九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)講義專題05一元二次方程整數(shù)根答案

專題05一元二次方程的整數(shù)根例1當(dāng)k=4時(shí)，x=1；當(dāng)k=8時(shí)，x=-2；當(dāng)k≠4且k≠8時(shí)，x14，x28，可得k=6或k=4,6,88k4k或12．例2C例3C提示：方程變形為對(duì)于x的二次方程x2yx2y2290，=7y2116≥0且是完整平方數(shù)，得y216,∴y4,∴x11,x23,x31,x43.y14y24y34y44例4①若r0，則x1不是整數(shù)；②r0，設(shè)方程的兩根為x1,x2(x1x2)，則x1x2r2，2rx1x2r1，于是2x1x2(x1x2)2r1r23,有(2x11)(2x21)x11x137，解得或x2則rrrx2401或r1.3例5由x2-2(y50)x(y2)0得4(y50)24(y2y)4(250099y)0,即(250099y)0,yy25時(shí),方程有實(shí)數(shù)解x50y250099y.因?yàn)?250099y)一定是完整平方數(shù),而完整平方數(shù)的末位數(shù)字可能為0,1,4,5,6,9,故僅可取25,此時(shí)x30或,x20,故所求的四位數(shù)為2025或3025.例6解法一:因a的次數(shù)較低,故將方程整理為關(guān)a于的一次方程,得(x2)2a2(x6),明顯x20,于是a2(x6),∵a是正整數(shù),a2(x6)1,化簡得x22x80,解得4x2(x2).當(dāng)(x21,即2)22)(xx4,3,1,0,1,2時(shí),a1,6,10,3,14,1.∵a是正整數(shù),故a的值為1,3,6,10.解法二:942a24a(a3)4(8a1)為完整平方數(shù),故4(8a1)為奇數(shù)的平方.令(8a1)(2m1)2,m是1正整數(shù),則am2m,于是,原方程可化為m(m1)x24(m2m1)x4(m2)(m3)0,即2mx2（m-2)(m1)x2(m3)0,解得x124,x224,∴m4或（m1）4得m1,2,4或mm1m1,3,故a的值位1,3,6,10.級(jí)1x1x2119.①當(dāng)k0時(shí)，則x1，即k0為所求；②k0時(shí),則k,得(x11)(x21)3,由此可得1x1x21kk1,或k1.710.n0提示:方程①x1x224n23n2,方程②根為2n2,1n,注意議論.11.a2,10,4p211150，pq0，為p,q正整數(shù).由②得12.由韋達(dá)定理，得pqq)16②，pq①，pq(p942224p151,481,13,37,得16pq60(pq)16,即(4p15)(4q15)1615481,故4q15481,1,37,134,124,7,13，pq124,4,13,7，代入①，即只有p13,q7知足條件.B級(jí)9849,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3.5提示:當(dāng)k6時(shí),解得x2.當(dāng)k9時(shí),解得x3.當(dāng)k6且k9時(shí),解得x19,x26.9k9k當(dāng)6k1,3,9時(shí),x1是整數(shù)，這時(shí)k7,5,3,15,3；當(dāng)9k1,2,3,6時(shí)，x2是整數(shù)，這時(shí)k10,8,11,7,15,3.綜上所述,k3,6,7,9,15時(shí),原方程的解為整數(shù).4.11提示:將原方程整理為對(duì)于a的二次方程x27a2xa10,283x20,6ax283x2,議論列舉.2(x27)5.1,3,5:x13x215提示2,.aa6.-2,或-67.A提示:a與1時(shí)方程5x22001x90的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.a8.C9.解得x112，x244224(x11,x21)，消去k得，k1，故k，kx24k2x111xxx23x120，即x1x232，求得k6,3,10.310.設(shè)兩連續(xù)正偶數(shù)為k,k2,則有9x223x2k(k2),即9x223x(k22k2)0,2x為有理數(shù),則5656(k1)2為完整平方數(shù),令p2(p0),p26(k1)256511355651也即p6(k1)p6(k1)11555651,于是得p6(k1)113,或p6(k1)5658或k46,相應(yīng)的方程的解為x2或x41p6(k1)5p6(k1)解得k91與x17或x1302或x17時(shí),9x223x28或10,或許46或489.總之,當(dāng)x恰為兩個(gè)整數(shù)的乘積.11.令222n為非負(fù)數(shù)),即21qnqn且qn與qn奇偶性相q4pn(（qn)(qn)4p.∵qn22①,qn4②,qnpqn2pqnp2⑤；消去n分別得：同,則qnp2③,④,qn4qn2pqn4pqn2pqp21，qp22，q5p，q2p，q2p2，對(duì)于第1、3種情況，p2,q5對(duì)于第2、5222種情況，p2,q4（不合題意，舍去）；對(duì)于第四種情況，p為合數(shù)（舍去）.又當(dāng)p2,q5時(shí)，方程為2x25x211,22.0,x2x12.(1)bca2a1,bc2,則b,c是一元二次方程22t2a10的兩根,ta故44(a2a1)4(a2a)0,即a(a1)0,又∵a0且a為整數(shù),則a1,∴abc1.(2)由條件得kx2(k1)xk0,又∵原方程只有一組解,當(dāng)k0時(shí),x0,y1,0切