高中數(shù)學必修4全冊導(dǎo)學案

1.1.1任意角

班級姓名

一、學習目標：1.理解并掌握任意角、象限角、終邊相同的角的定義。2.會寫終邊相同的角的

集合并且會利用終邊相同的角的集合判斷任意角所在的象限。

二、重點、難點：任意角、象限角、終邊相同的角的定義是本節(jié)課的重點，用集合和符號來

表示終邊相同的角是本節(jié)課的難點

三、知識鏈接：

1.初中是如何定義角的？

2.什么是周角，平角，直角，銳角，鈍角？

四、學習過程：

(一)閱讀課本1?3頁解決下列問題。

問題1、毯___________方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按一方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做

負角，如果一條射線沒有作_旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。零角的____________與

重合。如果a是零角，那么a=o

問題2、

任

意

角

問題3、畫出下列各角

(1)780°(2)-120°(3)-660°(4)1200°

問題4、象限角與象限界角

為了討論問題的方便，我們總是把任意大小的角放到平面直角坐標系內(nèi)加以討論，具體

做法是：(1)使角的頂點和坐標重合；(2)使角的始邊和x軸重合.這時，

角的終邊落在第兒象限，就說這個角是的角(有時也稱這個角屬于第幾象限)；如果

這個角的終邊落在坐標軸上，那么這個角就叫做,這個角不屬于任何一個象限。

問題5、在平面直角坐標系中作出下列各角并指出它們是第兒象限角：

(1)420°(2)-75°(3)855°(4)-510°

問題6、把角放到平面直角坐標系中后，給定一個角，就有唯一的終邊與之對應(yīng)。反之，對于

直角坐標系內(nèi)任意?條射線，以它為終邊的角是否唯？如果不唯終邊相同的角有什么

關(guān)系？為解決這些問題，請先完成下題：

在直角坐標系中作出下列各角：

(1)-32°(2)328°(3)-392°(4)688°(4)-752°

問題7、以上各角的終邊有什么關(guān)系？這些有相同的始邊和終邊的角，叫做o

把與-32。角終邊相同的所有角都表示為-所有與角a終邊相同的角，連同角

a在內(nèi)可構(gòu)成集合為.o即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整

數(shù)個周角的和。

例1.在0。?360。之間，找出與下列各角終邊相同的角，并分別指出它們是第幾象限角：

(1)480°；

(2)-760°；

(3)932°30\

變式練習1、在0。?360。之間，找出與下列各角終邊相同的角，并分別指出它們是第幾象

限角：

(1)420°(2)—54°18'(3)395°8'(4)—1190°30'

2、寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式-720仁夕＜360°的元素寫

出來：

(1)1303°18'(2)-225°

問題8、(1)寫出終邊在x軸上角的集合

(2)寫出終邊在y軸上角的集合

變式練習寫出終邊在直線y=x上角的集合s,并把s中適合不等式-360°

</<720。元素/寫出來。

問題9、思考：

第一象限角的集合可表示為.

第二象限角的集合可表示為.

第三象限角的集合可表示為.

第四象限角的集合可表示為.

探究：設(shè)e為第一象限角，求2仇2,-8所在的象限.

2

當堂檢測：

1、以原點為角的頂點，x軸正方向為角的始邊，終邊在坐標軸上的角等于()

(A)0°、90°或270°(B)k-360°(keZ)

<C)kl800(keZ)(D)k-90°(keZ)

2、如果x是第一象內(nèi)的角，那么()

(A)x一定是正角(B)x一定是銳角

0oo

(C)-360°<x<-270sJc00<x<90°(D)XG{X|k-36O<x<k-36O+9O°keZ}

3、設(shè)A={e|e為正銳角},B={e|e為小于90°的角},c={e|e為第一象限的角}

D={e|e為小于90°的正角}。則下列等式中成立的是()

(A)A=B(B)B=C(C)A=C(D)A=D

4、在直角坐標系中，若a與。的終邊互相垂直，那么a與。的關(guān)系為()

(A)p=a+90°(B)p=a±90°(C)p=a+90°+k-360°(D)p=a±90°4-k-360°keZ

5、設(shè)a是第二象限角，則上a是_____________________象限角。

2

6、與角一1560°終邊相同角的集合中最小的正角是.

V

7、如果一是第三象限角，則x在第一象限和______________半軸。

2

8、若a為銳角，則180°+a在第——象限，-a在第——象限.

9、寫出與370。23,終邊相同角的集合S,并把S中在-720。?360。間的角寫出來.

10、鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各轉(zhuǎn)了度

課堂小結(jié)：1、任意角的概念與分類。

2、象限角的概念及第一，二，三，四象限角的表示。

3、終邊相同角的集合表示。

課后練習：習題1.1A組第5題。

作業(yè)布置：習題1.1A組第1,3題。

1.1.2弧度制

一、學習目標

1.理解弧度制的意義；

2.能正確的應(yīng)用弧度與角度之間的換算；

3.記住公式|。|=，(/為以.。作為圓心角時所對圓弧的長,

r為圓半徑);

r

4.熟練掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式及其應(yīng)用。

二、重點、難點

弧度與角度之間的換算：

弧長公式、扇形面積公式的應(yīng)用。

三教學過程

(?)復(fù)習：初中時所學的角度制，是怎么規(guī)定1°角的？角度制的單位有哪些，是多少進制的？

(二)為了使用方便，我們經(jīng)常會用到一種十進制的度量角的單位制——弧度制。

〈我們規(guī)定＞叫做］弧度的角，用符號表示,

讀作O

練習:圓的半徑為尸,圓弧長為2八3尸、二的弧所對的圓心角分別為多少?

2

v思考〉：留心角的弧度數(shù)與半徑的大小仃關(guān)嗎？

由上可知：如果半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長為/,那么，角a的弧度數(shù)的絕對值是：

,。的正負由決定。

正角的弧度數(shù)是一個,負角的弧度數(shù)是一個,零角的弧度數(shù)是j

〈說明〉：我們用弧度制表示角的時候，“弧度”或加。經(jīng)常省略，即只寫一實數(shù)表示角

的度量。

例如：當弧長/二4萬1且所對的圓心角表示負角時,這個圓心角的弧度數(shù)是

../4萬尸.

—\oc\=—=-----=-4TT.

rr

(三)角度與弧度的換算

360°=2萬rad180°=7Vrad

ion

10=—rad?0.01745rad)°?57°18z

180TV

例1、把下列各角從度化為弧度:

(1)252°(2)11°15/

變式練習把下列各角從度化為弧度:

(1)22°30'(2)—210°⑶1200。(4)30°(5)67°30,

例2、把下列各角從弧度化為度:

3

(1)-n⑵3.5

變式練習、把下列各角從弧度化為度:

、4萬冗,

(1)(2)-----⑶2(4)7?)2

H310

歸納：把角從弧度化為度的方法是：

把角從度化為弧度的方法是：

〈試一試〉：?些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，請補充完整

30°90°120°150°270°

71n3兀

0n2〃

7~4~

(四)在弧度制下分別表示軸線角、象限角的集合

(1)終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為；

X軸的非正半軸的角的集合為;

終邊落在y軸的非負半軸的角的集合為;

y軸的非正半軸的角的集合為；

所以，終邊落在x軸上的角的集合為；

落在y軸上的角的集合為。

(2)第一象限角的集合為：

第二象限角的集合為；

第三象限角的集合為；

第四象限角的集合為.

(五)弧度是一個量，弧度數(shù)表示弧長與半徑的比，是一個實數(shù)，這樣在角集合與實數(shù)集之間就建

立了一個一一對應(yīng)關(guān)系.

（六）弧度制卜.的弧長公式和扇形面積公式

弧長公式：l=\a\-r

因為㈤」（其中/表示a所對的弧長），所以，弧長公式為/=|々卜〃?

r

扇形面積公式:.（l）s=-?R2;（2）s=—IR

22

說明：以上公式中的a必須為弧度單位.

例3、知扇形的周長為8cm,圓心角a為2rad,,求該扇形的面積。

變式練習若2弧度的圓心角所對的弧長是4c7%,則這個圓心角所在的扇形面積

是.

（七）課堂小結(jié):

1.弧度制的定義；

2.弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；

3.牢記弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運用；

（八）作業(yè)布置習題1.1A組第7,8,9題。

（九）課外探究題

已知扇形的周長為8cm,求半徑為多大時，該扇形的面積最大，并求圓心角的弧度數(shù).

（十）課后檢測

1、半徑為120mm的圓上，有?條弧的長是144mm,求該弧所對的圓心角的弧度數(shù)。

2、半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的_____________倍。

2

3、在A4BC中，若4:ZB:NC=3:5:7,求A,B,C弧度數(shù)。

4,以原點為圓心，半徑為1的圓中，?條弦力8的長度為造，力8所對的圓心角a

的弧度數(shù)為.

5、直徑為20cm的滑輪，每秒鐘旋轉(zhuǎn)45°,則滑輪上一點經(jīng)過5秒鐘轉(zhuǎn)過的弧長是多少？

6,選做題

如圖，扇形。48的面積是4c機2,它的周長是8cm,求扇形的中心角及弦48的長。

1.2.1任意角的三角函數(shù)〈第一課時〉

班級.姓名,

學習目標

1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量

的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余

弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.

2.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題.

重點難點

教學重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義。.

教學難點:用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù)及三角函數(shù)符號。

教學過程

(―)提出問題

問題1:在初中時我們學了銳角三角函數(shù)，你能回憶?下銳角三角函數(shù)的定義嗎?

問題2:你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？

如圖,設(shè)銳角a的頂點與原點0重合，始邊與x軸

的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限.在a的

終邊上任取■點P(a,b),它與原點的距離

+8X).過P作x軸的垂線,垂足為M,則

線段OM的長度為a,線段MP的長度為b.

根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義，我們有

MPbOMMPb_

sina=-----=—,cosa=---—----,tana=-----

OPrOPrOPa

問題3:如果改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎?為什么？

問題4:你利用已學知識能否通過取適當點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化?

(二)新課導(dǎo)學

1、單位圓的概念:

.在直角坐標系中，我們稱以為圓心，以為半徑的圓為單位圓.

2、三角函數(shù)的概念

我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).

如圖2所示，設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:

(l)y叫做a的正弦，記作sina,即sina=y;

(2)x叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=x;

(3戶叫做a的正切，記作tana,即tana=E(x#)).

XX

所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的

函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).

注意:(1)正弦、余弦、正切、都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).

(2)sina不是sin與a的乘積，而是一個比值;三角函數(shù)的記號是一個整體，離開自變量的

“sin”“tan”等是沒有意義的.

(3)由相似三角形的知識，對于確定的角a,這三個比值不會隨點P在a的終邊上的位置的

改變而改變.廣

3、例1：已知角a的終邊與單位圓的交點救也)求角a的正弦、余弦和正切值。

練習1：已知角a的終邊經(jīng)過點尸(-學,三)，求角a正弦、余弦和正切值。

5冗

例2求-^―的正弦、余弦和正切值.

練習2：用廣角函數(shù)的定義求百的、個三角函數(shù)值

4、定義推廣：

設(shè)角a是一個任意角，P(x,y)是其終邊上的任意一點,

點P與原點的距離r=y/x2+y2>0

?yy

那么①J叫做a的正弦，即smo=一

Xx

②廠叫做a的余弦，即cosa=1

③上■nU做a的正切，即tairz=1(xwO)

XX

4、探究.三角函數(shù)的定義域

三角函數(shù)定義域

sina

cosa

tana

5、例題講解

例3已知角a的終邊經(jīng)過點P°(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值.

練習3.已知角。的終邊過點P(-12,5),求夕的正弦、余弦和正切三個三角函數(shù)值.

5、探究三角函數(shù)值在各象限的符號

yy

()()

--------O-------------X?

()()()()

sinacosa

y

()()

---------?

oX

()()

tan。

口訣“一全正，二正弦，三正切,四余弦."

6、例題講解

fsin。<0,

例4、求證:當且僅當下列不等式組成立時，角0為第三象限角.反之也對。\八

tan/9>0.

變式訓練

（1、）（2007北京高考）已知cos0-tan0<0,那么角0是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角

（20教材第15頁第6題

（三）課堂小結(jié)知識_______________________________________

能力________________________________________

（四）作業(yè)布置習題1.2人組第2,9題

1.2.1任意角的三角函數(shù)〈第二課時〉

班級姓名

學習目標

1.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.

2.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即

用正弦線、余弦線、正切線表示出來.

重點難點

教學重點終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等

教學難點利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何

形式表示.

教學過程

（-）復(fù)習提問

1、三角函數(shù)（正弦，余弦，正切函數(shù)）的概念。（兩個定義）

2、三角函數(shù)（正弦，余弦，正切函數(shù)）的定義域。

3、三角函數(shù)（正弦，余弦，正切函數(shù)）值在各象限的符號。

4、〈小結(jié)〉常見常用角的三角函數(shù)值

角a30°45°60°120°135°150°

角a的弧

度數(shù)

sina

cosa

tana

角a0°90°180°270°360°

角a的弧度

數(shù)

sina

cosa

tana

(二)新知探究

1、問題:如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同?三角函數(shù)值有何關(guān)系？

2、求下列三角函數(shù)值⑴sin420。；⑵sin60"

3、結(jié)論由三角函數(shù)的定義，可以知道:終邊相同的角的同?三角函數(shù)的值相等.由

此得到一組公式‘公式一)：

sin(a+k-27t)=sina,

cos(a+k-27c)=cosa,

tan(a+k-2n)=tana,

其中k￡Z.

(作用)利用公式一河以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2冗(或0。至I」360。)角的

三角函數(shù)值.這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一

4.例題講解

例1、確定下列三角函數(shù)值的符號：(1)sin(-392°)(2)tan(-當)

6

練習(1)、確定下列二角函數(shù)值的符號：(1)tan(-672°)(2)sinl480°10'⑶cos也

4

例2、求下列三角函數(shù)值(l)sin390°;(2)cos^^-;(3)tan(-690°).

6

25萬

練習(2)、求下列三角函數(shù)值(l)sin420°;(2)cos----;(3)tan(-330°).

6

5、由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角a的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是

用數(shù)來表示的，今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.

三角函數(shù)線（定義）:

設(shè)任意角a的頂點在原點。，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交點

過尸作x軸的垂線，垂足為過點4（1,0）作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反

向延長線交與點T.

由四個圖看出：

當角a的終邊不在坐標軸上時，有向線段==于是有

xx~,

sina=—=—=y=MP,cosa=—=—=x=OM,

r1r1

.yMPAT

tana=—=----=----=AATT.

xOMOA

我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

①三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位網(wǎng)的交點到x軸的垂直線段；余弦線在x

軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在

單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

②三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向

垂足；正切線由切點指向與a的終邊的交點。

③三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向

的為負值。

④三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

6、典型例題

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）-：（2）—；

137r

練習1作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線(1)(2)

7、課下探究(1)利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小:

.2乃,.44石2乃一4乃

1°sin——與sin——2°tan——與tan——

3535

(2)利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

(三)課堂小結(jié)、

本節(jié)課你學了哪些知識？有哪些收獲？你已經(jīng)正確理解、掌握它們了嗎？

（四）課后作業(yè)

習題1.2A組第3,4題

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

班級姓名

【教學目標】

1、掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

2、能用同角三角函數(shù)的基木關(guān)系式化簡或證明三角函數(shù)的恒等式

【教學重點】

三角函數(shù)式的化簡或證明

【教學難點】

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變用、活用、倒用

【教學過程】

（―）知識回顧

1.若角a在第三象限，請分別畫出它的正弦線、余弦線和正切線.

2.在角a的終邊上取，?點P（3,4）,請分別寫出角a的正弦、余弦和正切值.并計算

sin2a+cos2a和的值。

cosa

3.請分別計算下列各式：

(1)(cos300)2+(sin30°)2=.(2)(sin30°)2+(cos60°)2=

(3)tan60°=

cos60°

（二）新知學習

由上可知：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及公式成立的條件：

①平方關(guān)系：（語言表述）____________________________

（式子表述）______________________________

②商數(shù)關(guān)系：（語言表述）_____________________________

（式子表述）______________________________

〈思考〉對于同一個角的正弦、余弦、正切,至少應(yīng)知道其中的兒個值才能利川基本關(guān)

系式求出其他的三角函數(shù)的值？

（三）應(yīng)用示例

4

例1已知sina=1，并且a是第二象限的角，求cosa,tana的值.

4

變式練習已知cosa=-1，且a為第三象限角，求sinajana的值。

8

例2已知cosa=------，求sina,tana的值.

17

變式練習已知sina=----，求cosa,tana的值.

COSX1+sinx

例3、求證:

1-sinxcosx

變式練習求證：

(l)sin4a-cos4a=sin2a-cos2a

(2)sin4a+sin2acos2a+cos2a=1

例4、化簡(1)Vl-sin21000(2)71-2sinlO°coslO°(3)(l+tan2a)cos2a;

變式練習化簡⑴⑵J?⑶笞混

例5、已知tana=2,求下面式子的值。

(D2sina-3cosa

5sina-7cosa

(2)4sin2a-3sinacosa+5cos2a

(3)2cos2a-3

sinacosa+1

例6.已知sin+cos0=―,。(0,乃)，求值:

2

(1)sin0-cos0(2)sin30+cos30

(3)sin48+cos40(4)cos0-sin0

要注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三個量之間有聯(lián)系：

(sina+cosa)2=l+2sinacosa;(sina—cosa)2=1-2sinacosa

知“,求“二”

(四)課外探究

已知sina、cosa是方程3x?+6kx+2%+1=0的兩根,

求實數(shù)人的值.

（五）歸納小結(jié)

⑴已知向a的某一三角函數(shù)值，求它的其它三角函數(shù)值;

（2）公式的變形、化簡、恒等式的證明.

（六）作業(yè)布置

習題1.2A組第10,11,12,13題

選做題：習題L2B組第1,2,3題

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式〈第一課時〉

班級姓名

學習目標：

1、利用單位圓探究得到誘導(dǎo)公式二，三，四，并且概括得到誘導(dǎo)公式的特點。

2、理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想。

3、能初步運用誘導(dǎo)公式進行求值與化簡。

教學重點：

誘場公式的探究，運用誘導(dǎo)公式進行求值與化簡，提高對單位圓與三角函數(shù)

關(guān)系的認識。

教學難點.

誘營會式的靈活應(yīng)用

教學過程：

一、復(fù)習引入:

1、誘導(dǎo)公式一：（角度制表示）

()

（弧度制表示）___________________________

()

2、誘導(dǎo)公式（一）的作用：

其方法是先在0°—360°內(nèi)找出與角a終邊相同的角，再把它寫成誘導(dǎo)公式

（-）的形式，然后得出結(jié)果。

二、講解新課：

由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sina=y,cosa=x,

sin(180°+a)=-y,cos(180°+<z)=-x,

所以:sin(l80°+a)=-sina,cos(l80°+a)=-cosa域代照更改I

誘導(dǎo)公式二：‘用弧度制可表示如下：

P0(-x,-y)

類比公式二的得來，得:

(4-5-1)

誘導(dǎo)公式三：

P(x,y)

類比公式二，三的得來，得：

P0(x,-y)

誘導(dǎo)公式四：用弧度制可表示如下:Po(-x,y)

對誘導(dǎo)公式一，二，三，四用語言概括為:

(4-5-3)城凝己更改!

a+k?2〃(kGZ),―a,乃士a的三角函數(shù)值，等于a的同名函數(shù)

值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)值的符號.

(函數(shù)名不變，符號看象限。)

三、例題講解

例1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

(1)cos—(2)sin(l+))(3)sin(--)(4)cos(-—

955

5〃、

例2.求下列三角函數(shù)值：（l）cos2100；(2)sin(―)

域代后已更改I

變式練習1、求下列三角函數(shù)值：(1)sin——；(2)sin(------).

643

4乃

(3)sin(—(4)cos(—60°)—sin(—210°)

2、求下列三角函數(shù)值：

779

(l)cos(—420°)(2)sin(——Ji)(3)sin(—13050)(4)cos(——萬)

sin(1440°+a)-cos(ez-1080°)

例3.化簡

cos(-l800-a)-sin(-a-180°)

變式練習1、已知cos(/+a)=一則sin(2n—2)的值是().

(B)|

(C)-T(D)±T

2、化簡：(1)sin(a+180°)cos(—a)sin(—a—180°)

(2)sin3(—a)cos(2兀+a)tan(一a一n)

四、回顧小結(jié)

應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的?般步驟：1。用“-a”公式化為正角的三角函數(shù)；2。用“2加

+a”公式化為［0,2網(wǎng)角的三角函數(shù)；3。用“九土a”公式化為銳角的三角函數(shù)

即利用公式一一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，一般可按下列步驟進行:

___________________用公式________________

五、作業(yè)布置

1.求下列三角函數(shù)值:

(1)sin——；(2)cos---；(3)sin(-240°)；(4)cos(-1665°)

46

sin3(-a)cos(5〃+a)tan(2乃+a)

cos3(-a-2乃)sin(—a—3乃)tan3(a-4zr)

3..習題L3A組第4題。

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式〈第二課時〉

1、利用單位圓探究得到誘導(dǎo)公式五，六，并且概括得到誘導(dǎo)公式的特點。

2、理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想。

3、能初步運用誘導(dǎo)公式進行求值與化簡。

教學重點：

誘意公式的探究，運用誘導(dǎo)公式進行求值與化簡，提高對單位圓與三角函數(shù)

關(guān)系的認識。

教學難點.

誘營加式的靈活應(yīng)用

教學過程：

一、復(fù)習：1.復(fù)習誘導(dǎo)公式一、二、三、四；

2.對“函數(shù)名不變，符號看象限”的理解。

TT

1、如圖，設(shè)任意角a的終邊與單位圓的交點Pi的坐標為(x,y),由于角,-a的終邊與角a的終

1T

邊關(guān)于直線y=x對稱，角的終邊與單位圓的交點P2與點Pi關(guān)于直線y=x對稱,因此點P2

71兀

的坐標是(y,x),于是，我們有sina=y,cosa=x,cos(y-a)=y,sin(--a)=x.

從而得到誘導(dǎo)公式五：

cos(--a)=sina,

sin(--a)=cosa.

TT

能否用已有公式得出一+a的正弦、余弦與a的正弦、余弦之間的關(guān)系式?

2

3、誘導(dǎo)公式六

Sin(—+a)=cosa,

2

71

cos(—+a)="sina.

4、用語言概括一下公式五、六：

'士a的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于a的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函

數(shù)值的符號.簡記為“:函數(shù)名改變，符號看象限

作用：利用公式五或公式六，可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.

5、提出問題

學了六組誘導(dǎo)公式后，能否進一步用語言歸納概括誘導(dǎo)公式的特點？

（奇變偶不變，符號看象限.）

6、示例應(yīng)用

例1將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

331

（1）sin—乃（2）cosl00021/（3）sin一萬（4）tan324°32'

、37r3萬

例2、證明(1)sin(-a)=-cosa;(2)cos(-a)=-sina.

變式練習求cos?(色一a)+cos?(2+a)的值。

44

sin(2^--a)cos(^+a)cos(—+4)cos("'-a)

例3化簡-------------------------2---------------5---------

cos(4-a)sin(3乃-a)sin(一4-a)sin(-+a)

cos(a-----)

變式練習化簡1、(1)-------.......—?sin(a-2/r)?cos(2^-a)

sin(——+a)

⑵cos2（-a）-tan（3600+a）

sin（-cr）

2、已知sina是方程5X2-7X-6=0的根，且a為第三象限角，

s\n(a+—)?sin(—―4)?tan2(2萬一4)?tan(萬-a)

求--------2--------Z------------------------------的值.

，汽、，兀、

cos（5_Q）?cos（5+a）

三、小結(jié)

應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的一般步驟：

1。用“-a”公式化為正角的三角函數(shù)；

2。用“2丘+a”公式化為［0,2句角的三角函數(shù):

7T

3。用“汽土Q”或“一±a"公式化為銳角的三角函數(shù)

2

四、作業(yè)：

習題1.3B組第1題

五、探究

1、習題1.3B組第2題

2、已知sinp=；,sin(a+p)=1,求sin(2a+0)

141正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

班級姓名

【教學目標】

1、通過本節(jié)學習，理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.

2、通過三角函數(shù)圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法，體會用“五點法”作圖給我們學習

帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數(shù)圖象.

【教學重點】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.

【教學難點】將單位圓中的正弦線通過平移轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象上的點;正弦函數(shù)與余弦

函數(shù)圖象間的關(guān)系.

【教學過程】

一、預(yù)習提案（閱讀教材第30—33頁內(nèi)容，完成以下問題：）

1、借助單位圓中的正弦線在下圖中畫出正弦函數(shù)ksinx,x￡[0,2萬]的圖象。

X

說明：使用三角函數(shù)線作圖象時，將單位圓分的份數(shù)越多，圖象越準確。在作函數(shù)圖象時，

自變量要采用弧度制，確保圖象規(guī)范。

2、由上面畫出的x￡[0,2;r]的正弦函數(shù)圖象向兩側(cè)無限延伸得到正弦函數(shù)的圖象（正弦曲

線），請畫出：八

y

ox

3、觀察圖象(正弦曲線)，說明正弦函數(shù)圖象的特點：

①由于正弦函數(shù)ksinx中的x可以取一切實數(shù)，所以正弦函數(shù)圖象向兩側(cè)、

②正弦函數(shù)y=sinx圖象總在直線和之間運劭。

4、觀察正弦函數(shù)尸sinx.xe[0,2萬]的圖象，找到起關(guān)鍵作用的五個點：

5、用“五點作圖法”畫出y=sinx,的圖象。

y，,

6、①函數(shù)/(x+1)的圖象相對于函數(shù)斤(x)的圖象是如何變化的？

②函數(shù)y=sin(x+1)的圖象相對于正弦函數(shù)尸sinx的圖象是如何變化的？

ITTT

③由誘導(dǎo)公式知：sin(xH—)=,所以函數(shù)尸$111(x+—)=

2------------------2------------------

④請畫出丫=<:<?*的圖象(余弦曲線)

y

Ox

7、觀察余弦函數(shù)y=cosx,XE[0,2句的曲象，找到起關(guān)鍵作用的五個點：

8、用“五點作圖法”畫出y=cosx,xw[-)，五的圖象。

y

二、新課講解

例1、用“五點作圖法”作出廣卜inx|,x￡[0,2〃]的圖象；并通過猜想畫出產(chǎn)卜inx|在整個定

義域內(nèi)的圖象。

練習：用“五點作圖法”作出y=kosx|,x￡[0,2?]的圖象；并通過猜想畫出月cosx|在整個

定義域內(nèi)的圖象。

rr

例2、用“五點作圖法”作出F列函數(shù)的簡圖；(1)y=l+sinx,x€[0,2n];(2)y=2cos(2x-—)

jr

練習：用“五點作圖法”作出下列函數(shù)的簡圖；(1)y=-cosx,xe[0,27U];(2)y=2sin(x-y)+1

三、課堂小結(jié)1、會用“五點法”作圖熟練地畫出一些較簡單的函數(shù)圖象.

2、關(guān)鍵點是指圖象的最高點，最低點及與x軸的交點。

四、作業(yè)布置習題1.4A組第1題

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)〈第一課時〉

班級姓名

【教學目標】1、通過創(chuàng)設(shè)情境，如單擺運動、四季變化等，讓學生感知周期現(xiàn)象;

2、理解周期函數(shù)的概念；

3、能熟練地求出簡單三角函數(shù)的周期。

4、能根據(jù)周期函數(shù)的定義進行簡單的拓展運用.

【教學重點】正弦、余弦函數(shù)的主要性質(zhì)（包括周期性、定義域和值域）;

【教學難點】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換，以及周期函數(shù)概念的理解，最

小正周期的意義及簡單的應(yīng)用.

【教學過程】

一、復(fù)習鞏固

1、畫出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象。

2、觀察11：.弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象，填寫下表:

定義域值域

y=sinx

y=cosx

3、卜列各等式是否成立？為什么？

(1)2cosx=3,(2)sin2x=0.5

4、求下列函數(shù)的定義域:(1)產(chǎn)」一;⑵尸向，

1+sinx

二、預(yù)習提案(閱讀教材第34—35頁內(nèi)容，完成以卜問題：)

1、什么是周期函數(shù)？什么是函數(shù)周期？

注意：①定義域內(nèi)的每一個x都有/(x+T)=f(x)o

②定義中的T為非零常數(shù)，即周期不能為0。

〈小試身手〉等式sin(3O0+12O°)=sin3O0是否成立？如果這個等式成立，能否說120°是正弦函數(shù)

y=sinx,x《R.的一個周期？為什么？

2、什么是最小正周期？

3、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期和最小正周期:

周期最小正周期

y=sinx

y=cosx

＜注＞在我們學習的三角函數(shù)中，如果不加特別說明，教科書提到的周期，般都是指最小正周期.

三、探究新課

例1求下列函數(shù)的周期：

X71

(1)y=3cosx,x￡R;(2)y=sin2x,x￡RX3)y=2sin(---),xeR.

練習：求卜.