法；(2)①將6人分為人數(shù)為3和3的2組，有種分組方法，②將分好的2組全排列，安排到2個(gè)核酸點(diǎn)，有種情況，則有種不同的安排方法；∴不同的安排方法有，故選：C．典例3-3．（2022春·黑龍江佳木斯·高二校聯(lián)考期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（????）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先將剩下的3名志愿者分為兩組，再把小明和小李分別放在兩組中，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.【詳解】先將剩下的3名志愿者分為兩組有種，再把小明和小李分別放在兩組中有2種，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”有2種，則共有種.故選：C.典例3-4．（2022·山東濰坊·二模）某學(xué)校為增進(jìn)學(xué)生體質(zhì)，擬舉辦長跑比賽，該學(xué)校高一年級共有個(gè)班，現(xiàn)將個(gè)參賽名額分配給這個(gè)班，每班至少個(gè)參賽名額，則不同的分配方法共有（????）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】采用隔板法直接求解即可.【詳解】將個(gè)參賽名額分配給這個(gè)班，名額之間并無區(qū)別，將個(gè)參賽名額采用“隔板法”分成份即可，每份至少一個(gè)名額，共有種.故選：B.典例3-5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）北京冬奧會期間，比賽項(xiàng)目豐富多彩，為了實(shí)時(shí)報(bào)道精彩的比賽過程，需要安排5名記者前往國家體育場、國家體育館和首都體育館三個(gè)比賽場地進(jìn)行實(shí)地報(bào)道.每個(gè)場地至少有一名記者，每名記者只去一個(gè)場地，并且記者甲不去國家體育館，記者乙不去國家體育場.則安排方式共有（????）A．87種 B．72種 C．96種 D．69種【答案】D【分析】求得所有的安排方式，再求得甲去了國家體育館，乙去了國家體育場的情況，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】沒有“記者甲不去國家體育館，記者乙不去國家體育場”附加條件下的情況，共計(jì)有種安排方式；“記者甲去國家體育館”的情況有種，同理“記者乙去國家體育場”的情況有50種，“記者甲去國家體育館，記者乙去國家體育場”的情況有如下19種：除甲乙之外的3人都去首都體育館的1種，除甲乙之外的3人分別去了國家體育場、國家體育館和首都體育館，則有種，除甲乙之外的3人至少有一人去了首都體育館的所有可能有.所以滿足題意的所有安排方式有種.故選：.【方法技巧總結(jié)】1.技巧：在分組時(shí)如果出現(xiàn)兩組個(gè)數(shù)相同，則此問題為平均分組或部分平均分組問題，使用縮倍法處理；元素完全相同的分組分配問題可使用隔板法?！咀兪接?xùn)練】1．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）安徽省地形具有平原、臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多，比如：黃山、九華山、天柱山.某校開設(shè)了研學(xué)旅行課程，計(jì)劃將5名優(yōu)秀學(xué)生分別派往這三個(gè)地方進(jìn)行研學(xué)旅行，每座山至少有一名學(xué)生參加，則不同的安排方案種數(shù)是（????）A．150 B．120 C．160 D．180【答案】A【分析】先分成三組，可以3、1、1，也可以2、2、1，分好后再安排到三個(gè)山.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名優(yōu)秀學(xué)生分為3組，若分為3、1、1的三組，有種分組方法，若分為2、2、1的三組，有種分組方法，故共有種分組方法，②將分好的3組安排到3個(gè)地方進(jìn)行研學(xué)旅行，有種情況，則有種安排方法.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面深化新時(shí)代教師隊(duì)伍建設(shè)改革意見》精神，加強(qiáng)義務(wù)教育教師隊(duì)伍管理，推動義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，安徽省全面實(shí)施中小學(xué)教師“縣管校聘”管理改革，支持建設(shè)城鄉(xiāng)學(xué)校共同體.2022年暑期某市教體局計(jì)劃安排市區(qū)學(xué)校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校工作一年，每所學(xué)校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（????）A．2640 B．1440 C．2160 D．1560【答案】D【分析】先分組再排序即可.【詳解】6人分組有2種情況：2211，3111，所以不同安排方案的總數(shù)為.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.為了表彰?兩個(gè)志愿者小組，組委會決定將3個(gè)不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個(gè)不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配給?兩個(gè)小組，要求每個(gè)小組至少有一個(gè)“冰墩墩”，則這6個(gè)吉祥物的分配方法種數(shù)為（????）A．9 B．18 C．19 D．20【答案】B【分析】分小組有1個(gè)“冰墩墩”和有2個(gè)“冰墩墩”兩種情況討論，按照分類加法與分步乘法計(jì)算原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意小組“冰墩墩”可能有1個(gè)或2個(gè)，①小組有1個(gè)“冰墩墩”，則有種分配方法；②小組有2個(gè)“冰墩墩”，則有種分配方法；綜上可得一共有種分配方法；故選：B4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）袋中有十個(gè)完全相同的乒乓球，四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，最后四個(gè)小朋友手中乒乓球個(gè)數(shù)的情況一共有（????）A．84種 B．504種 C．729種 D．39種【答案】A【分析】相同元素分組可以采用“隔板法”求解.【詳解】四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，即將個(gè)球分成了份：個(gè)球有個(gè)空隙，選個(gè)空隙插上“隔板”即可分成4份，即：種.故選：A.5．（2022·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測）第19屆亞運(yùn)會即將于2022年9月10日至9月25日在美麗的西子湖畔杭州召開，為了辦好這一屆“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會，杭州亞運(yùn)會組委會決定進(jìn)行賽會志愿者招募，此舉得到在杭大學(xué)生的踴躍支持.某高校3男同學(xué)和2位女同學(xué)通過篩選加入志愿者服務(wù)，通過培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)有（????）A．144 B．150 C． D．【答案】D【分析】由題得參與志愿服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為：2，1，1，1，先求得沒有限制時(shí)安排方法數(shù)，再減去兩個(gè)女同學(xué)在一起和男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起的方法數(shù)即可.【詳解】解：由題可得，參與志愿服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為：2，1，1，1，若沒有限制則共有種安排方法；當(dāng)兩個(gè)女同學(xué)在一起有種安排方法；當(dāng)男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起有種方法，所以當(dāng)要求2位女同學(xué)不安排一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)有種安排方法，故選：D題型四二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)【典例分析】典例4-1．（2022秋·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校?？计谥校┑恼归_式中，的系數(shù)等于（????）A． B． C．10 D．45【答案】B【分析】利用通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)式的展開式，確定，從而確定的系數(shù)等于-10.【詳解】的展開式為，令，解得：，故，所以的系數(shù)等于-10.故選：B典例4-2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（????）項(xiàng).A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先求出二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，分別求出第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)，由題意得到關(guān)于的方程，即可確定其展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為，則第3項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為，因?yàn)榈?項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，所以，所以，解得，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故選：C典例4-3．（2022秋·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（????）A．9 B．15 C．135 D．540【答案】C【分析】根據(jù)所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為，求出，再根據(jù)通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為，得，即，所以，令，得，所以二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：C．典例4-4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝中學(xué)?？计谀┤舳?xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（????）A．25 B． C．15 D．【答案】A【分析】先由賦值法令求得系數(shù)和，進(jìn)而解出，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】令可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，解得，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，則，即常數(shù)項(xiàng)為25.故選：A.典例4-5．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若，則的值為（????）A．0 B．32 C．64 D．128【答案】A【分析】先利用賦值法求得和的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】，時(shí)，，時(shí)，，故選：A.典例4-6．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外國語學(xué)校校考期末）已知，則（????）A． B．2 C．4 D．12【答案】C【分析】令，直接根據(jù)二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】令，則，故，中得系數(shù)為，中得系數(shù)為，所以，故選：C.【方法技巧總結(jié)】1.二項(xiàng)式定理：，通項(xiàng)：2.相關(guān)性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。即（2）當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小。（3）二項(xiàng)式系數(shù)的最大值當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)和第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取到最大值，最大值為或。（4）各二項(xiàng)式系數(shù)的和的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于；奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)的和相等，為。（5）各項(xiàng)系數(shù)的問題：，則各項(xiàng)系數(shù)之和為。奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和。【變式訓(xùn)練】1．（2000·全國·高考真題）二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（????）A．6項(xiàng) B．7項(xiàng) C．8項(xiàng) D．9項(xiàng)【答案】D【分析】由二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式結(jié)合有理項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)，若要系數(shù)為有理數(shù)，則，，，且，即，，易知滿足條件的，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有9項(xiàng).故選：D2．（2022·浙江·?？寄M預(yù)測）若二項(xiàng)式的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式的有理項(xiàng)中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則（????）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)條件可得.寫出展開式的通項(xiàng)，則當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，求得所有的有理項(xiàng)的系數(shù)，可解出的值.【詳解】由已知可得，.根據(jù)二項(xiàng)式定理，知展開式的通項(xiàng)為，顯然當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.經(jīng)比較可得，，即時(shí)系數(shù)最大，即展開式的有理項(xiàng)中第5項(xiàng)的系數(shù)最大．故選：A.3．（2022春·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）已知的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的第3項(xiàng)為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的展開通項(xiàng)公式，從而得到關(guān)于的方程，解之即可求得展開式中的第3項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)為，所以的展開式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，由性質(zhì)得，故，所以展開式中的第3項(xiàng)為.故選：D.4．（2023秋·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考階段練習(xí)）的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則a的值為（????）A．1 B．-1 C．3 D．1或-3【答案】D【分析】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可以得到的值，然后再賦值法求出所有項(xiàng)的系數(shù)和的表達(dá)式可解出a的值.【詳解】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以總共有9項(xiàng)，令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為故選：D5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)，則（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)可求得的值，再利用賦值法可求得和的值，作差可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)椋杂山M合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即.令，得，所以，故選：D.6．（2022春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）對任意實(shí)數(shù)，有，則（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求得，即可判斷B；令，可得，即可判斷A；令，可得，即可判斷C，令，可得，即可判斷D.【詳解】解：對任意實(shí)數(shù)，有，所以，故B正確；令，可得，故A錯誤；令，可得，則，故C錯誤；令，可得，故D錯誤.故選：B.題型五三項(xiàng)展開式與兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式【典例分析】典例5-1．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（????）A．120 B．160 C．180 D．210【答案】A【分析】將看作5個(gè)因式相乘，根據(jù)的指數(shù)可認(rèn)為5個(gè)因式中有兩個(gè)選項(xiàng)，其余兩個(gè)選y,最后一個(gè)因式選1，進(jìn)行相乘，可得答案.【詳解】由題意的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為,故選：A典例5-2．（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（????）A．12 B．13 C．15 D．18【答案】B【分析】展開式中有項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng).展開式中有項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng).則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為中項(xiàng)系數(shù)與展開式中項(xiàng)系數(shù)乘積與兩式中常數(shù)項(xiàng)乘積之和.【詳解】，，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.【方法技巧總結(jié)】1.技巧：選取法可以處理上述兩類不標(biāo)準(zhǔn)的情況，注意選取要分情況，且滿足不重不漏?！咀兪接?xùn)練】1．（2022秋·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（????）A． B．81 C． D．160【答案】B【分析】要得出常數(shù)項(xiàng)，則分類討論在的5項(xiàng)中，和1的項(xiàng)數(shù)組合的可能情況，再求和即可.【詳解】由題知，展開式中常數(shù)項(xiàng)為：.故選：B2．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)?？家荒＃┑恼归_式中的常數(shù)項(xiàng)是（????）A． B． C． D．20【答案】B【分析】求出的通項(xiàng)公式，令和，求解對應(yīng)常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，令，得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)是.故選：B．題型六二項(xiàng)式定理逆用、整除問題、近似值問題【典例分析】典例6-1．（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的值是（????）A．0 B．1 C．-1 D．【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的運(yùn)算公式，分析出展開前的式子即可.【詳解】.故選：B.典例6-2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，且，若能被13整除，則a的值為（????）．A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【分析】由二項(xiàng)式定理可知，將其展開后即可判斷出只要能被13整除，便能被13整除，結(jié)合已知的范圍即可求解.【詳解】，且含有因數(shù)52，故能被52整除，要使得能被13整除，且，，則可得，且，故，.故選：B典例6-3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（????）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【分析】由二項(xiàng)式定理求解【詳解】.故選：C【方法技巧總結(jié)】1.技巧：二項(xiàng)式定理逆用要熟悉兩類模型，并注意補(bǔ)項(xiàng)；整除問題與近似值問題都主要進(jìn)行配湊展開?！咀兪接?xùn)練】1．（2021春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）設(shè)復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（????）A．-2 B．-i C．2 D．0【答案】A【分析】先計(jì)算出，把整理為【詳解】..當(dāng).=-1-1=-2.故選：A2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則除以10所得的余數(shù)是（????）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】D【分析】依題意，再根據(jù)的展開式即可判斷；【詳解】解：，所以除以10的余數(shù)為8．故選：D．3．（2021春·安徽·高二校聯(lián)考期末）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（????）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】原式+．故選：A．題型七楊輝三角【典例分析】典例7-1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之為“楊輝三角”，該表中第10行第7個(gè)數(shù)是（????）A．120 B．210 C．84 D．36【答案】C【分析】由題意第九行的數(shù)就是的展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)可得答案.【詳解】由題意，第九行的數(shù)就是的展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，所以第10行第7個(gè)數(shù)是．故選：C.典例7-2．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（????）A．350 B．295 C．285 D．230【答案】C【分析】利用分組求和法和組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】記此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為，則，故選：C.【方法技巧總結(jié)】1.技巧：注意把每一行對應(yīng)還原二項(xiàng)式，從而能夠把任一行任一列的數(shù)寫成二項(xiàng)式系數(shù)；與數(shù)列結(jié)合的題需注意新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求法與二項(xiàng)式性質(zhì)的結(jié)合?！咀兪接?xùn)練】1．（2022春·廣東肇慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）習(xí)近平總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化，“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望，如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，第行中從左至右第與第個(gè)數(shù)的比值為（????）A． B． C． D．1【答案】A【分析】第行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，由此可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，第行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，因此，第行中從左至右第與第個(gè)數(shù)的比值為.故選：A.2．（2020春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┪覈纤螖?shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為（????）A．2060 B．2038 C．4084 D．4108【答案】C【分析】先由題意，根據(jù)楊輝三角的特征，得到楊輝三角形的前行的和，再求出去除所有為的項(xiàng)之和，構(gòu)成數(shù)列的和，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第行，例如，系數(shù)分別為，，，對應(yīng)楊輝三角形的第行，令，就可以求出該行的系數(shù)之和；第行為，第行為，第行為，以此類推，即每一行數(shù)字之和構(gòu)成首項(xiàng)是，公比是的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前行的和為，若去除所有為的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為，，，...，可看成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，，去除兩端的可得，則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查楊輝三角的應(yīng)用，涉及數(shù)列的求和，屬于?？碱}型.針對性鞏固練習(xí)練習(xí)一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）1．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）已知甲袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，若從甲、乙兩個(gè)袋子中各取出2個(gè)球，則取出的4個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的不同取法共有（????）A．9種 B．18種 C．27種 D．36種【答案】C【分析】甲最多可取1個(gè)紅球，故可以分兩類：①甲乙各取一紅球，②乙取兩個(gè)紅球．【詳解】甲、乙各取1個(gè)紅球，有種方法；乙取兩個(gè)紅球，有種方法；共有18+9＝27種方法.故選：C.2．（2022春·福建·高二福建師大附中?？计谥校┧拿麕煼渡鷱腁，B，C三所學(xué)校中任選一所進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)，其中A學(xué)校必有師范生去，則不同的選法方案有（????）A．37種 B．65種 C．96種 D．108種【答案】B【分析】可從反面考慮，計(jì)算A學(xué)校沒有人去的種數(shù).【詳解】若不考慮限制條件，每人都有3種選擇，則共有種方法，若沒有人去A學(xué)校，每人都有2種選擇，則共有種方法，故不同的選法方案有種.故選:B.3．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（????）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【答案】D【分析】依次給區(qū)域涂色，求出每一步的種數(shù)，由乘法分步原理即得解.【詳解】解：A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C有4種顏色可選，E有4種顏色可選，故共有5×4×3×4×4＝960種不同的涂色方法．故選：D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用1，2，3…，9這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（????）A．600個(gè) B．540個(gè) C．480個(gè) D．420個(gè)【答案】A【分析】依題意要使各位數(shù)字之和為奇數(shù)則可能是個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，或個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，分兩種情況討論，按照分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】解：依題意要使各位數(shù)字之和為奇數(shù)則可能是個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，或個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，若為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，則偶數(shù)一定排在個(gè)位，從個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)排在個(gè)位有種，再在個(gè)奇數(shù)中選出個(gè)排在其余三個(gè)數(shù)位，有種排法，故有個(gè)數(shù)字；若為個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，則奇數(shù)不排在個(gè)位，從個(gè)奇數(shù)中選一個(gè)排在前三位有種，再在個(gè)偶數(shù)中選出個(gè)排在其余三個(gè)數(shù)位，有種排法，故有個(gè)數(shù)字；綜上可得一共有個(gè)數(shù)字；故選：A練習(xí)二排隊(duì)模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在某個(gè)單位迎新晚會上有A、B、C、D、E、F6個(gè)節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（????）種A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【分析】根據(jù)D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F兩個(gè)節(jié)目，C是固定的，然后其他三個(gè)節(jié)目任意排列，由此可得．【詳解】由題意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個(gè)節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)為．故選：A．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有6家商戶預(yù)租賃某夜市的6個(gè)相鄰的推位，其中3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創(chuàng)產(chǎn)品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創(chuàng)產(chǎn)品店不相鄰，則不同的排法總數(shù)為（????）A．48 B．72 C．144 D．96【答案】B【分析】把小吃店捆綁，然后把文創(chuàng)店插空即可求解．【詳解】先把3家小吃店捆綁全排共有種排法，再把小吃店與玩具店全排共有種排法，然后把2家文創(chuàng)店插空全排共有種排法，所以共有6×2×6＝72種故選：B.7．（2022·全國·高二假期作業(yè)）為引領(lǐng)廣大家庭和少年兒童繼承黨的光榮傳統(tǒng)、弘揚(yáng)黨的優(yōu)良作風(fēng)，進(jìn)一步增強(qiáng)聽黨話、感黨恩、跟黨走的思想自覺性和行動自覺性，某市文明辦舉行“少年兒童心向黨”主題活動，獻(xiàn)禮中國共產(chǎn)黨成立100周年原定表演6個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時(shí)增加了2個(gè)互動節(jié)目．如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（????）A．42 B．56 C．30 D．72【答案】B【分析】結(jié)合倍縮法即可解決部分定序問題.【詳解】增加2個(gè)互動節(jié)目后，一共有8個(gè)節(jié)目，這8個(gè)節(jié)目的不同排法有種，而原有的6個(gè)節(jié)目對應(yīng)的不同排法有種，所以不同的排法有（種）．故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）舉世矚目的第24屆冬奧會于2022年2月4日至2月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大學(xué)生志愿者前往A、B、C、D四個(gè)場館服務(wù)，每一位志愿者只去一個(gè)場館，每個(gè)場館至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同學(xué)和乙同學(xué)不能去同一場館，則所有不同的安排方法種數(shù)為（????）A．216 B．180 C．108 D．72【答案】A【分析】利用間接法即得.【詳解】由題可得甲、乙、丙、丁、戊5位大學(xué)生志愿者前往A、B、C、D四個(gè)場館服務(wù)，每一位志愿者只去一個(gè)場館，每個(gè)場館至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法種，其中甲同學(xué)和乙同學(xué)去同一場館的安排方法種數(shù)為，故甲同學(xué)和乙同學(xué)不去同一場館，所有不同的安排方法種數(shù)為.故選：A.練習(xí)三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）9．（2022春·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考期末）第24屆冬季奧運(yùn)會于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市成功舉行，舉世矚目.中國奧運(yùn)健兒取得了多項(xiàng)歷史性的突破，比賽期間要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去國家高山滑雪館，國家速滑館，首鋼滑雪大跳臺三個(gè)場館參加活動，要求每人去一個(gè)場館，每個(gè)場館都要有人去，則不同的方案種數(shù)為（????）A．120 B．150 C．240 D．300【答案】B【分析】將5人分為3組有兩種情況：1人1人3人；1人2人2人，再分好組派去三個(gè)不同的場館求解即可【詳解】將5人分為3組：1人1人3人；1人2人2人；再將分好的3組分配到三個(gè)不同的場館共有種分法；故選：B.10．（2022秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）2021年4月24日是第六個(gè)“中國航天日”，今年的主題是“揚(yáng)帆起航逐夢九天”.為了制作一期展示我國近年來航天成就的展覽，某?？破招〗M的6名同學(xué)，計(jì)劃分“神舟飛天”?“嫦娥奔月”?“火星探測”3個(gè)展區(qū)制作展板，每人只負(fù)責(zé)一個(gè)展區(qū)，每個(gè)展區(qū)至少有一人負(fù)責(zé)，則不同的任務(wù)分配方案有（????）A．990種 B．630種 C．540種 D．480種【答案】C【分析】分成三類，每一類用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合可得任務(wù)分配方案種數(shù)，然后相加即可得到結(jié)果.【詳解】分成三類：①將6名同學(xué)分成三組：一組1人，一組2人，一組3人：不同的任務(wù)分配方案有種；②將6名同學(xué)分成三組：一組4人，其他兩組各2人：不同的任務(wù)分配方案有種；③將6名同學(xué)平均分成三組：各組都是2人：不同的任務(wù)分配方案有種；綜上可知，不同的任務(wù)分配方案共有種.故選：C.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙?丙?丁共4名學(xué)生報(bào)名參加夏季運(yùn)動會，每人報(bào)名1個(gè)項(xiàng)目，目前有100米短跑?3000米長跑?跳高、跳遠(yuǎn)?鉛球這5個(gè)項(xiàng)目可供選擇，其中100米短跑只剩下一個(gè)參賽名額，若最后這4人共選擇了3個(gè)項(xiàng)目，則不同的報(bào)名情況共有（????）A．224種 B．288種 C．314種 D．248種【答案】B【分析】分不選100米短跑和1人選100米短跑，再按照分組分配問題求解即可.【詳解】分兩種情況討論：①不選100米短跑，四名學(xué)生分成2名、1名、1名三組，參加除100米短跑的四個(gè)項(xiàng)目中的三個(gè)，有種；②1人選100米短跑，剩下三名學(xué)生分成2名、1名兩組，參加剩下四個(gè)項(xiàng)目中的兩個(gè)，有種.故他們報(bào)名的情況總共有種.故選：B.12．（2022春·吉林延邊·高二延邊二中?？计谥校┌?個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法（????）A．10種 B．種 C．種 D．60種【答案】A【分析】采用隔板法，在個(gè)空中插入塊板，根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，采用隔板法，在個(gè)空中插入塊板，則不同的放法共有種；故選：A13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有（????）A．60 B．66 C．72 D．80【答案】C【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合部分平均分組以及結(jié)合間接法運(yùn)算求解.【詳解】5名航天員安排三艙，每個(gè)艙至少一人至多二人，共有種安排方法，若甲乙在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有種，故甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有種.故選：C.練習(xí)四二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)14．（2022秋·甘肅蘭州·高三蘭州西北中學(xué)校考期中）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（????）A．－45 B．45 C．－120 D．120【答案】C【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為，令得，故項(xiàng)的系數(shù)是故選：C.15．（2022·江蘇南京·南京市江寧高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件解出n，令x＝1即可得到答案﹒【詳解】由題知，由組合數(shù)性質(zhì)解得n＝6，∴＝，令x＝1